2025 九年级数学上册二次函数定义与表达式课件

一、课程引入：从生活现象到数学模型的思维跨越演讲人课程引入：从生活现象到数学模型的思维跨越课堂小结与作业布置典型例题与应用：从数学到生活的实践检验二次函数的表达式：三种形式的转换与应用二次函数的定义：从形式到本质的深度剖析目录2025九年级数学上册二次函数定义与表达式课件01课程引入：从生活现象到数学模型的思维跨越课程引入：从生活现象到数学模型的思维跨越各位同学，今天我们将开启初中数学中一个重要的函数模块——二次函数的学习。在正式讲解前，我想先请大家回忆两个生活场景：第一，体育课上投掷实心球时，球的运动轨迹是怎样的？（停顿，观察学生反应）对，是一条“开口向下”的曲线；第二，周末去游乐场玩过山车，当轨道处于上升后下降的部分，其形状是否和你们画的“抛物线”有相似之处？再回想我们学过的一次函数，其图像是直线，而上述场景中的曲线显然无法用一次函数描述。这说明，我们需要一种新的函数模型来刻画这类“曲线变化”的规律——这就是今天的主角：二次函数。（展示PPT：篮球抛物线轨迹图、拱桥剖面图、烟花绽放轨迹图）课程引入：从生活现象到数学模型的思维跨越这些图像都有共同特征：形状像“抛射物体的轨迹”，数学上称为“抛物线”。而它们的背后，都对应着同一个数学表达式形式。接下来，我们将从定义出发，逐步揭开二次函数的“神秘面纱”。02二次函数的定义：从形式到本质的深度剖析1从具体实例到一般形式的归纳为了准确理解二次函数的定义，我们先从几个具体问题入手，尝试用数学表达式描述变量间的关系：问题1：一个正方形的边长为x（cm），其面积y（cm²）与x的关系如何？显然，y=x²，这里y是x的函数，且x的最高次数为2。问题2：某商店销售某种商品，进价为20元/件，售价为x元/件时，日销量为(100-x)件。设日利润为y元，求y与x的关系式。利润=（售价-进价）×销量，因此y=(x-20)(100-x)=-x²+120x-2000，这里y是x的函数，x的最高次数仍为2。问题3：自由落体运动中，物体下落的距离s（m）与时间t（s）的关系为s=½g1从具体实例到一般形式的归纳t²（g≈9.8m/s²），这里s是t的函数，t的最高次数为2。观察以上三个函数表达式：y=x²、y=-x²+120x-2000、s=½gt²，它们有什么共同特征？（引导学生总结）：都是关于自变量的整式；自变量的最高次数是2；自变量的二次项系数不为0（如问题2中二次项系数为-1，问题3中为½g）。2二次函数的严格定义结合上述实例，我们可以给出二次函数的定义：在右侧编辑区输入内容一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。在右侧编辑区输入内容这里需要特别注意定义中的三个关键点：在右侧编辑区输入内容a≠0：若a=0，则原式退化为y=bx+c（一次函数或常数函数），因此a≠0是二次函数的必要条件；整式性：函数表达式必须是整式（分母不含自变量，根号内不含自变量）；最高次数为2：自变量的最高次数严格为2，不能是1或其他次数。2二次函数的严格定义（强调易错点）：有同学可能会问，“y=x²+1/x是二次函数吗？”答案是否定的，因为1/x是分式，不满足“整式”要求；再比如“y=(x+1)²-x²”，展开后为y=2x+1，这是一次函数，因为二次项系数a=0，所以也不是二次函数。3与一次函数的对比辨析为了加深理解，我们通过表格对比一次函数与二次函数的核心差异：|特征|一次函数|二次函数||-------------|---------------------------|---------------------------||一般形式|y=kx+b（k≠0）|y=ax²+bx+c（a≠0）||自变量次数|1|2||图像形状|直线|抛物线||变量关系|均匀变化（斜率为常数）|非均匀变化（曲率变化）|通过对比可以发现，二次函数的“二次项”是其区别于一次函数的本质特征，也是其图像呈现曲线的根本原因。03二次函数的表达式：三种形式的转换与应用二次函数的表达式：三种形式的转换与应用明确了二次函数的定义后，我们需要掌握其不同形式的表达式，以便在解决具体问题时灵活选择，简化计算。二次函数主要有三种表达式形式：一般式、顶点式、交点式。1一般式：最基础的表达式形式01一般式即定义中给出的形式：y=ax²+bx+c（a≠0）。其中：a决定抛物线的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下）和开口大小（|a|越大，开口越窄）；b与a共同决定抛物线的对称轴位置（对称轴为直线x=-b/(2a)）；020304c是抛物线与y轴交点的纵坐标（当x=0时，y=c）。例题1：已知二次函数的一般式为y=2x²-4x+3，求其开口方向、对称轴及与y轴交点坐标。分析：a=2>0，开口向上；对称轴x=-(-4)/(2×2)=1；与y轴交点为(0,3)。05062顶点式：聚焦抛物线的顶点特征顶点式的形式为：y=a(x-h)²+k（a≠0），其中(h,k)是抛物线的顶点坐标，a的意义与一般式相同。顶点式的推导基于“配方法”：将一般式通过配方转化为顶点式。例如，对y=ax²+bx+c配方：y=a(x²+(b/a)x)+c=a[x²+(b/a)x+(b/(2a))²-(b/(2a))²]+c=a(x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a)因此，顶点坐标为(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))，即h=-b/(2a)，k=(4ac-b²)/(4a)。顶点式的优势在于：已知顶点坐标和另一个点的坐标时，可快速求出函数表达式。2顶点式：聚焦抛物线的顶点特征例题2：已知抛物线的顶点为(1,-2)，且过点(2,1)，求其解析式。分析：设顶点式为y=a(x-1)²-2，代入(2,1)得1=a(2-1)²-2，解得a=3，因此解析式为y=3(x-1)²-2（展开后可化为一般式y=3x²-6x+1）。3交点式：利用与x轴交点的信息交点式的形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标（即方程ax²+bx+c=0的两个根）。交点式的推导基于“因式分解法”：若抛物线与x轴交于(x₁,0)和(x₂,0)，则函数可表示为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a由其他条件确定。例题3：已知抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0)，且过点(0,3)，求其解析式。分析：设交点式为y=a(x+1)(x-3)，代入(0,3)得3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1，因此解析式为y=-(x+1)(x-3)（展开后为y=-x²+2x+3）。4三种表达式的联系与转换三种表达式本质上是同一函数的不同表现形式，可根据已知条件灵活选择：已知任意三点（非共线），选择一般式；已知顶点或对称轴，选择顶点式；已知与x轴交点，选择交点式。转换方法：顶点式→一般式：展开括号即可；一般式→顶点式：配方法；交点式→一般式：展开括号；一般式→交点式：因式分解或求根公式（当判别式Δ≥0时）。（强调）：实际解题中，合理选择表达式形式可大幅减少计算量。例如，已知顶点时用顶点式，只需代入一个点即可求a；而用一般式则需解三元一次方程组，计算更繁琐。04典型例题与应用：从数学到生活的实践检验1基础巩固题：定义与表达式的直接应用例1：判断下列函数是否为二次函数，并说明理由：①y=3x²-2x+1；②y=x(x-1)；③y=1/x²+2x；④y=(x-2)²-x²。解析：①是（a=3≠0）；②展开为y=x²-x，是；③分母含x，不是整式；④展开为y=-4x+4，a=0，不是。例2：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过(0,1)、(1,0)、(2,3)三点，求其解析式。解析：代入三点得方程组：c=1，1基础巩固题：定义与表达式的直接应用a+b+c=0，0102034a+2b+c=3，解得a=1，b=-2，c=1，因此解析式为y=x²-2x+1。2能力提升题：表达式的灵活选择例3：抛物线的顶点为(2,-3)，且与y轴交于(0,5)，求其解析式。解析：设顶点式y=a(x-2)²-3，代入(0,5)得5=4a-3，解得a=2，因此解析式为y=2(x-2)²-3（展开为y=2x²-8x+5）。例4：抛物线与x轴交于(1,0)和(4,0)，且最大值为2，求其解析式。解析：交点式设为y=a(x-1)(x-4)，顶点横坐标为(1+4)/2=2.5，代入得顶点纵坐标为a(2.5-1)(2.5-4)=a×1.5×(-1.5)=-2.25a。由最大值为2（开口向下，a<0），得-2.25a=2⇒a=-8/9，因此解析式为y=-8/9(x-1)(x-4)。3实际应用题：数学模型的建立与求解例5：某水果超市销售一种时令水果，进价为10元/千克，售价为x元/千克时，日销量为(200-10x)千克（x≤20）。设日利润为y元，求y与x的函数关系式，并判断是否为二次函数。解析：利润=（售价-进价）×销量，即y=(x-10)(200-10x)=-10x²+300x-2000，是二次函数（a=-10≠0）。例6：某景区要建造一座抛物线形拱桥，跨度为20米（即拱桥在水面上的投影长度为20米），拱顶离水面4米。求拱桥的抛物线解析式（以水面为x轴，跨度中点为原点）。解析：设顶点式为y=a(x-0)²+4（顶点在(0,4)），拱桥与x轴交点为(10,0)和(-10,0)，代入(10,0)得0=100a+4⇒a=-0.04，因此解析式为y=-0.04x²+4。3实际应用题：数学模型的建立与求解（总结）：通过实际问题的解决，我们可以看到二次函数是描述“先增后减”或“先减后增”类问题的有力工具，其表达式的选择直接影响解题效率。05课堂小结与作业布置1核心知识回顾二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，关键特征是a≠0且最高次数为2；三种表达式形式：一般式：y=ax²+bx+c（已知三点时用）；顶点式：y=a(x-h)²+k（已知顶点时用）；交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（已知与x轴交点时用）；表达式的转换：配方法（一般式→顶点式）、因式分解（一般式→交点式）；实际应用：通过建立二次函数模型解决利润、轨迹等问题。2课后作业基础题（巩固定义与一般式）：判断下列函数是否为二次函数：y=2x(x-3)，y=√x²+1，y=3-2x²；已知二次函数过(0,2)、(1,1)、(2,4)，求其一般式。提高题（顶点式与交点式应用）：抛物线顶点为(-1,5)，过点(0,3)，求其顶点式并化为一般式；抛物线与x轴交于(2,0)和(5,0)，且过点(3,-4)，求其交点式。拓展题（实际问题建模）：某玩具厂生产某种玩具，成本为30元/件，当售价为x元/件时，日销量为(500-10x)件（x≥30）。设日利润为y元，求y与x的函数关系式，并判断是否为二次函数；若想获得最