（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考试高分押题密卷（三）（解析版）

高一下学期数学期末考试高分押题密卷（三）单项选择题：1．设全集，，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全集求出的补集即可.【详解】，，.故选：A.2．若复数（为虚数单位），则（

）A． B．1 C．5 D．【答案】A【分析】先根据复数的运算法则将复数化简为，然后根据模长计算公式计算即可得解.【详解】，.故选：A.3．如图，正方形是水平放置的四边形的斜二测直观图，，则四边形的面积是（

）A． B． C．18 D．9【答案】A【分析】利用斜二测画法求解.【详解】如图所示：由斜二测画法知，四边形是一个平行四边形.因为，所以，则，，所以.故选：A4．袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（

）①A与B是互斥但不对立事件②B与C是对立事件③A与C是互斥但不对立事件A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断A,B,C之间的互斥或对立的关系，可得答案.【详解】由题意知，事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A,B不互斥不对立，故①错误；事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号前位一个奇数一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B,C是对立事件，故②正确；事件A,C不会同时发生，但摸出两球的编号可能都是偶数，即A,C可能都不发生，故A,C是互斥但不对立事件，故③正确，故选：C.5．函数的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】将的系数变为正数，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】解：，令，得，所以函数的单调递增区间为，.故选：C.6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，故选：C7．已知，，，则A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，，因为幂函数在R上单调递增，所以，因为指数函数在R上单调递增，所以，即b<a<c.故选：A.8．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（

）倍（参考数据：A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】C【分析】由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍.故选：C．多项选择题：9．已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于选项A，根据，求出的值，进行判断；对于选项B，由的值可得的坐标；对于选项C，由，坐标，可得的坐标，进而计算的模；对于选项D，由的坐标，根据公式计算与其同向单位向量的坐标判断正误.【详解】对于选项A，根据，求出的值，故A正确；对于选项B，由，得，故B错误；对于选项C，，，可得，所以，故C正确；对于选项D，因为单位向量与同向，所以，，故D正确.故选：ACD.10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（

）A．事件发生的概率为B．事件发生的概率为C．事件发生的概率为D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为【答案】BC【分析】根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.【详解】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件发生的概率为，故A错；事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.故选：BC.11．如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，则（

）A．平面平面AMCDB．线段CN的长为定值C．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为D．二面角的最大值为30°【答案】ABD【分析】对于A，由已知可得△ABC为等边三角形，则，由翻折性质知，平面，再由面面垂直的判定可得结论，对于B，取AD中点E，由三角形中位线定理可得，，由等角定理得，然后在△NEC中由余弦定理可求出CN长，对于C，由题意可知将三棱锥的顶点放置在长宽高分别为2，，1的长方体的顶点处，从而可求出其外接球的半径，进而可求出球的表面积，对于D，过作，垂足为F，过F作，垂足为D，可和即为二面角的平面角，当时，取得最大值1，从而可求出其角度【详解】对于A，如图所示，在菱形ABCD中，，，所以△ABC为等边三角形，又M是BC的中点，所以，由翻折性质知，又因为，平面，，所以平面，因为平面AMCD，所以平面平面AMCD，故A正确；对于B，如图所示，取AD中点E，则，，在菱形ABCD中，，，因为和的两边方向相同，则由等角定理得，在△NEC中，由余弦定理可得，所以，即CN长为定值，故B正确；对于C，由题意可知当平面平面AMD时，三棱锥的体积最大，由A项已证知此时平面AMD，易知，所以，故可将三棱锥的顶点放置在长宽高分别为2，，1的长方体的顶点处，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则长方体的外接球半径，表面积为，故C错误；对于D，如图所示，由选项A可知，平面平面AMCD，在平面中，过作，垂足为F，在平面AMCD中，过F作，垂足为，因为平面平面AMCD，，平面平面，平面，所以平面AMCD，即为二面角的平面角．，在菱形ABCD中，已知FG为定值，由平面，知，点的在以M为圆心的圆弧上，所以当时，取得最大值1，此时，因为为锐角，所以，故D正确，故选：ABD．填空题：12．已知，，向量，的夹角为，则______．【答案】【分析】利用数量积的定义及运算律即可得解.【详解】因为，，向量，的夹角为，所以．故答案为：．13．如图，在中，D为边上一点，，若的面积为，则的余弦值为_________．【答案】【分析】先由的面积求得，再由余弦定理求得，最后利用余弦定理求出的余弦值即可.【详解】易知，，解得，故，，又，故，,，即，故，故.故答案为：.14．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C作，垂足为E，为等腰梯形，，由余弦定理得，即易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，此时，平面易知，记O为外接球球心，半径为R平面，O到平面的距离又的外接圆半径故答案为：，四、解答题：15．已知向量，满足，，且.（1）求和的夹角的大小；（2）在中，若，，求.【答案】（1）；（2）1.【分析】(1)由给定条件求出及，再借助向量夹角公式即可得解；(2)利用向量的表示及模的计算公式即可作答.【详解】（1）因，则，而，于是得，则，又因，所以；（2）在中，因，由(1)知，从而得.所以.16．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图(1)求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率.【答案】(1)，平均数为(2)【分析】（1）由频率分布直方图求解即可；（2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可【详解】（1）.平均数为，即这100名学生身高的平均数为；（2）身高在的学生有人，身高在的学生有人，故身高在的学生共有50人，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为1，2，从身高在的学生中抽取名，记为.从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，其中这2人中至少有1人身高不低于的结果有9种.故所求概率.17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B；(2)若b=4，求周长的最大值.【答案】(1)；(2)12.【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值【详解】（1）因为，则，在中，由正弦定理得，，而，即，整理得，即，又，解得，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即，而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，所以周长的最大值为12.18．甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)比赛完3场时，求三人各胜1场的概率；(2)比赛完5场时，求丙恰好有一次两连胜的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据独立事件求概率的公式和概率的加法公式即可求出答案；（2）讨论并恰好是二三场连胜和四五场连胜两种情况，进而结合独立事件求概率的公式和概率的加法公式求得答案.（1）设甲与乙比赛甲获胜为事件，丙与乙比赛乙获胜为事件，丙与甲比赛丙获胜为事件，且相互独立，则.设“比赛完3场时，三人各胜1场”为事件，则.（2）当丙恰好是第二场和第三场两连胜时，，当丙恰好是第四场和第五场两连胜时，，所以丙恰好有一次两连胜的概率为.19．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可求解；（2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理，结合锐角三角函数的定义即可求解；（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及锐角三角函数的定义即可求解；（1）因为所以为等边三角形，因为为的中点,所以.取的中点，连接，，则，因为平面平面平面平面平面，所以平面，又平面，所以因为平面所以平面因为平面所以又因为平面，所以平面.（2）过点作，垂足为