2025-2026 学年高二 数学 期中复习卷 试卷及答案

2025-2026学年高二数学期中复习卷试卷及答案2025-2026学年高二数学期中复习卷（试卷）班级：________姓名：________分数：________考试时间：120分钟一、选择题（每题3分，共30分）1.已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=2，a₃=6，则公差d=（）A.2B.3C.4D.52.若直线l的方向向量为(1,2)，平面α的法向量为(2,-1)，则直线l与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面α内3.已知等比数列{aₙ}中，a₂=4，a₅=32，则公比q=（）A.2B.-2C.4D.-44.抛物线y²=4x的焦点坐标是（）A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)5.函数f(x)=x³-3x的导数f’(x)=（）A.3x²-3B.x²-3C.3x²+3D.x²+36.已知双曲线x²/4-y²/1=1，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±(1/2)xC.y=±4xD.y=±(1/4)x7.已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ=n²+2n，则aₙ=（）A.2n+1B.2n-1C.2n+3D.2n-38.若函数f(x)在x=x₀处的导数f’(x₀)=0，则x=x₀是函数f(x)的（）A.极值点B.最小值点C.最大值点D.可能是极值点9.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x²+y²=4相交于A、B两点，则弦AB的长为（）A.√2B.2√2C.√3D.2√310.已知椭圆x²/25+y²/9=1，则其离心率e=（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3二、填空题（每空2分，共20分）1.已知等差数列{aₙ}中，a₁+a₅=10，则a₃=________。2.函数f(x)=x²-4x+5在x=1处的切线斜率为________。3.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=7，S₆=63，则公比q=________。4.已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3)，点P(2,1,-1)在平面α内，则点Q(3,2,1)到平面α的距离为________。5.抛物线x²=-8y的准线方程为________。6.函数f(x)=lnx-x的单调递增区间为________。7.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的长轴长为8，焦距为4，则a=________，b=________。8.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₃=________。9.若函数f(x)=x³-3x²+m在区间[-1,2]上的最大值为5，则m=________。三、解答题（共24分）1.（6分）已知等差数列{aₙ}中，a₁=1，公差d=2，求数列{aₙ}的前10项和S₁₀。2.（6分）求函数f(x)=x³-3x²+2的极值。3.（6分）已知直线l过点P(2,1)，且与圆C：x²+y²-2x+4y=0相切，求直线l的方程。4.（6分）已知等比数列{aₙ}中，a₁=2，a₄=16，求数列{aₙ}的通项公式及前n项和Sₙ。四、综合题（共26分）1.（8分）已知函数f(x)=x³-3ax+2（a∈R）。（1）若a=1，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(0,2)上有极小值，求a的取值范围。2.（9分）已知椭圆C：x²/4+y²/3=1，过点P(1,1)作直线l交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，求直线l的方程及|AB|的长。3.（9分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为x元，每月的销售量为m件，经市场调查发现，m与x之间的函数关系式为m=-100x+5000。设每月的利润为w元。（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当售价为多少元时，每月的利润最大？最大利润是多少？（3）为了扩大销售，工厂决定采取降价措施，同时要保证每月的利润不低于20000元，求此时售价的取值范围。2025-2026学年高二数学期中复习卷（答案）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.B7.A8.D9.D10.B二、填空题1.52.-23.24.√14/75.y=26.(0,1)7.4、2√38.79.5三、解答题1.解：∵等差数列{aₙ}中，a₁=1，d=2，∴S₁₀=10a₁+(10×9)/2×d=10×1+45×2=10+90=100。答：数列{aₙ}的前10项和S₁₀为100。2.解：f’(x)=3x²-6x，令f’(x)=0，解得x=0或x=2。当x<0时，f’(x)>0，函数f(x)单调递增；当0<x<2时，f’(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>2时，f’(x)>0，函数f(x)单调递增。∴当x=0时，函数f(x)取得极大值，f(0)=2；当x=2时，函数f(x)取得极小值，f(2)=-2。3.解：圆C的方程化为标准方程：(x-1)²+(y+2)²=5，圆心C(1,-2)，半径r=√5。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时圆心到直线的距离d=1，不等于半径，不相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0。由圆心到直线的距离等于半径得：|k×1-(-2)-2k+1|/√(k²+1)=√5，即|-k+3|=√5×√(k²+1)，两边平方得：k²-6k+9=5k²+5，整理得4k²+6k-4=0，即2k²+3k-2=0，解得k=1/2或k=-2。∴直线l的方程为y-1=(1/2)(x-2)或y-1=-2(x-2)，即x-2y=0或2x+y-5=0。4.解：∵等比数列{aₙ}中，a₁=2，a₄=16，∴a₄=a₁q³，即16=2q³，解得q=2。∴通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ。前n项和Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)=2(1-2ⁿ)/(1-2)=2ⁿ⁺¹-2。四、综合题1.解：（1）当a=1时，f(x)=x³-3x+2，f’(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x+1)(x-1)。令f’(x)>0，解得x<-1或x>1；令f’(x)<0，解得-1<x<1。∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间是(-1,1)。（2）f’(x)=3x²-3a=3(x²-a)。当a≤0时，f’(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增，在区间(0,2)上无极小值；当a>0时，令f’(x)=0，解得x=√a或x=-√a（舍去）。函数f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增，∴在x=√a处取得极小值。由题意得0<√a<2，解得0<a<4。∴a的取值范围是(0,4)。2.解：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，∵P(1,1)是AB的中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2。∵A、B在椭圆C上，∴x₁²/4+y₁²/3=1，x₂²/4+y₂²/3=1。两式相减得：(x₁²-x₂²)/4+(y₁²-y₂²)/3=0，即(x₁-x₂)(x₁+x₂)/4+(y₁-y₂)(y₁+y₂)/3=0。代入x₁+x₂=2，y₁+y₂=2得：(x₁-x₂)×2/4+(y₁-y₂)×2/3=0，整理得(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=-3/4，即直线l的斜率k=-3/4。∴直线l的方程为y-1=-3/4(x-1)，即3x+4y-7=0。将直线l的方程代入椭圆C的方程得：x²/4+(7-3x)²/(16×3)=1，整理得21x²-42x+1=0。则x₁+x₂=2，x₁x₂=1/21。∴|AB|=√(1+k²)×√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(1+9/16)×√(4-4×1/21)=(5/4)×√(80/21)=(5/4)×(4√105)/21=5√105/21。3.解：（1）w=(x-10)m=(x-10)(-100x+5000)=-100x²+6000x-50000。（2）w=-100x²+6000x-50000=-100(x-30)²+40000。∵a=-100<0，∴抛物线开口向下，当x=30时，w取得最大值40000。答：当售价为30元时，每月的利润最大，最大利润是40000元。（3）令w≥2