【数学】辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期期中考试试卷(解析版)

辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的半径为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】方程可化为，所以圆的半径为2.故选：B.2.已知点是椭圆的一个焦点，则（）A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】由题意得，则，则.故选：C.3.若直线与直线之间距离为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意知，又，解得，故选：B.4.记点，点在圆上，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆的圆心为，半径.原点到圆心的距离：.因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为.故的取值范围是.故选：A.5.已知空间向量，若，则（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】由已知得，则，即，可得，因此.故选：C.6.已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值，因为，所以，所以.故选：.7.已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.圆心距为，由于两圆相交，所以，将两圆方程相减，得公共弦的方程：，化简为，即.线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为.因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得.故选：C.8.已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点得平面的垂线为，在平面内作两条互相垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则球的方程为，因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以，设的坐标为，则，，因为，所以，所以，所以，所以，又由平面向量知识可得，所以，又因为，所以，所以，两边平方得，所以，所以，解得，所以，所以点到平面距离的最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与平行，则的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】由已知两条直线平行，则，可得，所以或，当时，，，满足题设，当时，，，满足题设，所以可以是2或3.故选：BC.10.已知椭圆的两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】由椭圆焦点，，得椭圆中心为，.设椭圆方程为，其中.因为点在椭圆外部，所以，因，故，即.因为点在椭圆内部，所以，通分整理得，因式分解得.因，故，即.综上，，，离心率，则.所以AB选项符合，CD选项不符合故选：AB.11.已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（）A.B.平面C.三棱锥的体积为D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】正方形的边长为2，则是以为直角顶点的等腰直角三角形.以点为原点，以的方向分别为轴，轴正方向，过点且垂直于底面的直线为轴，向上为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，由四边形是正方形，得，因为顶点在底面上的射影是点，且棱柱的高为2，所以.故，则，则，则，，故直线与不垂直，A错误.由.设平面的法向量为.由，得，由，得，取，得.由于，因此向量与共线，也即直线垂直于平面，B正确.三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，，三棱锥的高即到平面的距离，等于1.故，C正确.，设直线与的夹角为，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆（其中）的周长的取值范围为_______．【答案】.【解析】将圆的方程化为标准形式：，则半径.圆的周长.因为，所以，即，故.故答案为：.13.在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______．【答案】【解析】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则，所以若，则，即；则点的轨迹方程为：.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________.【答案】【解析】直线可表示为，可知其过定点.设，设，注意到，则，而，故，于是，当且仅当时，等号成立，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，.（1）求的平分线所在直线的斜截式方程；（2）求边上的高所在直线的一般式方程.解：（1）由，易得直线的斜率为0，故其方程为，直线的斜率不存在，故其方程为，可得，易知平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为，故的平分线所在直线的斜截式方程为.（2）由可得直线的斜率，故边上的高所在直线的斜率，又所求直线经过点，故其方程为，故边上的高所在直线的一般式方程为.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点．（1）若是上一动点，求的周长;（2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由．解：（1）由题意得，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，所以的周长为.（2）假定成立，设，由，得，则，解得或，且，设的中点为，则，，而，由得，则，整理得，此方程无解，所以结论不成立.17.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，．（1）若，求的斜率；（2）若的斜率为，求的面积．解：（1）若的斜率为0，则，不合题意．故设的方程为，点到直线的距离，又，即，解得，故的斜率．（2）由题知．此时点到直线的距离，解得．而点到的距离，又，故的面积．18.如图，四边形是边长为2、中心为0的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为．设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的最大值．（1）证明：由题意，得为的中点，且点是线段的中点，故是的中位线，故．又平面，而平面，故平面．（2）解：如图，以点为坐标原点，的方向分别为，轴正方向，垂直于平面向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可知，．设四棱锥的高为，由体积公式易有，解得．又平面平面，且平面平面，故点在平面内的投影落在直线上．设点，，则．由题，为线段上一点，因此点，，三点共线，即等价于求直线与平面所成角的最大值，设平面的法向量为．又．则即，令，可得平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为．则．故当时，取得最小值8，此时取得最大值，又，由正弦函数单调性可知，此时取得最大值，即直线与平面所成角的最大值为．19.已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上．（1）求的方程；（2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点．（i）设，求关于的表达式;（ii）求的值．解：（1）点满足圆的方程：，解得或(舍去)，又，所以，因此，椭圆的方程为.（2）（i）直线的方向角为，参数方程为：，，.代入椭圆方程得：，整理得