（人教A版）必修第二册高一数学下学期 平面向量及其应用 章末检测1（易）（解析版）

专题6.1平面向量及其应用章末检测1（易）一、单选题1．下列命题中正确的是（

）A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量C．若a//b,b【解题思路】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.【解答过程】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；对于C，若b=0，a//b,对于D，零向量的模长是0，故D错误．故选：B.2．下列说法正确的是（

）A．若a=cB．若a//b，则存在唯一实数λC．若a//b，bD．与非零向量a共线的单位向量为±【解题思路】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.【解答过程】若a=c，则a=−c或a=c，所以选项A错误；若b=0，a≠0，此时3．设G为△ABC的重心，则GA+2GB+3A．0 B．AC C．BC D．AB【解题思路】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.【解答过程】因为G为△ABC重心，所以GA+所以GA+24．已知向量a,b满足|a|=1,|bA．30∘ B．60∘ C．120∘【解题思路】根据向量的夹角公式运算求解.【解答过程】由题意可得：cosa,b=a⋅bab=−5．已知向量a=(−1,1)，且a与a+2b方向相同，则aA．（1，+∞） B．（-1，1）C．（-1，+∞） D．（-∞，1）【解题思路】a与a+2b同向，用共线基本定理得到关系，表示a⋅【解答过程】因为a与a+2b同向，所以可设a+2b=λa(λ>0)则有b=λ−12a，6．如图所示的矩形ABCD中，E,F满足BE=EC，CF=2FD,G为EF的中点，若AGA．12 B．23 C．3【解题思路】将AB,AD作为基底，根据平面向量基本定理结合已知条件把AG用AB,【解答过程】连接AE,AF，由题可知AE=又因为G为EF的中点，所以AG=12所以λ=23,μ=7．为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得∠BCD的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（

）A．100m B．1003m C．200【解题思路】根据画出图形，设AB=x，结合条件可得BC=x，BD=3【解答过程】设AB=x，则BC=x，∠ADB=30°，∴BD=3在△BCD中，由余弦定理可得3x2=40000+x∴x=100(负值舍去)，即直塔AB的高为100m.故选：A.8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且asinAcosC+csinA．32 B．2 C．3 D．【解题思路】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，可得sinAsinB=13sinC，利用平方关系可得sin【解答过程】解：由正弦定理得sin2AcosC+∴sin2∵B∈(0,π),cosB=255，∴sinB=55，由余弦定理得b2解得c=3，∴a=5，∴S二、多选题9．已知a=(1,3),b=(−2,1),A．a+2b⊥C．a+c=2【解题思路】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.【解答过程】a对于A，a+2b=(−3,5)，(a+2对于B，a+2b=(−3,5)=−对于C，a+c=(4,−2)对于D，|b|=(−2)2+10．在△ABC中，D,E,F分别是BC,CA,AB的中点，P是△ABC所在平面上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．ADB．PAC．PAD．AB【解题思路】ABC选项利用中点公式求解判断；D选项结合中点公式，利用数量积运算求解判断.【解答过程】AD+因为PA+PB=2若P为点A时，易知PD+PE+因为AB⋅=111．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是（

）A．若A<B，则sinA<sinB B．a=2，A=C．若acosA=bsinB，则A=45∘ D．若【解题思路】由正弦定理可判断ABC；余弦定理可判断D.【解答过程】对于A，若A<B，则a<b，由正弦定理得2RsinA<2Rsin对于B，a=2，A=30∘，由正弦定理asinA=2R可得R=a2sinA=22sin30∘=2，则△ABC的外接圆半径是2，故错误；对于C，若acosA=bsinB，由正弦定理得acosA=asinA，三、填空题12．已知a=3,4，b=4,−2，若2a−b与k【解题思路】由已知，分别表示出2a−b【解答过程】因为a=3,4，b=4,−2，所以因为2a−b与ka+2b为共线向量，所以14．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F【解题思路】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.【解答过程】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力|  G|=|F1+F2|，因为F|F1+F14．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a(sinA−sinB)=(c−b)(sinC+sinB)，c=7，△ABC的面积为332，则△ABC的周长为【解题思路】先用正弦定理角化边把a(sinA−sinB)=(c−b)(sinC+sinB)化解，再结合余弦定理解出cosC，进而求出角C，再利用面积公式求出ab的值，最后结合余弦定理配方求出a+b的值，进而得到周长.【解答过程】对a(sinA−sin即c2=a2+b2∵S△ABC∴c2=7=a2+b2故答案为：5+7四、解答题15．如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出a+(2)以B为始点，作出c+(3)若a为单位向量，求a+b、c+【解题思路】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出a+b；（2）先将共线向量c+d计算出结果再作出【解答过程】（1）将a,b的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出（2）先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再将向量（3）由a是单位向量可知a=1，根据作出的向量利用勾股定理可知，a由共线向量的加法运算可知c+利用图示的向量和勾股定理可知，c+16．已知a=(1,1),(1)若a//b，求实数(2)若a与b夹角为锐角，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）根据向量共线的性质，列式计算即可；（2）设夹角为θ，则cosa,b=cosθ=a⋅b【解答过程】（1）若a//b，则1×m=2×1，解得（2）若a与b夹角为锐角，设该夹角为θ，则cosa故只需a⋅b=1×2+1×m>0，解得m>−2且a与b所以实数m的取值范围为m>−2且m≠2.17．如图，在△ABC中，已知AD=2(1)用向量a,b分别表示AF与(2)证明：B,F,D三点共线.【解题思路】（1）选AB=a,AC=【解答过程】（1）因为AB=则AF=89（2）因为BF=AF−又因为BF与BD有公共点B，所以B,F,D三点共线.18．己知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；sinA+sinB=(1)求△ABC的周长；(2)若角C=60°，求△ABC的面积．【解题思路】（1）由正弦定理得a+b=23（2）根据余弦定理得(a+b)2−2ab−c【解答过程】（1）∵sinA+∴由正弦定理可得a+b=3c，∴∴三角形周长为a+b+c=23（2）由（1）知a+b=23由余弦定理得cosC=a2+b∴S△ABC19．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东15∘方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60∘方向上，测得塔顶P的仰角为60∘(1)求巡逻船的航行速度;(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向⋅【解题思路】（1）直角△BCP中可得BC=2，△ABC中∠BCA=45°，再应用正弦定理求出AB，进而求巡逻船的航行速度.（2）△BCD中应用余弦定理可得CD=6，再由正弦定理求得sin【解答过程】（1）在直角△BCP中，tan∠PBC=PCBC在△ABC中，