异分母分式的加减课件-湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第2章

分式2.2.3异分母分式的加减1.掌握分式的加减运算法则并运用其进行计算；（重点）2.能够进行异分母的分式加减法运算．（难点）#2.2.3异分母分式的加减（初中数学八年级）##一、教学课件（幻灯片分页内容）###第1页：封面-标题：2.2.3异分母分式的加减-副标题：八年级数学（人教版）-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日###第2页：学习目标1.理解异分母分式加减运算的算理，掌握“通分转化为同分母分式”的核心思路2.能熟练运用通分法进行异分母分式的加减运算（含单项式、多项式分母）3.掌握分式加减运算的一般步骤，能解决简单的分式加减实际问题4.进一步体会转化思想、类比思想在数学运算中的应用###第3页：复习回顾1.同分母分式加减法则：-分母不变，分子相加、减，符号表示：$\frac{A}{C}±\frac{B}{C}=\frac{A±B}{C}$（$C≠0$）-举例：$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$，$\frac{5}{a-b}-\frac{2}{a-b}=\frac{3}{a-b}$2.分式的通分：-定义：把异分母分式化为与原分式相等的同分母分式-关键：确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）-举例：通分$\frac{1}{2x}$和$\frac{1}{3x²}$，最简公分母为$6x²$，通分后为$\frac{3x}{6x²}$和$\frac{2}{6x²}$3.提问：异分母分数加减要先通分，异分母分式加减该如何运算？###第4页：探究新知——异分母分式加减的核心思路1.类比异分母分数加减：-分数示例：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$（步骤：通分→同分母相加）-思考：异分母分式加减能否类比此思路？2.核心转化思想：-异分母分式$\xrightarrow{通分}$同分母分式$\xrightarrow{同分母法则}$结果（化简）-强调：通分是异分母分式加减的“桥梁”，转化的依据是分式的基本性质###第5页：异分母分式加法法则1.推导过程：-示例：计算$\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x²}$

①

确定最简公分母：$6x²$

②

通分转化为同分母：$\frac{1×3x}{2x×3x}=\frac{3x}{6x²}$，$\frac{1×2}{3x²×2}=\frac{2}{6x²}$

③

同分母相加：$\frac{3x}{6x²}+\frac{2}{6x²}=\frac{3x+2}{6x²}$（结果为最简分式）2.法则归纳：-异分母分式相加，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加法法则计算-符号表示：$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}+\frac{BC}{BD}=\frac{AD+BC}{BD}$（$B≠0$，$D≠0$）###第6页：异分母分式减法法则1.推导过程：-示例：计算$\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1}$

①

确定最简公分母：$(x-1)(x+1)=x²-1$

②

通分转化：$\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x+3}{x²-1}$，$\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-2}{x²-1}$

③

同分母相减：$\frac{3x+3-(2x-2)}{x²-1}=\frac{3x+3-2x+2}{x²-1}=\frac{x+5}{x²-1}$2.法则归纳：-异分母分式相减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式减法法则计算-符号表示：$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}-\frac{BC}{BD}=\frac{AD-BC}{BD}$（$B≠0$，$D≠0$）###第7页：异分母分式加减法则总述1.统一法则：-异分母分式相加、减，先通分，化为同分母分式，再分母不变，分子相加、减，最后化简结果-简记：通分→同分母运算→化简2.注意事项：-通分时必须找最简公分母，避免运算繁琐-分子加减时要加括号（尤其是减法），防止符号错误-运算结果必须化为最简分式（分子分母无公因式）-分母不能为0，需注明字母取值范围###第8页：例题讲解1——单项式分母的异分母分式加减例1：计算$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$（$a≠0$，$b≠0$）解：①

确定最简公分母：$ab$（系数最小公倍数1，字母$a$、$b$的最高次幂）②

通分转化：$\frac{1×b}{a×b}=\frac{b}{ab}$，$\frac{2×a}{b×a}=\frac{2a}{ab}$③

同分母相加：$\frac{b+2a}{ab}=\frac{2a+b}{ab}$（结果最简）例2：计算$\frac{3}{2x²y}-\frac{5}{3xy²}$（$x≠0$，$y≠0$）解：①

最简公分母：$6x²y²$（系数最小公倍数6，$x²$、$y²$）②

通分：$\frac{3×3y}{2x²y×3y}=\frac{9y}{6x²y²}$，$\frac{5×2x}{3xy²×2x}=\frac{10x}{6x²y²}$③

相减：$\frac{9y-10x}{6x²y²}$（分子无同类项，结果最简）###第9页：例题讲解2——多项式分母的异分母分式加减例3：计算$\frac{2}{x²-9}+\frac{1}{3-x}$（$x≠±3$）解：①

因式分解分母：$x²-9=(x+3)(x-3)$，$3-x=-(x-3)$②

最简公分母：$(x+3)(x-3)$③

通分转化：$\frac{2}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{(x+3)(x-3)}$$\frac{1}{3-x}=\frac{-1}{x-3}=\frac{-1(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{-x-3}{(x+3)(x-3)}$④

相加：$\frac{2+(-x-3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2-x-3}{(x+3)(x-3)}=\frac{-(x+1)}{(x+3)(x-3)}=-\frac{x+1}{x²-9}$例4：计算$\frac{x}{x²+2x}-\frac{1}{x²-4}$（$x≠0$，$x≠±2$）解：①

因式分解：$x²+2x=x(x+2)$，$x²-4=(x+2)(x-2)$②

最简公分母：$x(x+2)(x-2)$③

通分：$\frac{x×(x-2)}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x²-2x}{x(x+2)(x-2)}$，$\frac{1×x}{(x+2)(x-2)×x}=\frac{x}{x(x+2)(x-2)}$④

相减：$\frac{x²-2x-x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x²-3x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x(x-3)}{x(x+2)(x-2)}=\frac{x-3}{(x+2)(x-2)}$（约去公因式$x$）###第10页：例题讲解3——分式加减混合运算例5：计算$\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x²+x}-\frac{1}{x+1}$（$x≠0$，$x≠-1$）解：①

因式分解分母：$x²+x=x(x+1)$②

最简公分母：$x(x+1)$③

通分转化：$\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x(x+1)}$，$\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)}$，$\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$④

混合运算：$\frac{x+1+(x-1)-x}{x(x+1)}=\frac{x+1+x-1-x}{x(x+1)}=\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}$###第11页：分式加减运算的一般步骤1.因式分解：将所有分母分解为最简因式（单项式→系数×字母；多项式→整式乘积）2.确定最简公分母：系数最小公倍数×各字母/因式的最高次幂3.通分：各分式分子分母同乘缺少的因式，转化为同分母分式4.分子加减：分子相加、减（加括号，去括号注意符号），合并同类项5.化简结果：分子分母因式分解，约去公因式，化为最简分式（或整式）6.检验：注明使分母不为0的字母取值范围###第12页：课堂练习（分层）1.基础题（必做）：

（1）$\frac{2}{3x}+\frac{3}{2x}$（$x≠0$）

（2）$\frac{5}{a}-\frac{3}{ab}$（$a≠0$，$b≠0$）

（3）$\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2}$（$x≠±2$）

（4）$\frac{4}{x²-1}-\frac{2}{x-1}$（$x≠±1$）2.提高题（选做）：

（1）$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x²-x}$（$x≠0$，$x≠1$）

（2）$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}-\frac{6}{x²-1}$（$x≠±1$）###第13页：练习答案与解析1.基础题答案：

（1）最简公分母$6x$，$\frac{4+9}{6x}=\frac{13}{6x}$

（2）最简公分母$ab$，$\frac{5b-3}{ab}$

（3）最简公分母$(x-2)(x+2)$，$\frac{(x+2)+3(x-2)}{x²-4}=\frac{4x-4}{x²-4}=\frac{4(x-1)}{(x+2)(x-2)}$

（4）最简公分母$(x+1)(x-1)$，$\frac{4-2(x+1)}{x²-1}=\frac{2-2x}{x²-1}=-\frac{2}{x+1}$2.提高题答案：

（1）最简公分母$x(x-1)$，$\frac{x²-1}{x(x-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$

（2）最简公分母$(x+1)(x-1)$，$\frac{2(x-1)+3(x+1)-6}{x²-1}=\frac{5x-5}{x²-1}=\frac{5}{x+1}$###第14页：课堂小结1.核心法则：异分母分式加减→通分→同分母分式加减→化简2.关键步骤：因式分解→找最简公分母→通分→分子加减→化简3.数学思想：转化思想（异分母→同分母）、类比思想（类比分数加减）4.易错点：-多项式分母未因式分解，导致最简公分母错误-分子减法时漏加括号，符号出错-结果未化简或化简不彻底-忽略分母不为0的字母取值范围###第15页：布置作业1.课本习题2.2第3题（1）（2）（3）（4）、第4题2.补充作业：

（1）$\frac{3}{2x-4}+\frac{x}{4-x²}$（$x≠±2$）

（2）$\frac{x+2}{x²-2x}-\frac{x-1}{x²-4x+4}$（$x≠0$，$x≠2$）3.拓展思考：若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$，求$\frac{a+ab+b}{2a+ab+2b}$的值###第16页：结束页-感谢聆听！-疑问解答##二、教学过程（详细课堂流程）###（一）导入新课（5分钟）1.复习旧知，搭建桥梁：-提问1：“同分母分式加减的法则是什么？请举例说明。”（学生回答，教师板书法则和示例）-提问2：“当分母不同时，我们需要先做什么才能进行加减运算？”（引导学生回忆“通分”，板书通分的定义和示例）-追问：“异分母分数加减的步骤是‘通分→同分母相加’，那异分母分式加减是否可以用同样的思路？”2.类比迁移，引出课题：-出示生活实例：甲工程队单独完成一项工程需$a$天，乙工程队单独完成需$b$天，两队合作一天完成工程的几分之几？（列出算式：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）-引导学生发现：算式是异分母分式加法，需要新的运算方法-引出课题：今天我们就来学习“2.2.3异分母分式的加减”（板书课题）###（二）探究新知（20分钟）1.推导异分母分式加法法则：-出示探究问题1：计算$\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x²}$-引导学生分步思考：

①

这两个分式的分母不同，第一步该做什么？（通分）

②

最简公分母是什么？（$6x²$）

③

如何将两个分式化为同分母分式？（分子分母同乘缺少的因式）-学生自主尝试计算，教师巡视指导，重点关注通分是否正确、分子是否漏乘-请学生上台展示解题过程，教师点评：强调通分的依据是分式基本性质，分子相加时无需展开（无同类项），结果保持最简-归纳加法法则：异分母分式相加，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加法法则计算（板书法则）2.推导异分母分式减法法则：-出示探究问题2：计算$\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1}$-提问：“类比加法法则，异分母分式减法的步骤是什么？需要注意什么？”（引导学生关注分子减法的括号）-教师板书详细解题过程：

①

因式分解分母：无需分解（已是最简因式）

②

最简公分母：$(x-1)(x+1)$

③

通分：$\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}$，$\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

④

分子相减：$3(x+1)-(2x-2)$（加括号）→

去括号、合并同类项-强调关键：分子是多项式时，减法必须加括号，避免出现“$3x+3-2x-2$”的错误-归纳减法法则：异分母分式相减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式减法法则计算（板书法则）3.统一法则与注意事项：-教师总结：异分母分式加减的核心是“转化”，通过通分将异分母转化为同分母，再用已学法则计算-板书统一法则：异分母分式加减→通分→同分母运算→化简-强调4个注意事项：①

先因式分解分母；②

找最简公分母；③

分子加减加括号；④

结果必化简###（三）例题讲解（12分钟）1.基础例题（例1、例2）：-针对单项式分母，重点巩固“最简公分母确定”和“通分操作”-例1讲解后，让学生复述解题步骤，强化“通分→相加→化简”的逻辑-例2重点关注系数最小公倍数的计算（2和3的最小公倍数是6）和分子减法的书写规范2.进阶例题（例3、例4）：-针对多项式分母，核心突破“因式分解”和“符号处理”-例3中，引导学生将$3-x$化为$-(x-3)$，方便确定最简公分母，强调“分母取正”的习惯-例4中，讲解分子化简后的约分步骤（约去公因式$x$），提醒学生结果必须化为最简3.混合运算例题（例5）：-引导学生分析：有三个分式，先统一最简公分母，再按顺序进行加减运算-强调：混合运算无需分步通分，一次通分即可，避免重复计算-让学生独立完成后，同桌互查，教师抽查点评###（四）课堂练习（8分钟）1.分层练习，精准巩固：-基础题：全体学生独立完成，重点检查通分是否正确、符号是否出错，教师巡视，对学困生进行个别指导-提高题：学有余力的学生尝试，鼓励小组讨论，重点突破“分子化简”和“混合运算”2.反馈点评，解决共性问题：-展示学生的正确解答和典型错误（如分子漏加括号、最简公分母错误、结果未化简）-集中讲解错误原因：例如第（4）题中，$\frac{4}{x²-1}-\frac{2}{x-1}$，部分学生通分后分子写成$4-2(x+1)$，但去括号时符号出错，导致结果错误-让学生订正错误，重新计算，确保掌握关键步骤###（五）课堂小结（2分钟）1.学生自主总结：“今天我们学习了异分母分式的加减，谁能说说运算的一般步骤和需要注意的地方？”（请3名学生回答，覆盖不同层次）2.教师梳理升华：-核心逻辑：转化思想（异→同）-步骤口诀：因式分解找公分，通分转化同分母，分子加减带括号，化简结果要记住-思想方法：类比思想（类比分数加减）、转化思想（未知→已知）3.知识衔接：“分式加减运算为后续学习分式方程、分式应用题奠定基础，大家要熟练掌握哦！”###（六）布置作业（3分钟）1.明确作业分层：-必做题：课本习题+补充作业（1），巩固基础运算-选做题：补充作业（2）+拓展思考，挑战思维2.提出作业要求：-书写规范：每道题按“因式分解→通分→分子加减→化简”的步骤书写-独立完成：严禁抄袭，不懂的地方做好标记，下次课提问-检查习惯：完成后自行检查分母是否为0、结果是否最简3.预习提示：思考“分式加减运算的结果如果是整式，说明什么？”，为后续学习做铺垫##三、教学说明1.本设计以“类比→转化→应用”为主线，通过异分母分数加减迁移到异分母分式加减，降低学生理解难度，突出数学思想的渗透；2.重点突破“因式分解”“最简公分母确定”“符号处理”“结果化简”四个核心难点，通过分步讲解、例题示范、错题点评等环节强化掌握；3.练习和作业采用分层设计，兼顾学困生的基础巩固和优等生的思维拓展，满足不同层次学生的需求；4.注重学生的自主探究和互动，通过提问、独立练习、小组讨论、同桌互查等环节，提升学生的参与度和动手能力；5.强调运算的规范性和逻辑性，要求学生按步骤书写，培养严谨的数学思维习惯。(2)小明在上坡和下坡时所用时间哪个更短？(只列式不计算)

小明从甲地到乙地需依次经过

1km

的上坡路，2km的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为

vkm/h，

在下坡路上的骑车速度为

3vkm/h，

则：(1)从甲地到乙地总共需要的时间为()h.3vv1km2km甲乙上坡时间：下坡时间：0？问题：请计算()，().异分母分数相加减分数的通分依据：分数的基本性质转化同分母分数相加减异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.异分母分式的加减1

请计算()，();

依据:分数基本性质分数的通分同分母分数相加减异分母分数相加减转化异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.异分母分式相加减分式的通分依据:分式基本性质转化同分母分式相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.请思考

b

d

b

d

类比：异分母的分式应该如何加减?异分母分式的加减法则异分母的分式相加(减)，先取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母(这样的公分母称为最简公分母)，再利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式(这个过程叫作通分)，然后再相加(减).上述法则可用式子表示为知识要点

思考对于异分母分式的加法，应先通分，化为同分母的分式，再相加.

解：由于最简公分母是12xy，于是例1

计算：典例精析解：原式先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.注意：分母是多项式先分解因式例2

计算：解：原式

=分式的加减法的思路

通分

转化为异分母相加减同分母相加减分子（整式）相加减分母不变转化为归纳总结例3