2025 九年级数学上册位似图形坐标变换规律课件

一、教学背景分析演讲人教学背景分析01教学目标设定02教学过程设计04课后作业设计05教学重难点解析03教学反思（课后补充）06目录2025九年级数学上册位似图形坐标变换规律课件01教学背景分析教学背景分析作为初中数学“图形的相似”章节的核心内容之一，“位似图形的坐标变换规律”既是相似图形性质的延伸，也是坐标系中图形变换的深化。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求：“了解位似图形的概念，能利用坐标描述位似变换，探索并掌握位似变换中对应点坐标的变化规律。”结合九年级学生的认知特点——已掌握相似图形的判定与性质、平面直角坐标系的基本应用，且具备一定的归纳推理能力，但对“变换中的不变性”与“坐标代数表达”的关联理解尚需深化——本节课将以“从特殊到一般、从直观到抽象”的探究路径，帮助学生构建位似坐标变换的知识体系。02教学目标设定知识与技能目标理解位似图形的定义及位似中心、位似比的概念；掌握在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标的变换规律，能根据位似中心位置（原点或非原点）、位似比（k>0或k<0）推导对应点坐标；能运用坐标变换规律解决位似图形的绘制、坐标求解等实际问题。过程与方法目标通过“观察-猜想-验证-归纳”的探究过程，经历从具体实例到一般规律的抽象过程，发展合情推理与演绎推理能力；通过坐标平移、向量分析等方法，理解位似变换的代数本质，体会“数形结合”思想在解决几何变换问题中的作用。情感态度与价值观目标在探究位似坐标规律的过程中，感受数学规律的简洁性与统一性，增强对数学本质的好奇心；通过小组合作与成果展示，体会数学交流的乐趣，培养严谨细致的学习习惯。03教学重难点解析教学重难点解析重点：位似图形在平面直角坐标系中对应点的坐标变换规律（包括位似中心在原点与非原点两种情形）。难点：位似中心不在原点时，坐标变换公式的推导与理解；位似比为负数时（反向位似）的坐标变化规律。04教学过程设计1情境导入：从生活现象到数学概念（展示图片：地图的缩放、照片的放大、建筑设计图的比例缩放）“同学们，这些熟悉的场景中都蕴含着一种特殊的相似变换——位似。例如，地图上的每个点与实际地点的对应点连线都经过同一个点（地图的中心点），且距离比相等，这样的图形就是位似图形。”回顾旧知：位似图形的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点（位似中心），对应边互相平行（或共线），这样的两个图形叫做位似图形。位似比：位似图形对应边的比，也等于对应顶点到位似中心距离的比，记作k（k>0时为同向位似，k<0时为反向位似）。问题驱动：“在平面直角坐标系中，若已知原图形顶点坐标与位似中心、位似比，能否快速确定变换后图形的顶点坐标？这就是我们今天要探究的核心问题。”2核心探究：从特殊到一般的规律发现2.1探究1：位似中心在原点时的坐标变换规律活动1：给定位似中心O(0,0)，原图形顶点A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)，位似比k=2，画出位似图形并记录对应点坐标。（学生通过画图、计算，得到A’(2,4)、B’(6,2)、C’(4,8)）问题1：观察原坐标与变换后坐标，你发现了什么规律？（学生归纳：x’=kx，y’=ky）活动2：若位似比k=1/2，原顶点A(4,6)，则A’的坐标是？若k=-3，原顶点B(2,-1)，则B’的坐标是？（学生计算得A’(2,3)，B’(-6,3)，进一步发现：k为负数时，坐标符号与原坐标相反，即x’=kx，y’=ky仍然成立）2核心探究：从特殊到一般的规律发现2.1探究1：位似中心在原点时的坐标变换规律结论1：当位似中心在坐标原点时，原图形上任意一点P(x,y)的对应点P’的坐标为(kx,ky)，其中k为位似比（k>0时同向，k<0时反向）。验证：以位似图形的定义验证——OP’/OP=|k|，且OP与OP’共线（坐标成比例），符合位似图形的性质。2核心探究：从特殊到一般的规律发现2.2探究2：位似中心不在原点时的坐标变换规律活动3：位似中心为H(1,1)，原顶点A(3,2)，位似比k=2，求对应点A’的坐标。（学生尝试直接应用原点规律失败，教师引导用“坐标平移法”：将H移至原点，原坐标A平移后为A*(3-1,2-1)=(2,1)，按原点规律变换后为A*’(2×2,2×1)=(4,2)，再平移回原坐标系得A’(4+1,2+1)=(5,3)）问题2：若位似中心为H(h,k)，原顶点P(x,y)，位似比k，如何推导P’的坐标？（师生共同推导：平移坐标系，使H为新原点，P的新坐标为(x-h,y-k)；按原点位似规律变换，新坐标变为(k(x-h),k(y-k))；2核心探究：从特殊到一般的规律发现2.2探究2：位似中心不在原点时的坐标变换规律A平移回原坐标系，P’的坐标为(h+k(x-h),k+k(y-k))。）B结论2：当位似中心为H(h,k)时，原图形上任意一点P(x,y)的对应点P’的坐标为：C同向位似（k>0）：P’(h+k(x-h),k+k(y-k))；D反向位似（k<0）：P’(h+k(x-h),k+k(y-k))（k本身为负数，已包含方向）。E特例验证：当h=0，k=0时，公式退化为结论1，说明结论2是更一般的形式。2核心探究：从特殊到一般的规律发现2.3规律深化：位似变换的代数本质“位似变换本质上是一种相似变换，其坐标规律可看作‘缩放+平移’的复合变换。当位似中心在原点时，仅有缩放；当位似中心在(h,k)时，需先将图形平移至以H为原点，缩放后再平移回原位置。”3例题解析：规律的应用与迁移3.1类型1：位似中心在原点例1：已知△ABC的顶点坐标为A(2,1)、B(4,3)、C(1,5)，以原点O为位似中心，位似比k=1/2作位似图形△A’B’C’，求A’、B’、C’的坐标。解答：直接应用结论1，A’(2×1/2,1×1/2)=(1,0.5)，B’(4×1/2,3×1/2)=(2,1.5)，C’(1×1/2,5×1/2)=(0.5,2.5)。3例题解析：规律的应用与迁移3.2类型2：位似中心不在原点例2：如图，四边形DEFG的顶点D(2,2)、E(5,3)、F(4,5)、G(1,4)，以H(3,3)为位似中心，位似比k=-2作位似图形D’E’F’G’，求D’的坐标。解答：应用结论2，D’的坐标为：x’=3+(-2)(2-3)=3+(-2)(-1)=3+2=5，y’=3+(-2)(2-3)=3+2=5，故D’(5,5)。追问：若k=-2，位似图形与原图形的位置关系如何？（反向位似，即位似中心在对应点连线的延长线上）3例题解析：规律的应用与迁移3.3类型3：实际问题中的位似变换例3：某小区平面图中，健身区顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)，现需将其按位似比k=3放大，位似中心为小区大门O(0,0)，求放大后健身区的顶点坐标，并在坐标系中画出图形。解答：直接应用结论1，A’(3,6)、B’(9,12)、C’(6,15)，绘制图形时需注意对应边平行。4课堂练习：分层巩固与反馈基础题：以原点为位似中心，位似比k=3，原顶点(2,-1)的对应点坐标是？位似中心为(2,1)，原顶点(4,3)，位似比k=1/2，求对应点坐标。提升题：已知△PQR与△P’Q’R’位似，位似中心为(1,-1)，P(3,2)对应P’(5,5)，求位似比k。（提示：利用结论2列方程求解：5=1+k(3-1)，解得k=2）拓展题：如图，正方形ABCD的顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，以点M(1,1)为位似中心作位似图形，使新正方形边长为原正方形的2倍，求所有可能的顶点坐标。4课堂练习：分层巩固与反馈（需考虑k=2和k=-2两种情况，对应同向和反向位似）（学生独立完成后，小组内互查，教师选取典型错误（如符号错误、平移方向错误）进行讲解，强化规律理解。）5课堂小结：知识体系的建构学生总结（教师补充）：位似图形的坐标变换规律分两种情形：位似中心在原点：P’(kx,ky)；位似中心在(h,k)：P’(h+k(x-h),k+k(y-k))。位似比k的符号决定位似方向（k>0同向，k<0反向），绝对值决定缩放比例。位似变换的本质是“平移+缩放”的复合变换，体现了坐标系中几何变换的代数表达。教师升华：“从地图缩放到位似坐标规律，数学始终在揭示‘变化中的不变’。希望同学们能保持对规律的好奇心，用坐标的‘数’去刻画图形的‘形’，让数学成为你观察世界的另一双眼睛。”05课后作业设计课后作业设计基础巩固：教材P65习题2、3（位似中心在原点的坐标变换）。能力提升：如图，△ABC的顶点A(1,3)、B(4,1)、C(2,2)，以点D(5,5)为位似中心，位似比k=-1/2作位似图形，求各对应点坐标并绘制图形。实践探究：测量校园内某建筑物的轮廓坐标，选择一个位似中心（如校门口），设定位似比，绘制其位似图形（缩小版设计图），并标注坐标变换过程。06教学反思（课后补充）教学反思（课后补充）本节课通过“生活情境-旧知回顾-探究规律-应用迁移”的递进式设计，引导学生从具体实例中归纳位似坐标变换规律，符合九年级学生的认知特点。课堂中需特别关注学生对位似中心非原点时“坐标平移”思想的理解，可通过动态几何软件（如GeoGebra）演示变换过程