八年级上册数学期末必考解答题优生辅导训练

八上数学期末必考解答题优生辅导训练20题《全等三角形》1．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．求证：AE＝BD．2．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．3．如图，∠DCE＝90°，CD＝CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．求证：AD+AB＝BE．4．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD与BE相交于点O，AD与CE交于点F，AC与BE交于点G．（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．（2）求∠BOD的度数．（3）连接GF，判断△CGF的形状，并说明理由．5．如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使BF＝AC，在CE的延长线取一点G，使CG＝AB．试说明：①AF＝AG；②AG⊥AF．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．7．如图在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．8．如图，AB＝AD，CB⊥AB，CD⊥AD，E、F分别是BC、DC的中点．求证：AE＝AF．9．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE＝CE．（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．10．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．①填空：∠C＝，∠DBC＝；②求证：△BDE≌△CDF．（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．11．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA＝DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB＝AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．13．如图，已知AD是△ABC的高，且BD＝AD，点E在AC上，连接BE交AD于点F，且FD＝CD．判断线段BF、AC的数量关系和位置关系，并说明理由．14．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来；（2）求证：BD与EF互相平分于G；（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．15．如图，△ABC中，D是BC的中点，F是AC边上一点，点G在FD延长线上，且DG＝DF，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG∥AC（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．16．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，点E、F分别在AB、AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点．求证：DG⊥EF．17．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．18．如图，CD和BE是△ABC的两条高，∠BCD＝45°，BE与DC交于点H，∠ABE＝∠CBE．（1）判断△ABC的形状并说明理由；（2）小明说：BH的长是AE的2倍，你认为正确吗？请说明理由．19．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB＝8，AC＝14，求NC的长．20．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBF＝∠ABF；（2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长；（3）求证：AE＝CF．21．问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．22．某学习小组学习了全等三角形的判定和性质以后，想运用全等三角形的知识去研究下面的问题：【问题提出】如图1，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，且CM＝FN，试证明△ABC≌△DEF．【问题思考】如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的中线，且CM＝FN，试探究∠B与∠E的关系，请写出你的结论：（不要求证明）【深入研究】小组同学进一步探究，若把问题2变为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的高，且CM＝FN，试探究∠B＝∠E的关系，请写出你的结论：（不要求证明）．参考答案1．证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴EC＝CD，AC＝CB，∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．2．解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD（写出其中的三对即可）．（2）以△ADB≌△ADC为例证明．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）．3．证明：∵∠ECB+∠DCA＝90°，∠DCA+∠D＝90°，∴∠ECB＝∠D，在△ECB和△CDA中，，∴△ECB≌△CDA（AAS），∴BC＝AD，BE＝AC，∴AD+AB＝AB+BC＝AC＝BE．4．解：（1）△BCE≌△ACD理由：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝∠BAC＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∵∠BCE＝∠ACD．在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠ADC＝∠BEC．∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°．∵∠AOB+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝120°；（3）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBE＝∠CAD．∵∠BCA＝∠ECD＝60°∴∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠BCA．在△BGC和△AFC中，，∴△BGC≌△AFC（ASA），∴GC＝FC．∵∠GCF＝60°，∴△GFC是等边三角形．5．解：①∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABF+∠BAD＝90°∠GCA+∠BAD＝90°，∴∠ABF＝∠GCA，在△ABF和△GCA中，∴△ABF≌△GCA（SAS），∴AF＝AG．②∵△ABF≌△GCA，∴∠GAC＝∠AFB，∵∠AFB＝∠ADB+∠FAD，∠GAC＝∠GAF+∠FAD，∴∠GAF＝∠ADF，∵∠ADF＝90°，∴∠GAF＝90°，∴AG⊥AF．6．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，理由为：连接EG，∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，∴GE垂直DF．7．答案不唯一，如：解：已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．∵在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB∴∠B＝∠D．8．证明：连接AC∵CB⊥AB，CD⊥AD∴∠B＝∠D＝90°在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴BC＝DC，∵点E、F分别是BC、CD的中点∴BE＝BC，DF＝CD在△ABE和△ADF中∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．9．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE，在△ABE和△ACE中，∵∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠C＝90°，∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠CBF+∠C＝90°，∠BFC＝∠AFE＝90°，BF＝AF，∴∠CAD＝∠CBF；在△AEF和△BCF中，∵，∴△AEF≌△BCF（ASA）．10．（1）①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；故答案为：45°；45°；②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，故BD⊥AC，∵ED⊥DF，∴∠BDE＝∠FDC，∴∠C＝∠DBC＝45°，∴BD＝DC，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．11．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∴BD＝AD．在△BDC与△ADC中，，∴△BDC≌△ADC（SAS），∴∠DCB＝∠DCA，又∵∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠DCB＝∠DCA＝45°．由∠BDM＝∠ABD+∠BAD＝30°+30°＝60°，∠EDC＝∠DAC+∠DCA＝15°+45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC，∴DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC．∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD．又∵∠EMC＝180°﹣∠DMC＝180°﹣60°＝120°，∠ADC＝180°﹣∠MDC＝180°﹣60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC．又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM．在△ADC与△EMC中，，∴△ADC≌△EMC（AAS），∴ME＝AD＝BD．12．解；如图②中，结论：BD+AE＝AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，∴∠CEM＝∠CAB＝60°，∠CME＝∠CBA＝60°，∴△CME是等边三角形，∴CE＝CM＝EM，∠EMC＝60°，∴AE＝BM，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠BAC+∠DAB＝∠C+∠EDM，∴∠DAB＝∠EDM，∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，∠EMD＝180°﹣∠EMC＝120°，∴∠ABD＝∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB＝EM＝CM，∴DB+AE＝CM+BM＝BC＝AB．如图③中，结论：BD﹣AE＝AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，∴∠CEM＝∠CAB＝60°，∠CME＝∠CBA＝60°，∴△CME是等边三角形，∴CE＝CM＝EM，∠EMC＝∠MEC＝60°，∴AE＝BM，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠C+∠ADC＝∠MEC+∠DEM，∴∠ADB＝∠DEM，∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，∠EMD＝180°﹣∠EMC＝120°，∴∠ABD＝∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB＝EM＝CM，∴DB﹣AE＝CM﹣BM＝BC＝AB．13．解：AC＝BE，AC⊥BE，∵AD是△ABC的高，∴∠CDA＝∠FDB＝90°，在△ADC与△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（SAS），∴AC＝BF，∠DCA＝∠DFB，∵∠DFB+∠DBF＝90°，∴∠DCA+∠DBF＝90°，∴∠CEB＝90°，∴AC⊥BE．14．解：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED＝BF．由∠AFB＝∠CED＝90°得DE∥BF，∴∠EDG＝∠GBF，∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED＝BF，△DEG≌△BFG，∴EG＝FG，DG＝BG，所以BD与EF互相平分于G；（3）第（2）题中的结论成立，理由：∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴BF＝ED．∵∠BFG＝∠DEG＝90°，∴BF∥ED，∴∠FBG＝∠EDG，∴△BFG≌△DEG，∴FG＝GE，BG＝GD，即第（2）题中的结论仍然成立．15．证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDG和△CDF，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴∠GBD＝∠C，BG＝CF，∴BG∥AC；（2）∵△BDG≌△CDF，∴DG＝DF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，显然有：BE+BG＞EG，∵△BDG≌△CDF，∴BG＝CF，于是：BE+CF＞EF．16．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CDF中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF，∵G是EF的中点，∴DG⊥EF．17．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴CD＝AB＝20（m）．18．解：（1）∵BE是△ABC的高，∴∠BEA＝∠BEC＝90°，在△BAE与△BCE中，，∴△BAE≌△BCE（ASA），∴BA＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）小明说的正确．理由：∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDH＝∠CDA＝90°，∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA，在△BDH与△CDA中，，∴△BDH≌△CDA（ASA），∴BH＝AC，∵BE⊥AC，AB＝CB，∴AC＝2AE，∴BH＝2AE，∴小明说的正确．19．解：（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2．∵CE∥AD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∴∠E＝∠3．∴AC＝AE．∵F为EC的中点，∴AF⊥EC，∵AD∥EC，∴∠AFE＝∠FAD＝90°．∴AF⊥AD．（2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，∴∠3＝∠C，∠F＝∠4∵M为BC的中点∴BM＝CM．在△BFM和△CNM中，，∴△BFM≌△CNM（AAS），∴BF＝CN，∵MN∥AD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5．∴∠E＝∠5＝∠F．∴AE＝AN，BE＝BF．设CN＝x，则BF＝x，AE＝AN＝AC﹣CN＝14﹣x，BE＝AB+AE＝8+14﹣x．∴8+14﹣x＝x．解得x＝11．∴CN＝11．20．（1）证明：∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠AFD＝∠BFC，∴∠ADF＝∠BFC，在Rt△CBF和Rt△ABD中，∴Rt△CBF～Rt△ABD，∴∠CBF＝∠ABF．（2）解：设BC＝x，∵AB﹣BC＝4，∴AB＝x+4，在Rt△ABC中，∵AC＝8，∴（x+4）2﹣x2＝64，整理，可得8x+16＝64，解得x＝6，∴BC的长是6．（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，∵∠CBF＝∠ABF，∴FG＝CF，∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠