2024年北京清华附中高二（上）期中数学试题和答案

高中2024北京清华附中高二（上）期中数学2024.11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则集合可以是（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，4.已知，则（）A. B. C. D.5.已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，，是不同的两条直线，且α，β，∥，那么下列命题正确的是（）A.l与，都不相交 B.l与，都相交C.l恰与，中的一条相交 D.l至少与，中的一条相交7.设为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”的集合为A., B., C., D.,9.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥的体积大小不确定B.当时，C.直线平面D.直线与平面所成角的正弦值为10.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③.如图2，在长方体中中，，，则下列说法中错误的是（）A. B.C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在等差数列中，，，则数列的前4项的和为__________.12.已知非零向量，满足，则______.13.在中，，，点在边上，，，则（1）__________；（2）的面积为__________.14.将函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，则__________.15.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中，下列结论：①三棱锥的体积最大值为；②三棱锥的外接球体积不变；③异面直线与所成角的最大值为；④与平面所成角的余弦值最小值为.所有正确的命题的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求边及的面积.17.如图，三棱柱中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且平面，求证：点为中点.18.图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了500张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别可以识别无法识别男女男180155女202755该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）现从这500张人脸照片中随机抽取，①若抽取一张，求识别结果正确的概率；②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的概率；（2）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为50%）.现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（假设用频率估计概率，结论不要求证明）19.已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，求曲线y=fx在点1,f1（2）求的单调区间；（3）设且，请判断与的大小，并证明.20.如图，在四面体中，平面，点为中点，且，，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求的值；若不存在，请说明理由.21.设为一个（即行列）的数表.对任意，记第行第列元素为且.若存在，，使得，则称有序数组为一个同角矩形数组.（1）直接分别写出下列两个数表中，同角矩形数组的个数；①：1111-11111②：1-11-1-11-111-11-1-11-11（2）若数表中没有同角矩形数组，求的最大值；（3）若，求出中同角矩形数组个数的最小值，并证明同角矩形数组的个数达到最小值时，的每行每列都恰有3个1和3个.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】根据交集的定义，分别代入选项即可求解.【详解】对于A，，不符合，舍去，对于B，，符合要求，对于C,,不符合，舍去，对于D，，不符合，舍去，故选：B2.【答案】A【分析】化简复数，再根据复数的几何意义，即可得到答案；【详解】，对应的点为，点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.3.【答案】D【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题，，则其否定是，.故选：D4.【答案】C【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解.【详解】.故选：C5.【答案】B【分析】根据对称以及的单调性可得在区间上递增，将写成分段函数的形式，分析可得在区间上为增函数，据此可得的取值范围．【详解】根据题意，函数与函数的图象关于轴对称．若在区间内单调递减，则在区间上递增，而，在区间上为增函数，则有，即的取值范围为故选：B．6.【答案】A【分析】根据直线和平面的平行性质得到，得到答案.【详解】，则，因为，则，同理故选：【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力.7.【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】，时一定有，充分性满足，但时有，但，必要性不满足，因此是充分不必要条件．故选：A8.【答案】D【分析】首先判断和，通过反例可知不是“互垂点集”，由此可排除三个选项.【详解】设，为上任意一点：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集”，可排除选项；本题正确选项：【点睛】本题考查对于新定义的理解，简单方式为通过排除的方法得到正确选项，也可以利用函数的值域来确定和为“互垂点集”，但判断过程较繁琐；对于选择题，合理的采用排除法可极大的减少运算量.9.【答案】D【分析】对于A项：以点为顶点，为底面研究三棱锥的体积即可；对于B项：在矩形内思考即可判断；对于C项：在矩形中即可判断与的关系，从而判断与平面的关系；对于D项：利用线面角的定义可作出线面角，再解三角形即可；【详解】解：对于A项：因为为底面正方形内（含边界）的动点，所以点到平面的距离为1，所以，故A错误；对于B项：在矩形内，当时，显然与不垂直，故B错误；对于C项：在平面内，与相交，所以与平面相交，故C错误；对于D项：连接，因为平面，所以是在平面内的射影，所以为直线与平面所成角，所以在直角三角形中，，故D正确；故选：D10.【答案】B【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D.【详解】对于A，同时与，垂直，，且，，构成右手系，即成立，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同，则，与共线，且方向相同，因此，C正确；对于D，，，因此，D正确.故选：B【点睛】思路点睛：向量是有大小、方向的量，探讨两个向量相等，需从大小和方向两个方面分别探讨.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【分析】由条件可得等差数列的公差，再由其前项和公式代入计算，即可得到结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，所以.故答案为：12.【答案】0【分析】先由可得，再用数量积的运算法则即可求解.【详解】解：因为非零向量，满足，则，所以，则.故答案为：0.13.【答案】①.②.【分析】（1）在中，应用正弦定理即可；（2）由即可求得.【详解】解：（1）因为在中，，，，所以，于是在中，由正弦定理可知，，所以；（2）.故答案为：；14.【答案】【分析】利用辅助角公式并根据平移规则可得，代入计算可得结果.【详解】易知，向右平移个单位长度得到函数，可得.故答案为：15.【答案】①②④【分析】对于①，由棱锥体积公式即可判断；对于②，由外接球的定义可得中点为外接球球心，其半径为，再用球的体积公式计算即可；对于③，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，即可判断；对于④,由条件可知到面的距离最大时，线面角最大，然后代入计算，即可判断.【详解】对于①，，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大值为，故①正确；对于②，设的中点为，则由知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以外接球体积为，即三棱锥的外接球体积不变，故②正确；对于③，若，由，，平面，平面，可得平面，因为平面，则，因，根据直角三角形斜边最长，知道不成立，故③错误；对于④，因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，到面的距离为，设与平面所成角为，此时，因为为锐角，所以，即与平面所成角的余弦值最小值为，故④正确．故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2），【分析】（1）利用三角恒等变换公式和诱导公式，化简已知等式得到，解之得，结合是三角形的内角可得；（2）算出，结合正弦定理算出．利用诱导公式与两角和的正弦公式算出，最后利用正弦定理可求解，由面积公式即可算出的面积．【小问1详解】，由，得，解之得，是三角形的内角，；【小问2详解】由，得，，，又,，,的面积为．17.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，可得，根据判定定理即可得证；（2）分别取的中点，构造过点且与平面平行的平面，可得，即可得证.【小问1详解】证明：取的中点，连接，在三棱柱中，因为分别为的中点，则，且，为的中点，则，且，则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.【小问2详解】证明：分别取的中点，连接，设，则，且，则则四点共面，因为，又平面，平面则平面，又平面，平面，则平面，又，则平面平面，又平面，则平面，又平面平面，平面平面，则，又为的中点，则为的中点.18.【答案】（1）①；②；（2）.【分析】（1）①利用全概率公式求概率；②应用独立乘法、互斥事件加法公式求概率；（2）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小.【小问1详解】①若表示抽到男性，表示抽到女性，表示识别为男性，表示识别为女性，由题设，，所以，，又，，所以，，所以抽取一张，求识别结果正确的概率；②由，，所以，，所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为.【小问2详解】程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为，程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为，由频率估计概率得，，，所以.19.【答案】（1）（2）单调递减区间为和；单调递增区间为（3），证明见解析【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率f'（2）根据f'x的正负可得（3）构造函数，利用导数可说明在，0,+∞上单调递增，由此可得结论.【小问1详解】当时，，则，，，∴fx在点1,f1处的切线方程为【小问2详解】由题意知：的定义域为；，令，解得：，当时，f'x<0；当时，f'∴fx的单调递减区间为和；单调递增区间为.【小问3详解】fx令，则定义域为，，令，则，则当时，ℎ'x<0；当x∈0,+在上单调递减，在0,+∞上单调递增，，，在，0,+∞上单调递增，且，或，恒成立，即，∴fx20.【答案】（1）证明见详解（2）（3）存在，【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，从而平面，进而得出结论；（2）以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设，则，求得，设直线与平面所成角为，由题意，列式求解即可.【小问1详解】因为，则，即，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，由平面，可得.【小问2详解】以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得,设平面的法向量为，则，令，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以平面和平面夹角的余弦值为.【小问3详解】设，则，设，则，得，即，可得，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，由题意，，整理可得，解得或（舍去），所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.21.【答案】（1）：5；：4（2）4（3）6；证明见解析【分析】（1）由同角矩形数组定义按行列顺序寻找可得；（2）根据抽屉原理，从首行前3列入手，逐行排数，找寻规律.先用反证法求证，再找到没有同角矩形数组的数表即可得；（3）举出一个数表，含有6个同角矩形数组个数，再证明同角矩形数组个数可得.从满足题意的数表中分析规律，逐行（列）分析同角矩形数组的个数满足的条件，再累计计数，利用不等式求最值可得.【小问1详解】中含5个同角矩形数组，分别为；中含4个同角矩形数组，分别为.【小问2详解】①首先证明：若数表中没有同角矩形数组，则.下面用反证法证明.证明：假设，若是一个数表，由题意，对任意，记第行第列元素为且.则根据抽屉原理可知，第一行中的5个元素中必然至少有3个元素相同.不妨设前3列3个数都为1，若数表中没有同角矩形数组，则第2行到第5行，任何一行前3列至多1个1，否则某一行的两个“”必与第一行中的两个“”对应到一个同角矩形数组.即任何一行前3列只能是这3种情况之一.故由抽屉原理，第2行到第5行这4行中必然有两行的前3列元素相同，从而这两行中的“”对应到一个同角矩形数组，这与数表中没有同角矩形数组矛盾.故假设错误，.由上分析，在数表中总能找到同角矩形数组，当时，自然也都总能找到同角矩形数组，故.②给出下面一个数表，不含同角矩形数组.综上所述，若数表中没有同角矩形数组，则的最大值为4.【小问3详解】①给出下面一个数表，在数表中满足每行每列有3个“”和3个“”，它所含同角矩形数组的个数为6这6个同角矩形数组分别为.规律分析：观察上面的数表，不妨取第二行入手寻找数表中数字与同角矩形之间的规律.可以发现第二行的3个“”，