湖北省十堰市普通高中区县联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

20252026学年度上学期高二年级期中测评数学试卷考试时间：2025年11月21日下午14：3016：30试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时必须使用铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解.故选：C.【答案】B【解析】【分析】结合平行六面体的性质，根据空间向量的线性运算性质求解即可.故选：B.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.故选：B.4.某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】B【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念和性质，判断正确结果.【详解】对于A：平均数有效分={1，1，1，1，1，1，8}，有效平均数=2.平均数改变，因此不满足“一定不变”，故A错误；对于B：中位数原始9个分数排序后，中位数是第5个值（奇数个数据）.去掉最高分（第9个）和最低分（第1个）后，剩余7个分数排序后为原序列的第2至第8个值，其中位数是第4个值，正好对应原序列的第5个值.因此，无论原始分如何，中位数一定不变.故B正确；对于C：众数众数是出现次数最多的值.移除最高和最低分可能改变频率分布，导致众数改变.例如，原始分={1，1，2，3，4，5，6，7，7}，众数为1和7（各出现2次）；有效分={1，2，3，4，5，6，7}，所有值出现1次，无众数（改变）.因此不满足“一定不变”，故C错误；对于D：方差方差衡量数据离散程度。移除极端值（最高和最低分）通常会减小方差，因为减少了数据波动.例如，原始分={1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差大于0；有效分={8，8，8，8，8，8，8}，方差=0（减小）.因此不满足“一定不变”，故D错误.故选：B.【答案】A【解析】【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程.故选：AA. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的数量求出，再利用向量夹角公式求解即得.所以向量与的夹角为.故选：D7.为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（）A.样本中A层次身高的女生少于男生B.样本中B层次身高的学生人数最多C.样本中D层次身高的学生人数占总人数的17%D.样本中E层次身高的男生有6人【答案】ABC【解析】【分析】由题中统计图可判断各选项正误.对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确；故选：ABC【答案】D【解析】取的中点，连接、，由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时，故选：D.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（）A.从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样）B.一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书C.根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生D.利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生【答案】BD【解析】【分析】根据简单随机抽样的特点逐一分析即可.【详解】简单随机抽样的特点是总体中的个体有限，从总体中逐个进行抽取，每个个体被抽到的机会均等，抽样是随机、无差别的；对于A，从一个不透明的盒中，抽取2个球，所有球被抽到的可能性相同，故A是简单随机抽样；对于B，老师点名有自己主观的考量，因此每位同学被抽到的可能性并不相同，故B不是简单随机抽样；对于C，根据学籍号，并用电脑软件抽取，避免了人为因素的影响，从客观角度看，每位同学被抽到的可能性相同，故C是简单随机抽样；对于D，利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生，此方法选出的样本容量不固定，不是简单随机抽样.故选：BD.【答案】ABD【解析】【分析】结合两直线平行性质，利用充要条件概念判断A；利用两直线垂直建立方程求解即可判断B；将直线化为斜截式后利用纵截距列不等式求解判断C；先求出直线关于原点对称的直线，利用纵截距列式求解判断D.故选：ABD【答案】ACD【解析】【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.【详解】由题意，如图建系：故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为________.【答案】5【解析】【分析】根据平均数列方程求出的值，再结合方差的定义即可求解.故答案：.【答案】4【解析】但不喜欢英语兴趣小组，故表示的区域为4.故答案为：4【答案】【解析】【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果.故答案为：.四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某多选题有，，，四个选项.（1）若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；（2）若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）列出所有选法，共6种，全对的有且只有一种，所以全对的概率为；【小问1详解】其中只有1种全对，所以全对的概率为；【小问2详解】若正确答案为其它，同理可得.方法三：假设选的是，其概率为.16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.【解析】【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.（2）求出面A1BD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.（1）求直线的方程和线段长度；（2）；【解析】【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】18.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数；（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；（2）众数为75，中位数为75，平均数为74；（3）平均数为62，方差为37.【解析】（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；（