2025 九年级数学上册一元二次方程根与系数关系变形课件

一、追本溯源：根与系数关系的基础认知演讲人追本溯源：根与系数关系的基础认知01实战演练：根与系数关系变形的典型应用02灵活变通：根与系数关系的常见变形03总结升华：根与系数关系的核心价值与学习建议04目录2025九年级数学上册一元二次方程根与系数关系变形课件各位同学，今天我们要共同探索一元二次方程中一个非常重要的工具——根与系数的关系及其变形。作为一线数学教师，我深知这部分内容既是中考的高频考点，也是后续学习二次函数、不等式等知识的基础。它就像一把“代数钥匙”，能帮助我们在不求出根的情况下，直接通过系数分析根的特征，解决许多复杂问题。接下来，我们将从基础到变形，从理论到应用，逐步深入理解这一核心内容。01追本溯源：根与系数关系的基础认知追本溯源：根与系数关系的基础认知要理解根与系数的关系，首先需要回顾一元二次方程的基本形式和求根公式。我们知道，形如(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的方程是一元二次方程，其根可以通过求根公式(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a})表示。那么，这两个根(x_1)和(x_2)与系数(a)、(b)、(c)之间是否存在直接的数量联系呢？1韦达定理的推导与表述让我们尝试将两个根相加和相乘：根的和：(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a})根的积：(x_1\cdotx_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\cdot\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a})1韦达定理的推导与表述由此，我们得到了著名的韦达定理（Vieta'sTheorem）：对于一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），若其两根为(x_1)、(x_2)，则有：[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quadx_1\cdotx_2=\frac{c}{a}]这里需要特别注意：定理成立的前提是方程有实数根，即判别式(\Delta=b^2-4ac\geq0)。在实际应用中，我们常常需要先验证判别式是否非负，避免出现“无实根却使用根与系数关系”的错误。2基础应用示例STEP5STEP4STEP3STEP2STEP1为了巩固对韦达定理的理解，我们来看一个简单例子：例1：已知方程(2x^2-5x+3=0)，求两根之和与两根之积。分析：根据韦达定理，(a=2)，(b=-5)，(c=3)，因此：(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2})，(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{2})。2基础应用示例通过直接求根验证：方程的根为(x=1)和(x=\frac{3}{2})，和为(1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2})，积为(1\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2})，与定理结果一致。这说明韦达定理的正确性，也体现了它的优势——无需计算具体根，即可快速得到和与积。02灵活变通：根与系数关系的常见变形灵活变通：根与系数关系的常见变形在实际解题中，我们很少直接使用(x_1+x_2)和(x_1\cdotx_2)，更多是遇到它们的组合形式，例如(x_1^2+x_2^2)、(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})或((x_1-x_2)^2)等。这就需要我们掌握根与系数关系的变形技巧，将复杂表达式转化为基础和与积的形式。1和的变形：平方、差等形式最常见的和的变形是平方和与差的平方。我们可以通过完全平方公式推导：平方和：(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)推导过程：((x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)，移项得(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)。差的平方：((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2)1和的变形：平方、差等形式推导过程：((x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)-2x_1x_2=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2)。例2：已知方程(x^2-4x+1=0)的两根为(x_1)、(x_2)，求(x_1^2+x_2^2)和((x_1-x_2)^2)的值。解：由韦达定理得(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=1)，1和的变形：平方、差等形式则(x_1^2+x_2^2=4^2-2\times1=16-2=14)，((x_1-x_2)^2=4^2-4\times1=16-4=12)。2积的变形：倒数、高次幂等形式积的变形主要涉及倒数之和、倒数之积，以及根的高次幂（如三次方和）。倒数之和：(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2})（需(x_1x_2\neq0)）倒数之积：(\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1x_2})（同样需(x_1x_2\neq0)）三次方和：(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2))2积的变形：倒数、高次幂等形式推导过程：利用立方和公式(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2))，结合平方和的变形，可得(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2))。例3：若方程(3x^2-6x+1=0)的两根为(x_1)、(x_2)，求(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})和(x_1^3+x_2^3)的值。解：由韦达定理，(x_1+x_2=2)，(x_1x_2=\frac{1}{3})，2积的变形：倒数、高次幂等形式则(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6)；(x_1^3+x_2^3=2^3-3\times\frac{1}{3}\times2=8-2=6)。3混合变形：对称式与非对称式除了单一的和或积的变形，我们还会遇到同时包含和与积的混合表达式，例如(x_1^2x_2+x_1x_2^2)、(x_1^2-x_2^2)等。这类表达式需要结合因式分解或平方差公式处理。提取公因式的对称式：(x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2))平方差形式：(x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2))（需结合((x_1-x_2)^2)的变形求(x_1-x_2)）例4：已知方程(x^2+2x-3=0)的两根为(x_1)、(x_2)（(x_1>x_2)），求(x_1^2x_2+x_1x_2^2)和(x_1^2-x_2^2)的值。3混合变形：对称式与非对称式解：由韦达定理，(x_1+x_2=-2)，(x_1x_2=-3)，则(x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=(-3)\times(-2)=6)；又((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-2)^2-4\times(-3)=4+12=16)，故(x_1-x_2=4)（因(x_1>x_2)），所以(x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)=(-2)\times4=-8)。03实战演练：根与系数关系变形的典型应用实战演练：根与系数关系变形的典型应用掌握了变形技巧后，我们需要将其应用到具体问题中。这部分内容通常涉及以下四类题型：求代数式的值、已知一根求另一根及参数、判断根的符号或范围、解决实际问题。1求代数式的值：简化计算的关键这类问题是最基础的应用，通过变形将复杂代数式转化为和与积的形式，避免直接求根带来的繁琐计算。例5：已知关于(x)的方程(2x^2-mx-4=0)的两根为(x_1)、(x_2)，且(x_1^2+x_2^2=12)，求(m)的值。分析：根据变形公式，(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)。由韦达定理，(x_1+x_2=\frac{m}{2})，(x_1x_2=-2)，代入得：1求代数式的值：简化计算的关键(\left(\frac{m}{2}\right)^2-2\times(-2)=12)，即(\frac{m^2}{4}+4=12)，解得(m^2=32)，故(m=\pm4\sqrt{2})。3.2已知一根求另一根及参数：逆向应用韦达定理当已知方程的一个根时，可利用韦达定理直接求另一根和未知系数，无需代入求根公式。例6：已知方程(3x^2+kx-6=0)的一个根为(2)，求另一根及(k)的值。解：设另一根为(x_2)，由韦达定理：(2+x_2=-\frac{k}{3})，1求代数式的值：简化计算的关键(2\timesx_2=-\frac{6}{3}=-2)，解得(x_2=-1)，代入第一个等式得(2+(-1)=-\frac{k}{3})，即(1=-\frac{k}{3})，故(k=-3)。3判断根的符号或范围：分析根的性质通过和与积的符号，我们可以判断根的正负性或是否同号，这在解决不等式或实际问题中非常有用。结论：若(x_1x_2>0)，则两根同号；若(x_1x_2<0)，则两根异号。若(x_1+x_2>0)且(x_1x_2>0)，则两根均为正；若(x_1+x_2<0)且(x_1x_2>0)，则两根均为负。例7：判断方程(x^2-5x+6=0)的根的符号。3判断根的符号或范围：分析根的性质解：由韦达定理，(x_1+x_2=5>0)，(x_1x_2=6>0)，故两根均为正根（实际根为2和3，符合结论）。4解决实际问题：数学与生活的桥梁根与系数关系在几何、经济等实际问题中也有广泛应用，例如求矩形的边长、利润的最大值等。例8：某农场要建一个长方形养鸡场，一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35米。若养鸡场的面积为150平方米，求养鸡场的长和宽。分析：设垂直于墙的一边长为(x)米，则平行于墙的一边长为(35-2x)米（需满足(35-2x\leq18)，即(x\geq8.5)）。根据面积公式，(x(35-2x)=150)，整理得(2x^2-35x+150=0)。设方程的两根为(x_1)、(x_2)，由韦达定理，(x_1+x_2=\frac{35}{2}=17.5)，(x_1x_2=75)。4解决实际问题：数学与生活的桥梁解方程得(x=\frac{35\pm\sqrt{35^2-4\times2\times150}}{4}=\frac{35\pm5}{4})，即(x=10)或(x=7.5)。但(x=7.5)时，平行于墙的边长为(35-2\times7.5=20)米，超过墙长18米，不符合实际；(x=10)时，平行于墙的边长为(35-2\times10=15)米，符合条件。因此，养鸡场的长为15米，宽为10米。04总结升华：根与系数关系的核心价值与学习建议总结升华：根与系数关系的核心价值与学习建议回顾今天的内容，我们从韦达定理的推导出发，逐步学习了根与系数关系的基础应用、常见变形及实际问题解决