2025 九年级数学上册一元二次方程根的符号判断课件

一、知识预备：从“根的存在性”到“根的符号”演讲人知识预备：从“根的存在性”到“根的符号”01易错点与典型例题分析02分类讨论：根的符号的四种典型情形03总结与升华：从“符号判断”到“数学思维”04目录2025九年级数学上册一元二次方程根的符号判断课件各位同学、老师们：今天我们共同探讨的主题是“一元二次方程根的符号判断”。作为九年级数学上册“一元二次方程”章节的核心内容之一，这部分知识不仅是对“根的判别式”“韦达定理（根与系数关系）”的综合应用，更是解决实际问题（如几何图形边长、经济利润极值、物理运动轨迹等）的关键工具。在多年的教学中，我发现许多同学能熟练求解方程，却对“根的符号”这一隐含条件缺乏敏感度，导致在应用题中遗漏合理的解。因此，今天我们将从基础出发，逐步拆解根的符号判断的逻辑链条，帮助大家建立清晰的分析框架。01知识预备：从“根的存在性”到“根的符号”知识预备：从“根的存在性”到“根的符号”要判断一元二次方程根的符号，我们首先需要明确两个前提：方程是否有实数根（存在性），以及若有实根，根的正负如何（符号性）。这两个问题分别对应“根的判别式”和“韦达定理”的应用。1根的存在性：判别式的作用对于一般形式的一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），其根的判别式为(\Delta=b^2-4ac)。我们已经学过：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根；当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根（重根）；当(\Delta<0)时，方程无实数根。注意：若题目要求“根的符号判断”，首先必须保证方程有实根（即(\Delta\geq0)），否则讨论符号无意义。这是许多同学容易忽略的第一步。2根的符号性：韦达定理的延伸韦达定理指出，若方程(ax^2+bx+c=0)有两个实根(x_1)、(x_2)，则满足：[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quadx_1\cdotx_2=\frac{c}{a}]根的符号由(x_1)、(x_2)的正负性决定，而正负性可通过(x_1+x_2)和(x_1\cdotx_2)的符号组合推导。例如：若(x_1\cdotx_2>0)，说明(x_1)、(x_2)同号（同为正或同为负）；2根的符号性：韦达定理的延伸若(x_1\cdotx_2<0)，说明(x_1)、(x_2)异号；若(x_1\cdotx_2=0)，则至少有一个根为0（此时(c=0)，方程可化为(x(ax+b)=0)）。关键过渡：存在性（判别式）是符号判断的“门槛”，符号性（韦达定理）是具体分析的“工具”。两者结合，才能完整回答“根是否存在，若存在符号如何”的问题。02分类讨论：根的符号的四种典型情形分类讨论：根的符号的四种典型情形根据根的数量和符号，我们可将一元二次方程的根分为以下四类：无实根“有两个正根”“有两个负根”“有一正一负根”“有一个零根（重根为零）”。其中“无实根”已由判别式直接判定，其余情形需结合韦达定理分析。1情形一：有两个正根条件推导：若(x_1>0)、(x_2>0)，则需满足：存在性：(\Delta\geq0)（保证有实根）；同号性：(x_1\cdotx_2>0)（即(\frac{c}{a}>0)，说明(a)、(c)同号）；均为正：(x_1+x_2>0)（即(-\frac{b}{a}>0)，说明(a)、(b)异号）。总结条件：[\Delta\geq0,\quad\frac{c}{a}>0,\quad-\frac{b}{a}>0]例1：判断方程(x^2-5x+6=0)是否有两个正根。1情形一：有两个正根判别式(\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1>0)，有两个不等实根；(x_1\cdotx_2=6>0)，同号；(x_1+x_2=5>0)，均为正；结论：方程有两个正根（实际根为2和3）。2情形二：有两个负根条件推导：若(x_1<0)、(x_2<0)，则需满足：存在性：(\Delta\geq0)；同号性：(x_1\cdotx_2>0)（(\frac{c}{a}>0)，(a)、(c)同号）；均为负：(x_1+x_2<0)（即(-\frac{b}{a}<0)，说明(a)、(b)同号）。总结条件：[\Delta\geq0,\quad\frac{c}{a}>0,\quad-\frac{b}{a}<0]例2：判断方程(x^2+5x+6=0)是否有两个负根。2情形二：有两个负根判别式(\Delta=5^2-4\times1\times6=25-24=1>0)；(x_1+x_2=-5<0)，均为负；(x_1\cdotx_2=6>0)，同号；结论：方程有两个负根（实际根为-2和-3）。3情形三：有一正一负根条件推导：若(x_1>0)、(x_2<0)（或相反），则需满足：存在性：(\Delta>0)（因两根不等，若(\Delta=0)则为重根，符号相同）；异号性：(x_1\cdotx_2<0)（即(\frac{c}{a}<0)，(a)、(c)异号）。注意：此时(x_1+x_2)的符号由绝对值较大的根决定，但题目若仅要求“一正一负”，则无需额外限制(x_1+x_2)，只需(x_1\cdotx_2<0)即可。例3：判断方程(x^2-x-6=0)是否有一正一负根。3情形三：有一正一负根判别式(\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-6)=1+24=25>0)；(x_1\cdotx_2=-6<0)，异号；结论：方程有一正一负根（实际根为3和-2）。4情形四：有零根（含重根为零）条件推导：若(x_1=0)（或(x_1=x_2=0)），则需满足：存在性：(\Delta\geq0)；零根条件：(x_1\cdotx_2=0)（即(\frac{c}{a}=0)，故(c=0)）；若为单零根（另一根非零），则(x_1+x_2\neq0)（即(-\frac{b}{a}\neq0)，故(b\neq0)）；若为重零根（(x_1=x_2=0)），则(x_1+x_2=0)（即(-\frac{b}{a}=0)，故(b=0)），且(\Delta=0)（此时(\Delta=b^2-4ac=0-0=0)）。4情形四：有零根（含重根为零）总结条件：单零根：(c=0)，(b\neq0)，(\Delta\geq0)（因(c=0)，方程为(ax^2+bx=0)，根为0和(-\frac{b}{a})，显然有实根）；重零根：(c=0)，(b=0)，此时方程为(ax^2=0)，根为(x_1=x_2=0)。例4：判断方程(2x^2-3x=0)是否有零根。(c=0)，满足零根条件；根为(x_1=0)，(x_2=\frac{3}{2})（正根）；4情形四：有零根（含重根为零）0102030405结论：有一个零根和一个正根。01例5：判断方程(5x^2=0)的根的符号。02根为(x_1=x_2=0)；04(b=0)，(c=0)，方程为(5x^2=0)；03结论：重根为零。0503易错点与典型例题分析易错点与典型例题分析在实际解题中，同学们常因忽略“存在性条件（判别式）”或“符号条件的逻辑组合”而犯错。以下通过例题强化关键步骤。1易错点1：忽略判别式导致错误题目：已知方程(x^2+(k+2)x+k=0)有两个正根，求(k)的取值范围。错误解法：由韦达定理，(x_1+x_2=-(k+2)>0)，得(k<-2)；(x_1\cdotx_2=k>0)，得(k>0)；因此(k)无解。正确解法：除韦达定理外，需满足(\Delta\geq0)：1易错点1：忽略判别式导致错误1(\Delta=(k+2)^2-4k=k^2+4k+4-4k=k^2+4\geq0)（恒成立）；2但(x_1+x_2>0)要求(-(k+2)>0)，即(k<-2)；3(x_1\cdotx_2>0)要求(k>0)；4两者无交集，故(k)无解（与错误解法结论一致，但必须明确写出判别式步骤）。5总结：即使判别式恒成立（如本题(\Delta=k^2+4)总非负），也需在解题过程中明确写出，以体现逻辑完整性。2易错点2：混淆“同号”与“均正/均负”的条件题目：若方程(2x^2+mx+1=0)有两个同号根，求(m)的取值范围。错误解法：由(x_1\cdotx_2=\frac{1}{2}>0)，故两根同号，无需其他条件，因此(m)为任意实数。正确解法：两根同号需满足：(\Delta\geq0)：(m^2-4\times2\times1\geq0)，即(m^2\geq8)，得(m\geq2\sqrt{2})或(m\leq-2\sqrt{2})；2易错点2：混淆“同号”与“均正/均负”的条件(x_1\cdotx_2=\frac{1}{2}>0)（已满足）；因此(m)的取值范围是(m\geq2\sqrt{2})或(m\leq-2\sqrt{2})。总结：“同号”仅需(x_1\cdotx_2>0)，但必须同时保证方程有实根（(\Delta\geq0)），否则“同号”无意义。3综合例题：实际问题中的符号判断题目：某企业生产一种产品，成本为每件20元，销售价为每件30元时，月销量为1000件。市场调研表明：销售价每上涨1元，月销量减少50件。设销售价上涨(x)元（(x\geq0)），月利润为(y)元。（1）求(y)关于(x)的函数关系式；（2）若月利润为6000元，求(x)的值；（3）判断方程(y=6000)的根的符号，并说明其实际意义。解答：（1）利润(y=(30+x-20)(1000-50x)=(10+x)(1000-50x)=-50x^2+500x+10000)；3综合例题：实际问题中的符号判断（2）令(y=6000)，则(-50x^2+500x+10000=6000)，化简得(x^2-10x-80=0)；（3）判断根的符号：判别式(\Delta=(-10)^2-4\times1\times(-80)=100+320=420>0)，有两个不等实根；(x_1\cdotx_2=-80<0)，故一正一负；实际意义：负根(x<0)表示销售价下降，与题设(x\geq0)矛盾，舍去；正根(x>0)表示销售价上涨，符合实际。总结：实际问题中，根的符号需结合变量的实际意义（如(x\geq0)）进一步筛选，这体现了“符号判断”在解决实际问题中的关键作用。04总结与升华：从“符号判断”到“数学思维”总结与升华：从“符号判断”到“数学思维”回顾本节课的核心内容，我们通过“存在性（判别式）→符号性（韦达定理）→实际意义（变量限制）”的逻辑链，系统掌握了一元二次方程根的符号判断方法。其核心步骤可总结为：1核心步骤判存在：计算判别式(\Delta)，若(\Delta<0)，无实根，符号无需讨论；定符号：若(\Delta\geq0)，利用韦达定理分析(x_1+x_2)和(x_1\cdotx_2)的符号，判断根为同号（正