第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·强化卷）解析版-沪科版(2024)八上

第15章轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A.该选项不是轴对称图形，不符合题意；B.该选项不是轴对称图形，不符合题意；C.该选项是轴对称图形，符合题意；D.该选项不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．2．下列各命题的逆命题不成立的是（

）A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应边相等C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余【答案】C【详解】解：A、原命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“有两角相等的三角形是等腰三角形”，∵等角对等边，∴逆命题成立．B、原命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形全等”，∵全等判定，∴逆命题成立．C、原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴逆命题不成立．D、原命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，∵三角形内角和180°，两角互余则第三角为90°，∴逆命题成立．故选：C．3．如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接，

是的垂直平分线，，，，，，故选：A．4．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故选：B．5．如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等；B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等；C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等；D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等，故选：A．6．在中，，．在上取一点，以点为圆心，以的长为半径（）画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，，，由尺规作图可得，平分，，，，故选：C．7．如图，中，，，，且平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，又，∴，∴；∵，∴所以．故选：D．8．如图，图形的各个顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：A．9．如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【详解】解：连接．∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，∴，解得∵是线段的垂直平分线，∴点A关于直线的对称点为点C，∴，∴，∴的长为的最小值，∴的周长最短．故选：D．10．如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（

）①；②；③连接，则平分A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【详解】解：和都是等边三角形，，，，，，，故①正确；，，又，，即，故②正确；，和边上的高相等，即点B到和边的距离相等，平分，故③正确；综上可知，正确的结论有3个，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为．【答案】【详解】解：根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数可知：点关于x轴对称的点的坐标是．故答案为：．12．如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是．【答案】【详解】解：如图，延长交于点，平分，且于，，，在和中，，，，，，，故答案为：．13．在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为．【答案】【详解】解：∵∴∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点∴∴∴∴故答案为：．14．如图，在等边中，交于点于点．（1）∠PBQ的度数为；（2）连接，若，则的值为．【答案】2【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，．在与中，，∴．，，．．，；故答案为：；（2）∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：2．三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．如图，在中，，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F，，求的度数．【答案】【详解】解：，是的一个外角，．16．如图，等边的边长是，动点M、N分别从点A，点C同时出发，沿、匀速运动，点M，点N的运动速度分别是，，当点M运动时，求点M，点N两点间的距离．【答案】【详解】解：是边长为的等边三角形，，，点M，点N的运动速度分别是，，点M运动时，是等边三角形点M，点N两点间的距离是．17．如图，是等腰三角形，，．(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．(2)判断是否为等腰三角形，并说明理由．【详解】（1）解：如图所示：即为所求．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．∴是等腰三角形．18．如图，在同一地面上，有两个观测点，，从，两点观测大楼的楼顶点．已知，，三点在同一条直线上，两点间的距离为．(1)求的度数．(2)求两点之间的距离．【详解】（1）解：，，．（2）解：，，，，．答：两点之间的距离为．19．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明：(1)；(2)．【详解】（1）证明：∵是的平分线，又∵，，∴．在和中，，∴．∴．（2）证明：在和中，∵，∴，∴．∴．20．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．(1)求从B岛看A，C两岛的视角是多少度？(2)已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离．【详解】（1）解：由题意可知，，，，，，，；（2）解：过点C作，则，，，，在中，，海里，∴（海里）．答：B岛和C岛间的距离为25海里．21．在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，．(1)求证：；(2)连接，若平分，当时，求的度数．【详解】（1）证明：在中，，分别是边，上的高，，和都是直角三角形，在和中；（2）解：在上截取，连接，如图所示：平分在和中，，是的外角，在中，即的度数为．22．如图，点在的边上，连接．(1)如图1，为的中点，①若，记的面积分别为，求的值；②若，，求的度数．（用含的式子表示）(2)如图2，若与的周长相等，设．求的长（用含的式子表示）．【详解】（1）解：①∵，∴，∴，∵为的中点，∴，∴；②∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵与的周长相等，∴，∴，∴．23．如图，点，分别是等边的边，上的动点（端点除外），点，以相同的速度，同时从点，出发．(1)如图，连接，，求证：．(2)如图，当点，分别在，边上运动时，，相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．(3)如图，当点，分别在，的延长线上运动时，直线，相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不