（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习专项训练第2讲 三角函数图像及其性质（解析版）

第2讲三角函数图像及其性质【复习目录】一、三角函数的定义域二、图像法求三角函数最值或值域三、换元法求三角函数最值或值域四、求三角函数的单调区间五、求三角函数的对称轴六、求三角函数的对称中心七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心八、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值九、五点法求三角函数解析式十、三角函数图像的伸缩变换十一、利用图像平移求函数解析式或参数值十二、三角函数综合【精选好题】一、三角函数的定义域1．函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果.【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为.故选:D．2．若，则该函数定义域为_____________．【答案】【分析】解不等式即得解.【详解】由题得.所以函数的定义域为.故答案为：3．求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由函数特征得到，求出定义域；（2）由对数函数的真数大于0，得到不等式，求出定义域；（3）根据函数特征得到，求出定义域.【详解】（1）要使有意义，则，解得，故定义域为；（2）要使有意义，可得，即，解得，故定义域为；（3）要使有意义，可得．解得，所以函数的定义域为.二、图像法求三角函数最值或值域4．函数的值域为__________.【答案】【分析】根据求出，进而利用正弦函数图像即可求出结果.【详解】因为，所以，则由正弦函数图像可知，所以.故答案为：.5．已知，，则的最小值是___________.【答案】【分析】化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，可得，当时，即时，函数取得最小值.故答案为：.6．设函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．【答案】(1)；(2)函数最大值，此时；函数最小值，此时.【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）由，可得，结合正弦函数的图象求解即可.【详解】（1）解：因为，所以，所以的最小正周期为；（2）解：当时，，所以，所以，当，即时，函数取最小值；当，即时，函数取最大值；所以函数最大值为，此时；最小值为，此时.三、换元法求三角函数最值或值域7．已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为【答案】C【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.【详解】因为函数，设，，则，所以，，当时，；当时，.故选：C8．已知，则的值域为____________.【答案】【分析】利用倍角余弦公式可得，设，则，利用二次函数的性质即可求解.【详解】，设，则可得当时，，当时，可得的值域为.故答案为：.9．函数的最小值是______．【答案】【分析】首先函数化简为关于的二次函数，再利用二次函数求最值.【详解】函数，，当时，函数取得最小值.故答案为：四、求三角函数的单调区间10．函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得函数的单调递减区间为，再求函数的单调递增求解，再判断各选项即可得解.【详解】令，解得，即函数的单调递减区间为，取可得，为函数的单调递减区间，B正确；取可得，为函数的单调递减区间，令，解得，即函数的单调递增区间为，取可得，为函数的单调递增区间，A错误；因为在上单调递增，C错误；取可得，为函数的单调递增区间，所以在上单调递增，D错误，故选：B.11．已知函数，则（

）A．增区间为，B．增区间为，C．减区间为，D．减区间为，【答案】C【分析】解，即可得出单调递减区间.【详解】由解得.因此，函数的单调递减区间为，.故选：C.12．已知函数，且．(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的单调递增区间．【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；（2）由正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以，即，所以的最小正周期；（2）由，，解得，，所以的单调递增区间为，，当时的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，所以在上的单调递增区间为，.五、求三角函数的对称轴13．函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C14．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】，当时故答案为：15．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的对称轴方程为________【答案】，【分析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质求解.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后，得到，所以由，得对称轴方程为，六、求三角函数的对称中心16．已知函数，则的对称中心是______．【答案】【解析】根据余弦函数的对称性，列出等式求解，即可得出对称中心的横坐标，进而可得对称中心.【详解】由得，∴，，此时，故的对称中心是.故答案为：．17．下列是函数的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.【详解】由可得，，所以，函数的对称中心的是，.对于A项，由，可得，故A项错误；对于B项，由，可得，故B项错误；对于C项，由，可得，故C项错误；对于D项，由，可得，故D项正确.故选：D.18．已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则的一个对称中心为__________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据三角函数图像的平移变换规律，求得的解析式，即可得答案.【详解】由题意知，则，则有，故的一个对称中心为，故答案为：七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心19．（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数【答案】BC【分析】利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可．【详解】因为，，A错误；，B正确；，所以是奇函数，C正确；易知，所以不是偶函数，D错误．故选：BC20．（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为【答案】BD【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；对于D，函数的最小正周期，D正确.故选：BD.21．（多选）已知函数，则下列描述中正确的是（

）．A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的最小正周期为2C．函数的单调增区间为，D．函数的图象没有对称轴【答案】BD【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．【详解】对于A：令，令得，不是整数，故A不正确；对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故B正确；对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故C错误；对于D：正切函数不是轴对称图形，故D正确．故选：BD．八、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值22．已知函数为偶函数，则的取值可以为（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答.【详解】因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选：A23．如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.【详解】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有，于是得，显然对于是递增的，而时，，，当时，，，所以|φ|的最小值为.故选：A24．已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质直接列式计算作答.【详解】函数的最小正周期，相邻两条对称轴之间的距离为，于是得，解得，所以.故选：C25．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（

）．A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据以及周期性求得.【详解】依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，即，解得.故选：B26．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.【详解】由，，可得，根据正弦函数的单调性，可得：，又，所以，即.故选：D.27．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数平移关系求出，再由的对称性，即得.【详解】由题可知图象关于原点对称，所以，因为，所以．故选：C.九、五点法求三角函数解析式28．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．的图像关于点对称C．的图像关于直线对称D．函数为偶函数【答案】ABC【分析】对A：根据图象求出解析式；对BC：求出的对称中心与对称轴验证即可；对D：求出解析式判断是否为偶函数.【详解】对选项A，，，所以.因为，所以，，.又因为，所以，，.因为，所以，即，故A正确.对选项B，令，解得，，所以的图像关于点对称，故B正确.对选项C，令，解得，，所以的图像关于直线对称，故C正确.对选项D，，因为，定义域为，，所以为奇函数，故D错误.故选：ABC29．函数的部分图象如图所示，其中，，，则________；__________．【答案】2【分析】根据图象最值得到值，再利用其周期求出，最后代入零点求出即可.【详解】由图象知的最大值为2，因为，所以，，根据图象知的最小正周期为，因为，则，则，，因为函数图象过点，，则，，，，所以当时，，.故答案为：2；.30．函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)求使成立的的取值集合.【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据图象，结合周期，五点法，即可求函数的解析式；（2）根据函数的解析式，结合正弦函数的图象，即可求解不等式.【详解】（1）由图象可知，，，解得：，，，且，得，所以函数的解析式；（2），即，则，，解得：，，所以不等式的解集为，.十、三角函数图像的伸缩变换31．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（

）A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位【答案】B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.故选：B32．要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.【详解】因为，而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，故选：A.33．已知曲线，，曲线经过怎样的变换可以得到，下列说法正确的是(

)A．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B．把曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．把曲线向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】B【分析】首先对化简为，再利用三角函数平移压缩拉伸的原则，即可得到答案.【详解】对于,,所以先将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到,再向右平移个单位长度得到.故选：B.十一、利用图像平移求函数解析式或参数值34．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数平移法则以及诱导公式即可求出．【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变可得，再把所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则.故选：D．35．函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图像求出正弦型函数基本量，再由通过平移得解.【详解】由图可知，过点，解得，将的图像向右平移个单位得到.故选:D.36．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据平移后得到函数的解析式，再根据图象求函数的解析式，即可求值.【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知，，解得：,函数的图象向左平移个单位长度，得当时，，且，得所以，.故选：A十二、三角函数综合37．函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，可以将的图像（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】B【分析】首先根据图像求函数的解析式，再根据平移规律，即可求解．【详解】由题可知，，则，所以，所以，由五点法作图可知，当时，，得，所以，所以，而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图像，故选：B．38．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．函数在上单调递增B．函数为偶函数C．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象D．若，则的最小值为【答案】D【分析】根据关于直线对称及，解得，所以，对于A，，所以，即可判断A正误；对于B，，即可判断B正误；对于C，可得平移后的，即可判断C正误；对于D，因为，，结合题意，以及的周期，可得的最小值为半个周期，即可判断正误；【详解】由题意关于对称，所以，又，所以，所以对于A，，所以，所以函数在上不单调，故A错误；对于B，，为奇函数，故B错误；对于C，的图像向右平移个单位长度得到函数，故C错误；对于D，因为，，结合题意，所以的最小值为半个周期，又，，所以的最小值为，故D正确.故选：D.39．（多选）已知函数则（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图像关于直线对称C．函数为偶函数D．函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为【答案】BD【分析】利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D.【详解】对选项A：因为，所以的最小正周期为，错误；对选项B：当时，，所以是的一条对称轴，正确；对选项C：易知函数的定义域为，又，所以函数不是偶函数，错误；对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到，由题意，函数的图像关于轴对称，所以，即，当时，，即函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.故选：BD40．已知，