【数学】辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试试题(解析版)

辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在棱长为的正四面体中，若，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】设正四面体的棱长为.由正四面体结构性质可知，而故.故选：B.2.设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，，假设，显然无解，则不共面，A不符合题意；假设，则，当时，方程组为，，解得，故，则共面，B符合题意；当时，方程组为，无解，故不共面，可构成空间向量的一组基底，C不符合题意；当时，方程组为，无解，故不共面，可构成空间向量的一组基底，D不符合题意.故选：B．3.已知空间向量，，共面，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】由共面可知，存在实数使得，即，所以，解得.故选：A.4.如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，，，并且，的中点为，因为底面是菱形，所以，又因为四棱柱为直四棱柱，所以底面，又因为，所以底面，所以，.以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）.则，，，，，于是，，，所以，，设异面直线，所成角为，则.故选：D.5.直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线上的横坐标分别为的点，给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则，又，，，则，解得，而，所以.故选：A.6.若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（）A B.1 C. D.7【答案】A【解析】由直线在轴上的截距为，得，解得，由直线的倾斜角为，得，直线的倾斜角为，因此，解得，所以.故选：A.7.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线变形为，则可知直线恒过定点，且，若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点，则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故，即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径，根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长，在中，当时，此时，由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足，即，解得，综上，的取值范围为.故选：C.8.已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则，所以，又点、在双曲线上，得，两式相减得，可得，因为，所以，因此.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.若空间三个向量，满足，则向量共面B.若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底C.在四面体中，若，则D.已知四点共面，对空间任意一点，若，则【答案】AC【解析】A：由题设，根据空间向量的共面定理知向量共面，对；B：由，即共面，故不能构成基底，错；C：由，又，则，对；D：由四点共面，对空间任意一点，则有，所以，则，错.故选：AC.10.关于曲线，下列说法正确的是（）A.曲线关于直线对称B.曲线围成的区域面积小于2C.曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是D.曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是【答案】ABC【解析】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确；对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，，则，所以在的下方，所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确；对于C，因为，等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确;对于D，因为，所以，等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误.故选:ABC.11.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（）A.椭圆离心率为B.内切圆的半径为C.△的外接圆方程为D.△与△内切圆半径之和的最大值为【答案】ABD【解析】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，，离心率为，A正确；B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为，由，解得或，∴，，，而，则，即为直角三角形，∴△内切圆的半径为，B正确；C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得，即圆心坐标为，半径为，圆方程为，C错；D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图，一方面，，另一方面，记的内切圆半径为，，所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而，则的内切圆半径为，内切圆半径为，△与△内切圆半径之和为，设直线方程为，由得，，，所以当，即时，取得最大值，D正确，故选：ABD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为_______________．【答案】【解析】设向量的夹角为，则，由题意可得：，因为，则，即，解得，由，可得，因为，，平面平面，平面，平面，故平面与平面的夹角为.故答案为：.13.直线关于直线对称的直线的方程是________.【答案】【解析】（方法1）联立，得两直线的交点为，设直线的方程为，直线上的点到直线与的距离相等，即，解得或（舍去），故方程是.故答案为：.（方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为.所以关于直线对称的直线为：，即.故答案为：.14.已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为_____.【答案】或【解析】圆圆心坐标为，半径，设点的坐标为，则，又点在椭圆上，所以，即，，所以，则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知向量，.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值.解：（1），，，，.（2）设与的夹角为，则，，，，，，，向量与夹角的余弦值为.16.如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点．（1）求证：平面；（2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明．（1）证明：在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点，由为的中点，得，又平面，平面，所以平面.（2）解：直线与平面相交．在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得，由为正三角形，且为的中点，得．由平面，得平面，于是直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，而，且，则，由，得与不垂直，即向量不平行于平面，因此平面，且与平面不平行，所以直线与平面相交.17.已知，点P在y轴上，满足．（1）求点P的坐标；（2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程．解：（1）由点P在y轴上，设，则，由，则，即，解得，故点P的坐标为.（2）设，，由，得，即，则，，则有化简得，即.则动点Q的轨迹方程.18.如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.（1）证明：取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，设平面的一个法向量为，则，设，则，，可得，又因为，则，可得.且平面，所以平面.（2）解：因为，设平面的一个法向量为，则，设，则，，可得，设平面与平面的夹角为，则，可得，所以平面与平面夹角正弦值为.（3）解：设，则，可得，因为平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，整理得，解得或，当时，，则；当时，，则；综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.解：（1）根据“切立方”的定义，设直线方程，可得，，，，，.（2）由正方形A的方程为，则，由正方形A为双曲线的一个“切立方”，则，联立整理得，则，整理得，即，由图可知，则，所以.（3）由曲线，设