2026届福建省莆田四中、莆田六中数学高一上期末统考试题含解析

2026届福建省莆田四中、莆田六中数学高一上期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是A. B.1C. D.2．设，则（）A.3 B.2C.1 D.-13．函数，则下列坐标表示的点一定在函数图像上的是A. B.C. D.4．已知,，则的值约为（精确到）（）A. B.C. D.5．设实数t满足，则有（）A. B.C. D.6．已知向量，，则在方向上的投影为A. B.8C. D.7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是A. B.C.2 D.48．函数，则A. B.-1C.-5 D.9．已知，，则（）A. B.C. D.10．在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______12．已知的定义域为，那么a的取值范围为_________13．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”，则的取值为____________14．—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________15．函数的单调递增区间为________________.16．已知幂函数的图象经过点，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，等腰梯形ABCD中，，角，，，F在线段BC上运动，过F且垂直于线段BC的直线l将梯形ABCD分为左、右两个部分，设左边部分含点B的部分面积为y分别求当与时y的值；设，试写出y关于x的函数解析18．已知.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的最值并写出取最值时自变量的值；（3）若函数为偶函数，求的值.19．已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求实数a的取值范围.20．已知函数的图象过点.（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.21．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示：已知第天的日销售收入为元（1）求的值；（2）给出以下四个函数模型：①；②；③；④请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，求的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出【详解】∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力2、B【解析】直接利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系代入计算可得；【详解】解：因为，所以；故选：B3、D【解析】因为函数，,所以,所以函数为偶函数，则、均在在函数图像上．故选D考点：函数的奇偶性4、B【解析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.【详解】.故选：B5、B【解析】由，得到求解.【详解】解：因为，所以，所以，，则，故选：B6、D【解析】依题意有投影为.7、B【解析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥由题意得其底面面积，高，故几何体的体积故选B【点睛】由三视图还原几何体的方法（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体8、A【解析】f（x）=∴f（）=,f[f（）]=f（）=.故答案为A点睛:由分段函数得f（）=，由此能求出f[f（）]的值9、B【解析】应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．【详解】因，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．10、C【解析】指数函数可知，同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论【详解】根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数的对称轴在轴左侧，又过坐标原点，故选：C【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】首先利用余弦定理求得的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可.【详解】由已知可得为所求二面角的平面角，设等腰直角的直角边长度为，则，由余弦定理可得：，则在中，，即所求二面角大小是.故答案为：12、【解析】根据题意可知，的解集为，由即可求出【详解】依题可知，的解集为，所以，解得故答案为：13、0【解析】根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可.【详解】当时，，显然，符合题意；当时，显然集合中元素是两个互为相反数的实数，而集合中的两个元素不互为相反数，所以集合、之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为：14、30【解析】由三视图可知这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体长方体的体积为五棱柱的体积是故该几何体的体积为点睛：本题主要考查的知识点是由三视图求面积，体积．本题通过观察三视图这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体，分别求出长方体和五棱柱的体积，然后相加可得答案15、【解析】函数由，复合而成，求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可得结果.【详解】函数由，复合而成，单调递减令，解得或，即函数的定义域为，由二次函数的性质知在是减函数，在上是增函数，由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间，故答案为.【点睛】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！16、##【解析】根据题意得到，求出的值，进而代入数据即可求出结果.【详解】由题意可知，即，所以，即，所以，因此，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，，当时，；（2）.【解析】过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，由此能求出y的值;设，当时，，当时，；当时，由此能求出y关于x的函数解析【详解】如图，过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，当时，，当时，设，当时，，当时，；当时，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18、（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【解析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求解作答.（2）利用（1）中函数，借助正弦函数的最值计算作答.（3）求出，再利用三角函数的奇偶性推理计算作答.【小问1详解】依题意，，由得：，所以函数的单调递减区间是.【小问2详解】由（1）知，当，即时，，当，即时，，所以，当时，，当时，.【小问3详解】由（1）知，，因函数为偶函数，于是得，化简整理得，而，则，所以的值是.19、（1）（2）【解析】（1）先化简集合A，B，再利用交集运算求解；（2）根据，化简集合，再根据求解.【小问1详解】解：∵，∴，∴集合.∵，∴，∴集合.∴.【小问2详解】∵，∴.∵，∴，解得.∴实数a的取值范围是.20、（1）（2）（3）【解析】（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可【详解】（I）函数的图象过点（II）由（I）知恒成立即恒成立令，则命题等价于而单调递增即（III），令当时，对称轴①当，即时，不符舍去.②当时,即时.符合题意.综上所述：【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据第10天的日销售收入，得到，即可求解；（2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得实数的值，再利用进而列出方程组，求得的值，从而求得函数的解析式；（3）根据（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函数的单调性分别求得各段的最小值，比较得到结论.【详解】（1）因为第10天的日销售收入为505元，所以，即，解得.（2）由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，函数模型：①；③；④都是单调函数，所以选择模型