2024年北京东城区高一下学期期末数学试题及答案

高中东城区2023-2024学年度第二学期期末统一检测高一数学 2024.7本试卷共4页，满分150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（2）的值为（A）（B）（C）（D）（3）从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是（A）“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件（B）“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件（C）“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件（D）“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件（4）在△中，，则（A） （B）（C）（D）（5）设，为非零向量，下列结论中正确的是（A）（B）（C） （D）（6）某高校的入学面试为每位面试者准备了3道难度相当的题目.每位面试者最多有三次抽题机会，若某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若李明答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（A）0.24（B）0.6（C）0.84（D）0.936（7）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（A）（B）（C） （D）（8）设是两个不同平面，是两条不同直线，且，则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件ba（C）充分必要条件 ba（9）向量,在正方形网格中的位置如图所示，则＝（A）45° （B）60° （C）120° （D）135°（10）如图，已知正方体的棱长为2，其中分别为棱的中点，那么三棱柱与三棱柱在正方体内部的公共部分的体积为（A） （B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知向量，，若与垂直，则实数的值为.（12）已知纯虚数满足，则可以是.（13）一木块如图所示，所有棱长都等于10，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为.（14）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，，为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为℃；若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为.（15）赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.下图是某同学绘制的赵爽弦图，其中，点分别是正方形和正方形上的动点，给出下列四个结论：①；②；③设与的夹角为，则的值为；④的最大值为其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.（17）（本小题13分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法小组和科创小组的情况，数据如下表（单位：人）参加书法小组未参加书法小组参加科创小组84未参加科创小组330（=1\*ROMANI）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个小组的概率；（=2\*ROMANII）在既参加书法小组又参加科创小组的8名同学中，有5名男同学，，，，，3名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率．（18）（本小题15分）如图，在四棱锥中，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值.（19）（本小题15分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，若，求实数的值；（Ⅲ）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．（20）（本小题14分）设函数（）.从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在.（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．条件=1\*GB3①：函数的图象经过点；条件=2\*GB3②：在区间上单调递增；条件=3\*GB3③：是的一条对称轴．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（21）（本小题15分）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及.（Ⅰ）若，，，，求；（Ⅱ）若，均为中的元素，且，，求的最大值；（Ⅲ）若均为中的元素，其中，且满足，求的最小值.

东城区2023-2024学年度第二学期期末统一检测高一数学参考答案及评分标准2024.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）B（3）A（4）B（5）C（6）D（7）A（8）A（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（答案不唯一）（13）（14）（15）②③ 解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分） 解：（Ⅰ）因为，且，所以，所以.故.........................7分（=2\*ROMANII）因为，且，，所以.........................13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法小组又未参加科创小组的有30人，故至少参加上述一个小组的共有（人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个小组的概率为．........................6分（Ⅱ）从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中被选中且未被选中的有，，，，共2个，所以被选中且未被选中的概率为．........................13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，,所以平面．........................5分（Ⅱ）因为，，所以．因为平面，所以．又因为所以平面．又因为所以平面平面．........................10分（Ⅲ）因为平面，平面，所以.在△中，点为的中点，所以为的中点．所以........................15分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以两边平方得所以.........................5分（Ⅱ）因为，所以存在唯一的实数，使得，即，所以解得.........................10分（Ⅲ）不正确

.理由如下：

因为，所以，即，则有，所以“”的充要条件是“”，即“”的充要条件是“”是不正确的.........................15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）选择条件=2\*GB3②=3\*GB3③：.由条件=2\*GB3②：在区间上单调递增，有，又，即，所以.......(1)由条件=3\*GB3③：是的一条对称轴，有，即，所以.......(2)由(1)(2)可得.所以.由，解得，所以的单调递减区间为.........................9分（Ⅱ）因为，所以，所以，.因为对于任意的，都有，所以.........................14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以，则.由得，又由得，所以.........................5分（Ⅱ）设，，其中.由，得，即或者或者，即不能同时为.由知有且仅有个，其余全为.当时，中的个数为，则中必存在，使得，这与不能同时为矛盾.所以.当时，令，，，满足条件.所以的最大值为3.