（人教A版）必修第二册高一数学下学期第八章 立体几何初步 （能力提升卷）（解析版）

立体几何初步（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题1．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为（

）A．2 B．2C．32 D．【答案】C【分析】利用球体的体积公式列方程求解即可.【详解】设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V=43π故选：C.2．如图，正方形O′A′A．82 B．42 C．8【答案】A【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可.【详解】如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中OA=O′A所以原图形的面积为OA×OB=82故选：A3．如图所示，在三棱台A′B′C′−ABC中，沿平面A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台A′B′C′−ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥4．将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1,rA．12 C．3 D．1【答案】D【详解】试题分析：三个圆心角分别为π3,2π3,π，相对应的三段弧长分别为π5．在三棱锥P−ABC中，已知PA=4，∠BAC=90°，AB=1，AC=3，若三棱锥P−ABC的外接球的体积为32π3，则三棱锥P−ABC的体积为（A．1 B．233 C．3【答案】A【分析】根据球的体积可得球半径，由PA=4为直径长，所以球心O是PA中点，由底面三角形的条件分析得△ABC为直角三角形，BC中点E是直角△ABC的外心，所以OE⊥平面ABC，进而由VP−ABC【详解】设球半径为R，则43πR3=323π，R=2，而PA=4，所以PA是球的直径，球心O是PA中点，AB⊥AC，所以BC中点E是直角△ABC的外心，所以OE⊥平面BC=AB2+AC2=2，AE=12BC=1，6．如图所示的四棱锥P−ABCD中，底面ABCD与侧面PAD垂直，且四边形ABCD为正方形，AD=PD=PA，点E为边AB的中点，点F在边BP上，且BF=14BP，过C，E，F三点的截面与平面PAD的交线为l，则异面直线PB与lA．π6 B．π4 C．π3【答案】D【分析】由条件证明AB⊥DM，DM⊥PA，由此证明DM⊥平面PAB，再证明l//DM,由此证明l//PB，再确定异面直线PB与l所成的角.【详解】因为E为边AB的中点，连接CE与DA的延长线交于点H，则A为DH的中点，所以有AD=AH.连接FE与PA的延长线交于点G，则直线GH即为过C，E，F三点的截面与平面PAD的交线l.取PB的中点O，连接OE，AO.因为BF=14BP所以F为BO的中点，所以FE//OA,即FG//OA.又易知OE//PA.即OE∥AG.所以四边形OEGA为平行四边形，从而OE=AG=1过点D作DM∥GH交PA于点M.则△DMA≅△HGA，从而得到AM=AG=12PA.即M为PA的中点.又DA=DP又平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.从而AB⊥DM，PA∩AB=A，PA，AB⊂因此DM⊥平面PAB.又DM//GH.即DM//l，所以l⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，故l⊥PB，所以异面直线PB与l所成的角为π27．截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体.如图所示，有一个所有棱长均为a的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为（

）A．πa2 B．32πa2【答案】B【分析】补全正四面体，由正四面体的对称性，正四面体的内切球心、外接球心与截角八面体的内切球心重合，记为O，由几何法分别求出正四面体的内切球半径以及O到平面ABC的距离，则较小者为截角八面体的内切球半径，最后由圆的表面积公式即可选择.【详解】如图，补全正四面体，则正四面体的棱长为3a，由正四面体的对称性，正四面体的内切球心、外接球心与截角八面体的内切球心重合，记为O，O在底面的投影为O1，则MO1⊥平面QPN，正四面体的内切球半径R=OO1，外接球半径r=OM=OP，正四面体M−QPN底面上的高由正三角形的性质，易得△QPN的高h1=3a则在Rt△MPO1PO2=O平面ABC到平面QPN的距离为h−13h=263a故截角八面体的内切球半径亦为R，则截角八面体的内切球的表面积为S=4π8．已知三棱锥P−ABC所有的顶点都在球O的表面上，若AB=23，AC=BC，∠ACB=120°，且三棱锥P−ABC的体积的最大值为23，则球O的表面积为（A．4009π B．40027π C．【答案】A【分析】先求得AC,BC，利用正弦定理求得三角形ABC外接圆半径，利用三棱锥P−ABC的体积的最大值以及勾股定理求得球O的半径，进而求得球O的表面积.【详解】设AC=BC=xx>0，在三角形ABC中，由余弦定理得2解得x=2，所以S△ABC=12×2×2×sin120°=则三棱锥P−ABC的体积的最大值为13×3设三角形ABC外接圆的半径为r，则2r=2设球O的半径为R，则6−R2+2所以球O的表面积为4π二、多选题9．设a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（

）A．若γ⊥α，α//β，则γ⊥β B．若β⊥α，γ⊥αC．若a⊥α，a⊥β，则α//β D．若a⊥α，a⊥b【答案】AC【分析】根据空间中线面的关系，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A，由面面垂直的判定可知是正确的；对于B，观察教室的墙角共顶点的三个平面，发现β与γ还可能相交，故B错误；对于C,直线a同时垂直平面α,β，则直线a与两平面所成的角均为90°对于D，直线b可能在平面α内，故D错误．故选：AC.10．如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（

）A．异面直线AC与MN所成的角为定值B．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直C．三棱锥N−ACM与B−ACD体积之比值为定值D．四面体ABCD的外接球体积为2【答案】ACD【分析】对于A，取AC中点O，连接OB，OD，易证AC⊥平面OBD，再由MN//BD判断；对于B，若直线AD与直线BC垂直，得到△OBD是以OB和OD为腰长的等腰三角形判断；对于C，由M,N分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，得到△ACD与△ACN面积比为2∶1，再由B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2∶1判断；对于D，易知外接球球心O是AC中点求解判断．【详解】如图所示：对于A，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，且AC⊥OD，∴AC⊥平面OBD，∴AC⊥BD，异面直线AC与BD所成的角为90°，又MN//BD，∴异面直线AC与MN所成的角为定值，故A正确；对于B，若直线AD与直线BC垂直，∵直线AB与直线BC也垂直，则直线BC⊥平面ABD，∴直线BC⊥直线BD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥OB，而△OBD是以OB和OD为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误；对于C.M,N分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，∴△ACD与△ACN面积比为2∶1，又B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2∶1，所以三棱锥N−ACM与B−ACD体积之比值为定值14对于D，因为OA=OB=OC=OD，所以外接球球心是O，所以外接球半径R=2∴四面体ABCD的外接球体积为V=4311．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．已知三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，且AB⊥BC,MA=AB=BC=2，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥M−ABC是“鳖臑”B．三棱锥M−ABC的外接球的表面积为12πC．三棱锥M−ABC的内切球的半径为2D．三棱锥M−ABC的表面积为6+2【答案】ABC【分析】对于A：根据线面垂直的性质可得△MBC，△MAC，△MAB，△ABC均是直角三角形，由“鳖臑”的定义可判断；对于B：取MC的中点O，由A选项的解析得OM=OA=OB=OC，即有点O是三棱锥M−ABC的外接球的球心，根据球的表面积公式计算可判断；对于C：设三棱锥M−ABC的内切球的半径为r，根据三棱锥的体积公式可得VM−ABC=13S【详解】对于A：因为三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，所以MA⊥BC，又AB⊥BC,MA=AB=BC=2，MA∩AB=A，所以BC⊥面MAB，所以BC⊥MB，所以△MBC是直角三角形，又△MAC，△MAB，△ABC是直角三角形，所以三棱锥M−ABC是“鳖臑”，故A正确；对于B：取MC的中点O，由A选项的解析得△MAC，△MBC是直角三角形，所以OM=OA=OB=OC，所以点O是三棱锥M−ABC的外接球的球心，因为MA=AB=BC=2，所以AC=22所以OM=OA=OB=OC=3，所以三棱锥M−ABC的外接球的表面积为4π×对于C：设三棱锥M−ABC的内切球的半径为r，又S△ABC=12AB⋅BC=12×2×2=2，所以VM−ABC=13S对于D：由C的解析得三棱锥M−ABC的表面积为S△ABC三、填空题12．如图1，在一个正方形S1S2S3S4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S1，S2，S3，【答案】16【分析】依题意知OA=OB=OC=OD=OS则O是正四棱锥外接球的球心，结合条件可得四棱锥S−ABCD的体积.【详解】在图2中，连接AC，BD交于点O，连接OS因为SD=SB=CD,BD=2CD，所以SD⊥SB，故OA=OB=OC=OD=OS，则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，则外接球的半径是OA=22x，所以4π22x2=16π13．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为CC【答案】9【分析】由过D，P，Q三点的平面截正方体ABCD−A1B【详解】如图所示：过D，P，Q三点的平面截正方体ABCD−A1B因为A1所以A1D,PQ之间的距离为所以梯形A1QPD的面积为S=114．如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB//其中正确的命题是_________.【答案】①②④【分析】取A1D的中点N，连结MN，EN，则可证明四边形MNEB是平行四边形，从而BM=//EN，于是BM//平面A1DE【详解】取A1D的中点N，连结MN，EN，则MN为△A1∵E是矩形ABCD的边AB的中点，∴BE=//1∴四边形MNEB是平行四边形，∴BM=∴BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故①正确，②正确；又NE⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM//平面由勾股定理可得DE=CE=22，∴D∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，∴DE⊥平面A∴DE⊥A1E，而这与∠AED=45°矛盾．故③四、解答题15.如图，在直角△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=8，D是AB中点，现将直角△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥.点C为圆锥底面圆周上一点，且(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线CD与平面BOC所成的角的正切值.【答案】(1)6433π，32【分析】（1）根据旋转体的几何特征可求得圆锥底面积和高，利用圆锥体积公式可求得体积，再利用侧面展开图和扇形面积公式可得侧面积；（2）根据线面角的定义作出直线CD与平面BOC所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.【详解】（1）由题意可得OB=4,OA=43所以底面圆面积S=π⋅OB所以圆锥的体积为V=1圆锥侧面展开图的半径为R=AB=8，弧长为底面圆周长l=2圆锥的侧面积为S侧（2）取BO中点H，连接DH,CH，如下图所示：在△AOB中，中位线DH//AO，易知AO⊥平面BOC，可得DH⊥平面BOC，所以∠DCH即为直线CD与平面BOC所成的角，易知DH=12AO=23，又所以tan∠DCH=DHHC=23216．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，（1）求证：MN//平面ABC（2）是否在线段BC1上存在一点P使得平面MNP//平面ABC【答案】（1）证明见解析（2）存在，P为BC【分析】（1）连接A1C，则N也为A1C的中点，由MN//BC可证（2）存在，P为BC1的中点时，平面MNP//【详解】（1）连接A1C，则N也为因为M为A1B的中点，所以MN为△所以MN//BC，又MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以MN//平面ABC（2）存在，P为BC1的中点时，平面MNP//证明：连PM，PN，因为N为AC1的中点，P为所以PN//AB，又PN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PN//平面ABC，又由（1）知MN//平面ABC，且MN∩PN=N，所以平面MNP//平面17．如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，（Ⅰ）证明：OE//平面ABC（Ⅱ）证明：A1C⊥平面【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理可得OE//AC（Ⅱ）由题可得四边形ACC1A1为正方形可得A1C⊥AC1，进而得【详解】（Ⅰ）因为EC1=EC,AO=OC，所以OE因为AC1⊂平面ABC1，OE⊄面AB（Ⅱ）连接A1C1，因为AB=a所以四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC又因为BD⊥AC，BD⊥AA1,AC∩AA1=A，所以BD⊥平面所以BD⊥A1C，因为OE∩BD=O，所以A18．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D（1）证明：AC⊥D（2）若三棱锥B1−A1D1E【答案】（1）