2024年中考数学（湖南长沙）第二次模拟考试（含答案）

2024年中考第二次模拟考试（湖南长沙卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的绝对值是（

）A．2024 B． C． D．2．2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”，下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

5．如图，过三角形顶点作，，，则的度数是（

）A． B． C． D．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A．

B．

C．

D．

7．如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（

）A．极差是10 B．众数是90分C．平均数是91分 D．中位数是90分8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．9．如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切．若，，则此轮胎的半径为（

）A． B． C． D．10．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（

）①一定是三角数组；②不一定是三角数组；③一定是三角数组；④不一定是三角数组；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是．12．若，则的值为．13．如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为度．14．已知一次函数，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为．15．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么．16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：…，若此类勾股数的勾为，则其弦是．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）17．计算：．18．化简：，再从，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．19．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度；(2)小明还要走多远（的距离）才能到达国金大厦？20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．21．我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．分数段（分）频数（人）频率10ab16c4d请根据以上信息回答下列问题：(1)这次抽样调查的样本容量为______；(2)其中频数分布表中______，______并补全频数分布直方图；(3)若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人．22．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．(1)等边三角形“捷线”条数是________；(2)如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；(3)在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．23．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：茶叶品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a200乙300已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．(1)求a的值；(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．①求销售完这两种茶叶的最大利润；②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．24．如图，内接于，是的直径，，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．(1)求的面积；(2)当时，求的长；(3)若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用含k的代数式表示的值．25．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：与有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为他们的“密接点”．(1)判断下列几组函数，是“亲密函数”的在内记“”，不是“亲密函数”的在内记“”；与；与；与．(2)一次函数与反比例函数（其中为常数，)，且他们的“密接点”到原点的距离等于，求的值．(3)两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为．记直线与的交点的纵坐标为，直线与轴的交点的纵坐标为．试判断与的关系，并证明你的判断．2024年中考第二次模拟考试（湖南长沙卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的绝对值是（

）A．2024 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．【详解】解：的绝对值是2024．故选：A．2．2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，其中，的取值是解题的关键．确定的值的方法是看数变成时，小数点的移动，当小数点向左移动时，的值与移动位数相同；当小数点向右移动时，小数点移动位数的相反数等于的值．【详解】解：万=，故选：．3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查了幂的运算法则和乘法公式，根据幂的运算法则和乘法公式计算后即可得到答案．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，故选项正确，符合题意．故选：D．4．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”，下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．【详解】解：A．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意；B．标志既是轴对称又是中心对称图形，故选项符合题意；C．标志是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意；D．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意．故选：B．5．如图，过三角形顶点作，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质，得，根据三角形内角和，即可求出．【详解】∵，∴，∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查平行线和三角形的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的内角和．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：由①得，得：，由②得：，则不等式组的解集为，在数轴上表示为：故选：D．7．如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（

）A．极差是10 B．众数是90分C．平均数是91分 D．中位数是90分【答案】A【分析】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差是解题的关键．根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．【详解】解：A、∵，∴极差是，故A符合题意；B、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；C、平均数是；故此选项不符合题意；D、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是；故此选项不符合题意．故选：A．8．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，故其概率为：．故选：C．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．9．如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切．若，，则此轮胎的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，过点作，交于点，交于点，则点为轮胎与边的切点，由矩形的性质得，，则，得，，，设轮胎的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：连接，过点作，交于点，交于点，则，轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，点为切点，四边形是矩形，，，，，，，设轮胎的半径为，则，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，轮胎的半径是．故选：C．10．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（

）①一定是三角数组；②不一定是三角数组；③一定是三角数组；④不一定是三角数组；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】，且，先证明，即可证明，由此即可判断①②；根据是一个三角数组，不是一个三角数组即可判断③④．【详解】解：∵是三角数组，∴可设，且，∴，∵，∴，∴一定是三角数组，故①正确，②不正确；∵是一个三角数组，，∴不是一个三角数组，∴当是三角数组时，不一定是三角数组，故③错误，④正确；故选B．【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是．【答案】【分析】直接利用二次根式有意义条件和分式有意义求出x的取值范围．【详解】解：代数式有意义，可得：，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键．12．若，则的值为．【答案】【分析】将变形后可得即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为；【点睛】本题考查了运用整体思想求代数式值，将条件和问题进行准确变形再整体代入计算是解题的关键．13．如图，四边形是圆内接四边形，，则的度数为度．【答案】【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，根据圆的内接四边形的对角互补，结合已知即可求解．【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，∴，∴，解得，故答案为：．14．已知一次函数，如果y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围为．【答案】/【分析】利用一次函数中一次项系数正负性与y随自变量x的增大而变化的情况列不等式计算即可．【详解】y随自变量x的增大而减小，，，故答案为：．【点睛】题目主要考查一次函数的性质，一次函数中一次项系数，y随自变量x的增大而增大；，y随自变量x的增大而减小．熟悉此函数图像性质是解题的关键．15．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么．【答案】【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出的值．【详解】解：∵，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：…，若此类勾股数的勾为，则其弦是．【答案】【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），则另一条直角边，弦．则弦为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）17．计算：【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，零次幂，负整数次幂，绝对值，再进行加减运算即可，正确计算是解题的关键．【详解】解：18．化简：，再从，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．【答案】，当时，值为【分析】根据分式的混合运算法则将原式进行化简，然后选择一个使分式有意义的值代入求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键，选择喜欢的值代入时要注意使分式有意义．19．长沙第一高楼位于芙蓉区五一商圈的国金中心，是旅游打卡圣地，小明想了解它的具体高度，通过下面方法进行测算．如图，小明站在楼前的平地B处，观测到国金大厦的最高点G仰角为15°，他朝正前方笔直行走900.8米来到C处，此时观测到国金大厦的最高点G仰角为30°，若小明的眼睛离地面1.6米．(1)求长沙第一高楼国金大厦的高度；(2)小明还要走多远（的距离）才能到达国金大厦？【答案】(1)长沙第一高楼国金大厦的高度DG为452米(2)小明还要走450.4米才能到达国金大厦【分析】（1）根据题意可得：米，米，，，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；（2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】（1）解：由题意得：米，米，，，∵是的一个外角，，∴，∴，∴米，在中，（米），∴（米），∴长沙第一高楼国金大厦的高度为452米；（2）由题意得：，在中，米，∴（米），∴米，∴小明还要走米才能到达国金大厦．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由菱形的性质得到，进而证明是的中位线，得到，再由，，即可证明四边形是矩形；（2）根据线段中点的定义得到，在中，由勾股定理得．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∵E是的中点，∴是的中位线，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，∵，即，∴四边形是矩形；（2）解：∵E是的中点，，∴，在中，由勾股定理得．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．21．我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），按得分划分为A：，B：，C：，D：四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．分数段（分）频数（人）频率10ab16c4d请根据以上信息回答下列问题：(1)这次抽样调查的样本容量为______；(2)其中频数分布表中______，______并补全频数分布直方图；(3)若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人．【答案】(1)(2)，(3)人．【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（）由等级的频数除以频率求出参赛学生共有的人数，即可解决问题；（）用总人数减去其它等级的人数即可求出成绩在等级的学生人数，得到a的值，用C等级的人数除以总人数即可得到c的值，根据所求补全统计图即可；（）由C、D等级的人数之和的占比乘以全校人数同学即可．【详解】（1）参赛学生共有（人），即这次抽样调查的样本容量为，故答案为：（2）成绩在等级的学生人数为（人），即，故答案为：，补全频数分布直方图如下：（3）（人）答：估计全校学生成绩为“优”等的学生有人．22．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．

(1)等边三角形“捷线”条数是________；(2)如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；(3)在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，可得答案；（2）利用，得，则是的“捷线”；（3）根据“捷线”的定义知，与相似，当时，利用相似三角形的性质解决问题．【详解】（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，

则，，，，，是等边三角形的捷线，故答案为：3；（2）证明：，，，，，是的“捷线”；（3）解：设是的内心，连接，则平分，是的捷线，与相似，分两种情况：①当时，，，，，，作于点，如图所示，

则，是的内切圆半径，，平分，，，，即，，，，，即，，②当时，，，同理可得，综上：．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内心，勾股定理，直角三角形的内切圆半径等知识，本题综合性强，有一定的难度．23．某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：茶叶品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a200乙300已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．(1)求a的值；(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．①求销售完这两种茶叶的最大利润；②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．【答案】(1)100(2)①41000元；②m的最大值为40【分析】（1）由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴a的值为100；（2）解：①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得：，其中，∵，∴y随x的增大而减小，∴当时，y的最大值，答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得：，∵，∴，∴y随x的增大而减小，∵，∴当时，y的最小值，解得：，∴m的最大值为40．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．24．如图，内接于，是的直径，，是的切线，点D是AC上一动点（点D不与点A，B重合），连接BD并延长交AC于点H，交CF于点E，连接AE，AD．(1)求的面积；(2)当时，求的长；(3)若的面积记为，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用含k的代数式表示的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据圆周角定理先得到，勾股定理求出，再利用三线合一求出，即可利用面积公式求出答案；（2）根据已知得到，过点E作，交延长线于点G，根据平行线间的距离处处相等得，再根据30度角的性质得到的长；（3）根据相似三角形及勾股定理分别求出，即可得