期末考前满分冲刺之质压轴题（教师版）-沪科版(2024)八上

期末考前满分冲刺之优质压轴题【专题过关】类型一、一次函数中的定点问题1．已知直线的解析式为，则直线过定点（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，得到，即可得到打答案，此题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：当时，，∴直线过定点，故选：B2．一次函数，将函数变形为．当时，，所以无论a取任何实数，一次函数过定点．已知一次函数，正方形，A，B，C，D，若一次函数的图象与正方形的边有交点，则k的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】先求出无论k取任何实数，一次函数过定点，画出图形，当一次函数过点A时，可得，当一次函数过点B时，可得，数形结合，即可求解．【详解】一次函数，将函数变形为．当时，，∴无论k取任何实数，一次函数过定点，如图，

当一次函数过点A时，有：，解得：，当一次函数过点B时，有：，解得：，∵一次函数的图象与正方形的边有交点，∴，结合图象可知：或，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象，坐标与图形，根据题干求出一次函数过定点，是解答本题的关键．3．一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把一次函数整理为，再令，求出y的值即可．【详解】解：一次函数整理得，∴令，则，∴，∴它的图象一定经过点．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．已知直线．（1）若该直线与直线没有公共点，则；（2）若，直线经过定点，则点的坐标是．【答案】/【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握互相平行的两条直线的特点，是解题的关键．（1）根据两条直线互相平行时，两条直线没有公共点，求出k的值即可；（2）将直线的解析式进行变形，然后求出结果即可．【详解】解：（1）∵该直线与直线没有公共点，∴，解得：，故答案为：；（2）∵，∴令，解得：，当时，，∴定点的坐标是．故答案为：．5．一次函数．（1）该函数的图象一定过定点；（2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于与y轴交于，若函数图象不经过第四象限，则，，根据相关性质求解即可．【详解】解：（1），当时，，该函数的图象一定过定点；（2）该函数图象不经过第四象限，，，故答案为：；．6．已知一次函数（为常数，）（1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是；（2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为．【答案】2,33【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．（1）将该一次函数解析式整理为，易得当时，，即可获得答案；（2）根据直线将分成左右面积之比为的两部分，可知，确定点坐标，然后代入函数解析式并求解即可．【详解】解：（1）∵，∴当时，，∴直线恒过点；（2）设直线与轴交于点，如下图，∵直线将分成左右面积之比为的两部分，∴∵，，，∴，∴，∴，将点代入，可得，解得．故答案为：（1）；（2）3．类型二、一次函数的增减性最值1．已知过点的直线不经过第四象限．设，则（

）A．S有最大值，最大值为6 B．S有最小值，最小值为6C．S有最大值，最大值为 D．S有最小值，最小值为【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，得出，，是解题的关键．根据过点的直线不经过第四象限，得出，，求出，得出，根据一次函数的增减性求出当时，有最小值为，．【详解】解：过点的直线不经过第四象限，，，，∴，∴，∵，∴S随n的增大而增大，∵，当时，有最小值为，故选：D．2．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（

）A． B．0 C．5 D．7【答案】C【分析】本题考查一次函数，联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值．【详解】解：联立与得，解得，当时，，；当时，，；综上可知，该函数的最小值是5，故选C．3．我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值【答案】B【分析】本题考查的是一次函数的性质，新定义运算的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先求解当，或，设，，分别画出函数的简图，再分类讨论即可．【详解】解：设，，如图，当，解得：或，当时，，∴，此时没有最大值，也没有最小值，当时，，∴，此时当时，有最大值，最小值；当时，，∴，此时没有最大值，也没有最小值，综上：可得A，C，D不符合题意，B符合题意；故选B4．当时，一次函数的最小值为，则．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数上点的坐标特征，先由得y随x的增大而减小，继而判断出当时，，代入计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：∵一次函数中，，∴y随x的增大而减小，当时，一次函数的最小值为，∴当时，，∴，故答案为：．5．已知函数（1）若，当时，的取值范围是（2）当时，有最小值5，则的值是【答案】8或【分析】本题主要考查了绝对值的性质，一次函数的性质，解一元一次不等式等知识点，(1)把代入，再根据一次函数的性质即可求解；(2)根据一次函数的性质，分三种情况讨论，即可求解；熟练掌握绝对值的性质，进行分类讨论是解决此题的关键．【详解】(1)当时，，∵，∴y随着x的增大而减小，当时，，当时，，∴，当时，，.∵，∴y随着x的增大而增大，∴当时，，当时，，∴∴y的取值范围为：，故答案为：；(2)

当时，，∵，x越大，越小，∴当时，y取得最小值，∴y的最小值为，∵y有最小值5，∴，∴，当时，，∵，x越大，越大，∴当时，y取得最小值，∴y的最小值为，∵y有最小值5，∴，∴，当时，，∵，y在时取得最小值，∵y有最小值5，∴，∴，∵不满足这个条件，∴舍去，综上所述：a的值是8或，故答案为：8或．6．已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为．【答案】5或【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可．【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大，∴当时，，∴，解得：；当时，函数y随x的增大而减小，∴当时，，∴，解得：；∴k的值为5或．故答案为：5或．类型三、几何最值1．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取最小值时，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于AD对称的点M，连接，与AD交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果．【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接，与AD交于点F，∵是等边三角形，是边上的中线，∴，∴M在AB上，∴，∴，即此时最小，且为的长度，∵，∴，即点M为AB中点，∴，故选：A．2．如图，已知等边的边长为，中线，点在BD上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明，作点关于直线CF的对称点，连接交CF于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，，都是等边三角形，，，，，，，，，，，作点关于直线CF的对称点，连接交CF于，此时的值最小，，，是等边三角形，，，，周长的最小值．故选：A．3．如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质．过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点作于，过点作，∴，∵四边形是长方形也就是矩形，，，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴点在平行且到距离为的直线上运动，当点、、共线时，，则，此时有最小值，此时，∴四边形是长方形，∴，∴，∴的最小值为，故选：C．4．如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，，点，分别为，边上的动点，则周长的最小值为．【答案】6【分析】本题考查了线段和最小值问题，对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定及性质；过作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，由对称的性质得，此时的最小值为，由等边三角形的判定及性质，即可求解；掌握线段和最小值的典型解法，找出取得最小值的条件是解题的关键．【详解】解：如图，过作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，，，，，，当共线时此时的最小值为，因为，所以是等边三角形，，的最小值为，故答案：．5．如图，锐角△中，，，△的面积是6，，，分别是三边上的动点，则△周长的最小值是．【答案】2【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于AB的对称点，作点关于的对称点，连接，AD，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是AD的值最小，的面积是，，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点关于AB的对称点，作点关于的对称点，连接，AD，，∴，即AB是的垂直平分线，是的垂直平分线，且，；∵，∴，即，∴当点在一条直线上时，三角形是等边三角形，∴，∴周长，即的最小值就是AD的最小值，根据垂线段最短，可知当时，AD最小，即此时周长最小，∵的面积是，，即，∴，即周长最小，故答案为：．【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键．6．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为．【答案】6【分析】本题考查了折叠性质，轴对称-最短路线问题，连接，CF，根据折叠得出C和E关于对称，，当F和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出长，代入求出即可．【详解】解：连接，CF，∵沿折叠C和E重合，∴，，，∴，垂直平分，∴C和E关于对称，∴，，∴的周长，∴当F和D重合时，的值最小，此时的周长最小，最小值是．故答案为：6．类型四、折叠问题1．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处．若刚好平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．根据折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．【详解】解：由折叠可知．因为平分，所以，所以，所以，．因为，所以．所以．故选A．2．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解．【详解】解：由折叠可知，，，，又∵，∴，∴，∴，∵四边形的周长是，，∴，则，则，∴，∴四边形的周长为，故选：A．3．如图是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．设，根据折叠的性质得，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，据此即可求得．【详解】解：如图，设，∵纸条沿折叠，∴，∴，∵纸条沿折叠，∴，而，∴，解得，∵，∴，∴．故选：C．4．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为．【答案】#46度【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差运算，解决本题的关键是熟练运用轴对称的性质．设，，根据折叠可得，，进而可求解．【详解】解：设，，根据折叠可知：，，∵，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度数为．故答案为：．5．如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数为．（用含n的代数式表示）【答案】【分析】本题主要考查角的运算和图形折叠的性质，，进而求得，，结合，即可求得答案．【详解】∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．故答案为：6．如图，对称片方形纸片，使AD与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图1．继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕BM，把纸片展平，如图2，则．【答案】【分析】本题考查了折叠性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，结合折叠得，以及证明是等边三角形，再进行角的运算，即可作答．【详解】解：∵四边形是长方形，，由折叠得，∵使AD与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，∴，即，是等边三角形，，，，故答案为：．类型五、一次函数中的行程问题1．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（

）①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．根据图形可得轿车行驶千米，用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断①，根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②；设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③；待定系数法求得解析式，根据Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④．【详解】解：由图象可得，轿车行驶千米，轿车的速度为：，故①正确；由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误；由题意可得所在直线为关于x的正比例函数，设直线的解析式为：，将代入得：，解得，∴；则时，，∴点的坐标为，∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶，∴轿车行驶后需．∴点坐标为：．设线段所在直线的函数表达式为，将点代入得：，解得，∴线段所在直线的函数表达式为，故③正确；设段的函数解析式为，将代入得：，解得，∴．Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，有，，解得；Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，有，，解得．即两车出发小时或小时后相距．故④错误．正确说法有两个，故答案为：B．2．已知，A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来1.5倍的速度前往B市．如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，下列四种说法：①甲车出发时的速度是60千米时；②乙车的速度是96千米时；③乙车返回时与的函数关系式为；④甲车到达市时乙车已返回市2小时20分钟．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，结合函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①根据速度路程时间倍数，即可求出甲车出发时，以及提速后的速度，①错误；②根据速度路程时间，即可求出乙车的速度，②正确；③根据修车时间可求出点的坐标，根据点及利用待定系数法，即可求出乙车返回时与的函数关系式，③正确；④先求出甲车到达市的时间，用其减4即可得出甲车到达市时乙车已返回市时间，④错误．综上即可得出结论．【详解】解：①甲车出发的速度为：（千米时），提速后的速度为：（千米时），故①错误；②乙车的速度为（千米时），故②正确；③修车用了20分钟，点的横坐标为，点的坐标为．设乙车返回时与的函数关系式为，将点，代入，，解得，乙车返回时与的函数关系式为，故③正确；④甲车到达市的时间为（小时），（小时），甲车到达市时乙车已返回市小时，故④错误．综上所述：正确的结论有②③．故选：B3．货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分；CD；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是．【答案】①②③④【分析】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发10分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程速度时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求与CD解析式可判断②，先求出点货车的时间，用轿车修车分钟段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点的坐标可判断③；求出轿车速度米分)，到时轿车追上货车两车相遇，列方程，解得可判断④．【详解】解：由图象可知，当时，轿车开始出发；当时，轿车开始发生故障，则分钟)，即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，设货车速度为米分，轿车故障前的速度为米分，根据题意，得：，解得：，货车的速度为米分，轿车故障前的速度是2000米分，故①正确；，设解析式：过点与点，代入坐标得解得解析式：点表示货车追上轿车，从到表示货车追及的距离是，货车所用速度为，追及时间为分钟点CD段表示货车用分钟行走的路程，点的横坐标为分，纵坐标米，，故③正确；设CD解析式为，代入坐标得解得解析式为与CD解析式中的相同，，故②正确；点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为：米分)，到时轿车追上货车两车相遇，，解得，即图中的值是；故④正确，正确的结论有①②③④．故答案为：①②③④．4．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为h．【答案】或或【分析】本题考查了一次函数的应用．根据图象数据求出甲、乙的速度，再求出段，段，段对应的函数解析式，然后根据甲、乙两车相距列出方程求出即可．【详解】解：由图可知，甲从到所用时间为，甲车的速度为，乙出发时甲所走的路程为：，甲出发时，甲、乙两车相距；线段对应的函数表达式为：，设乙车刚出发时的速度为，则装满货后的速度为，根据题意可知：，解得：，段对应的函数解析式为，根据题意得：，解得，，甲出发时，甲、乙两车相距；坐标为，坐标为，设对应的函数解析式为，则，解得，对应的函数解析式为，由题意得：，解得，此时，综上所述：当甲、乙两车相距时，甲车的行驶时间为或或．故答案为：或或．5．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：(1)慢车的速度为，快车的速度为；(2)求出点D的坐标；(3)求当x为多少时，两车之间的距离为．【答案】(1)80；120(2)(3)或【分析】本题考查从函数图象获取信息，待定系数法求解析式，一次函数的应用，读懂图象，获取信息是解题的关键．（1）根据图象可知先出发的车行驶0.5小时，行驶，可得先出发的车的速度，根据两车相遇的时间可得后出发的车的速度，即可得答案；（2）点D表示快车到达乙地，求出快车走完全程所需时间即可得到点D的横坐标，再求出此时慢车所走过的路程即可得到点D的纵坐标，即可解答；（3）分相遇前和相遇后两种情况，采用待定系数法分别求出线段，线段的函数解析式，令，求出x的值，即可解答．【详解】（1）解：由图象可知：先出发的车行驶0.5小时，行驶距离为，∴先出发的车的行驶速度为，∵后出发的车行驶小时时两车相遇，∴后出发的车的速度为，∴先出发的车为慢车，速度为，后出发的车为快车，速度为．故答案为：80；120（2）解：点D表示快车到达乙地，∵快车走完全程所需时间为，∴点D的横坐标为，此时慢车走过的路程为，∴点D纵坐标为360，∴点D的坐标为；（3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km，两车相遇前，设线段的函数解析式为，∵该直线过点，，∴，解得，∴，当时，，解得，∴当时，两车之间的距离为；两车相遇前，设线段的函数解析式为，∵该直线过点，，∴，解得，∴，当时，，解得，∴当时，两车之间的距离为；综上所述，当或时，两车之间的距离为．6．已知、两市相距千米，甲车从市前往市运送物资，行驶小时在地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往市，如图所示，是两车距市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象．(1)甲车提速后的速度是，乙车的速度是，点C的坐标是；(2)求乙车返回时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)求甲车到达市时乙车已返回市多长时间？【答案】(1)，96，(2)与的函数关系式(3)甲车到达市时乙车已返回市小时．【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，理解图示，掌握一次函数与行程问题的运用是解题的关键．（1）根据函数图象可得甲车的原速度为千米/小时，则提速后的速度为千米/小时；根据题意可得乙车所来回行使的路程为千米，除维修时间外，行驶时间为小时，根据路程时间速度得出乙车的速度，由此可得，乙车从点返回的时间为小时，则点的横坐标为；（2）根据点的坐标以及与轴的交点求出函数解析式；（3）分别求出甲车和乙车在修好后行使的时间，然后进行计算．【详解】（1）解：根据图示，甲车行驶小时到达地的速度为：（千米/小时），∴甲车提速后的速度是千米/小时，根据图示，分钟小时，乙车去的时间，回来的时间和为：（小时），乙行驶的路程为：（千米），∴乙车的速度是千米/小时，∴乙从点返回的时间为：（小时），∴点对应的横坐标为：，∴点的坐标为，故答案为：．（2）解：由题意，点的坐标为，且过，∴设乙车返回时，与的关系式为：，∴，∴解得：，∴乙车返回时，与的关系式为：．（3）解：由题意，修好车后，小时，小时，∴小时，答：甲车到达市时，乙车已返回市小时．类型六、一次函数中的新定义1．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数与图象的关系，掌握待定系数法及转化思想是解题的关键．由题意：当时，直线上有“零点”，所以直线与线段有交点，求出直线经过A、B两点时m的值即可判断．【详解】解：由题意得：直线与线段有交点，其中，当直线经过时，，当直线经过时，，∴m的取值范围为：，故选：B．2．定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键．找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．【详解】解：由定义知，一次函数的“衍生函数”为，∵点在一次函数的“衍生函数”图象上，∴．故选：D．3．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”．（1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则；（2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，（1）利用待定系数法和“阶和点”的定义即可求解；（2）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．【详解】解：（1）点是关于的正比例函数的点，，．点到两坐标轴的距离之和等于，点是关于的正比例函数的“阶和点”，．；故答案为：；（2）关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有两个交点．由题意得：，，关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，①如图，当时，一次函数的图象经过，则，．，．关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，．②如图，当时，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，∴综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为．故答案为：．4．定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相对函数”．（1）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则m的值是；（2）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则n的值是．【答案】【分析】本题主要查了求函数值或自变量，理解新定义是解题的关键．（1）把代入解析式，即可求解；（2）分两种情况：当时，当时，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：；故答案为：（2）当时，，此时；当时，，此时；综上所述，n的值是．故答案为：5．定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线（为常数）的关联点为．如图，已知点．(1)点的关联直线的解析式为；直线的关联点的坐标为；(2)设直线的关联点为点，直线的关联点为点，点在轴上，且，求点的坐标．【答案】(1)，(2)或【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，理解关联点、关联直线的定义是解题的关键．（1）根据关联点、关联直线的定义求解；（2）利用待定系数法求出直线，的解析式，再根据关联点、关联直线的定义得出点D和点E的坐标，进而求出直线与y轴的交点H坐标，根据列方程求解即可．【详解】（1）解：点的关联直线的解析式为，，直线的解析式为，直线的关联点的坐标为，故答案为：，；（2）解：设直线的解析式为，将代入，得：，解得，直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，由关联点的定义可得：直线的关联点为，直线的关联点为，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为，设直线与y轴交于点H，当时，，，设点P的坐标为，则，，解得或，点的坐标为或．6．在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线，若满足点N在直线上，则称点M为直线的“反炫点”．(1)已知直线，①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由；②若点B是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点B的坐标；(2)点是直线的反炫点，当时，求a的取值范围．【答案】(1)①点是直线的“反炫点”；②；(2)当，；当，．【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征．（1）①先判断点在直线上，即可求得点是直线的“反炫点”；②设点，由题意得，，据此求解即可；（2）根据定义求得，由，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：①当时，，∴点在直线上，点是直线的“反炫点”；②设点，∵点是直线上一点，∴，∵点也是直线的“反炫点”，∴，∴，解得，，∴；（2）解：∵点是直线的反炫点，∴，即，∵，∴，即，∴当，；当，．类型七、一线三等角1．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处．则：①的长为__________；②点B的坐标为__________．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上一动点且在第一象限，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出Q的坐标，若不能，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）或【分析】本题考查了一次函数与三角形的全等综合，等腰直角三角形的一线三垂直模型；（1）过作轴于，过作轴于，由可得，，，，易证，得到，，因此；（2）同（1）可证，，，，求得，最后代入求出一次函数解析式即可；（3）先得到，，再设，则，，，然后根据当在下方或上方分两种情况讨论，最后根据等腰构建一线三直角，从而求解．【详解】解：（1）①如图1，过作轴于，过作轴于，则，

，，，∴，②∵，∴，∵等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，∴∴，，，，（2）如图2，过点作轴于，

∵将等腰如图放置，直角顶点，点，∴，，，，∵轴，∴，∴，，，，，，设直线的表达式为，将和代入，得，解得，直线的函数表达式；（3）∵点过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，∴，，，∵P是线段上的一个动点，∴设，则，∵点Q是直线上一动点且在第一象限，∴设，，当在下方时，如图，过点作轴于，交于，则，

∴，∴，∴，∵点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵，，，∴，，，，，∴，解得，符合条件，，解得，符合条件，∴；当在上方时，如图，过点作轴于，交于，同理可证，∴，，∵，，，∴，，，，，∴，解得，符合条件，，解得，符合条件，∴，综上所述，或．2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：；（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，求的面积．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出；（2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论；（3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：，，又，，，，，在和中，，∴，（2）解：，理由如下：，，，又，∴，，，，即；（3）解：由（2）得且，，∴，∴，∴，则，∴．3．已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上．(1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标．(2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为0,4，点的坐标为时，求的坐标；(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分．【答案】(1)，，(2)(3)见解析【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标，（2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标，（3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解，本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形．【详解】（1）解：，，，，，，B0,3，，，，，，，，在和中，，，，，点的坐标为，（2）过点作轴于，，，，，在和中，，，，的坐标为0,4，点的坐标为，，，，点的坐标为，（3）延长、交于点，轴，，，，∵，，，在和中，，，，，，在和中，，，故轴恰好平分．4．等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．

(1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标；(2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：；(3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度．【答案】(1)(2)见详解(3)的长度不变，【分析】（1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；（2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论；（3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故．【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，

∵轴于点F，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴∵点的横坐标为，∴，∴；（2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，

∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：的长度不变，理由如下：如图3，过点C作轴于点E，

∵，∴．∵，∴．∵，，∴，∴，．∵，∴．∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．5．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角．(1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标．(2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）．(3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C点的坐标为(2)存在点P，使，理由见解析(3)存在为定值，其定值为【分析】（1）过点C作轴于点M，可证明，进而求得结果；（2）作的平分线交于H，先证明，从而，进而证明，进一步得出结论；（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N,K，可得△ACN≌△ABK，进而得出结果．【详解】（1）过点C作轴于点M．∵是直角，∴∵轴，∴，∴∵，，∴∴，，∵，，∴，∴C点的坐标为（2）存在点P，使．理由：作的平分线交PC于H．∵，，∴，∵E，F关于y轴对称，∴，∵，，∴，，∴，∴∵，，∴，∴，∵，∴，∴．（3）存在为定值，其定值为．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、K．∵，，∴∵，，∴，∴∵，，，∴，，∴，，∴，∴∴存在为定值，其定值为．【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标与线段长之间的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是利用等腰直角三角形构造全等三角形．6．如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E．(1)请你在图1中写出一对全等三角形：___________(2)请证明你所写结论．(3)尝试探究：若，；①图1中四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，）②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，）(4)拓展应用：，，则B点坐标为：___________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：___________【答案】(1)(2)见解析(3)①，②或(4)，或或【分析】（1）由图可知；（2）利用可证；（3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和；（4）参照1-3，在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论．【详解】（1）解：和是一对全等三角形，故答案为：；（2）证明：，，，，，在和中，，；（3）解：①由（2）知，，，四边形的面积为：；②同（2）可证，，，，四边形的面积为：，故答案为：，；（4）解：如图所示，作轴于点D．，，，．，轴，，，，在和中，，，，，，；若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示：当点P在第二象限时，作轴于点H．，轴，，，，在和中，，，，，，；同理可得，，综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或．故答案为：，或或．【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型．类型八、等腰三角形中的手拉手1．如图1，在中，于点E，，D是上的一点且，连接，．(1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2，若将图1中的绕点E旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3，若将图2中的和都换成等边三角形，其他条件不变，请直接写出与的数量关系和夹角（锐角）的度数．【答案】(1)，(2)，不变化，见解析(3)，【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质解答；（2）证明根据全等三角形的性质证明即可．（3）根据等边三角形的性质，利用边角边原理证明．再根据等边三角形的性质，全等性质，三角形内角和定理证明即可．【详解】（1）证明：，．证明如下：∵，，，∴，∵∴，∴，，延长交于点M，∵，∴，∴，∴，∴，故，．（2）证明：，不变．证明如下：∵，，，∴，∴，∴，∵∴，∴，，设交于点F，交于点N，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故，．（3）证明：，且二线夹的锐角为．理由如下：∵和都是等边三角形，，，.，即，∵，∴，．如图4，设与的交点为，设交于点H，∵，，.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，对顶角性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．教材回顾：我们在学习完等腰三角形的轴对称性后，教材设置了这样一道题目：如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，与相等吗？我们通过证明，得出，的理由是；拓展思考：（1）设与的交点记为点，与的交点记为点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想（可直接使用结论）；自主探究：若和在直线的异侧，其余条件不变，如图所示，与的延长线交与点，与的延长线于点，与交于点，连接．（2）求证：；（3）；思维发散：（4）如图，若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，请你参考以上探究过程，在图中画出图形的一种情况，并结合图形写出条结论（等边三角形的性质除外）．【答案】教材回顾：拓展思考：（1），证明见解析自主探究：（2）证明见解析（3）思维发散：（4）图见解析；条结论：，；理由见解析【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得；（1）由全等三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，进而可得，于是可证得，于是可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，根据内错角相等两直线平行可得结论；（2）利用可证得，于是有，，即，然后利用可证得，于是可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，根据同位角相等两直线平行可得结论；（3）由（2）可得：，，利用三角形外角的性质可得，利用邻补角互补即可求得的度数；（4）若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，在图中画出图形的一种情况，并结合图形写出条结论：；；利用可证得，于是有，，利用三角形外角的性质及三角形的内角和定理可求得，然后根据邻补角互补即可求出的度数，于是可得结论．【详解】解：的理由是，理由如下：和都是等边三角形，，，，，即：，，故答案为：；（1），理由如下：，，即：，和都是等边三角形，，，，，，，，又，是等边三角形，，，；（2）证明：和都是等边三角形，，，，，，，，，，即：，和都是等边三角形，，，，，，，，又，是等边三角形，，，；（3）由（2）可得：，，，，故答案为：；（4）若绕点旋转，其余条件不变，当点、、不在一条直线上时，在图中画出图形的一种情况如下：结合图形写出条结论：，，理由如下：和都是等边三角形，，，，，即：，，，，即：，又，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，利用邻补角互补求角度，同位角相等两直线平行，三角形外角的性质，对顶角相等，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．(1)模型探究：如图1，和中，，，，连接．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由．(2)模型应用①：如图2，中，，，D为平面内一点，且，求的度数，聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点E，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）．(3)模型应用②：如图3，在四边形中，，，，试探究线段的数量关系，并说明理由．(4)拓展提高．如图4，已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作的垂线交射线于点E，当点D在内部时，作，交射线于点F，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析(4)证明见解析【分析】（1）先证明，再利用即可证明；（2）如图所示，在线段上找到一点E，使得，先证明，进而证明，得到，求出，进而得到，则；（3）将绕着点B逆时针旋转得到，连接，利用已知条件得出，利用勾股定理可得结论．（4）先证明，得到，再根据角度计算得到，从而得出和的数量关系．【详解】（1）证明：∵即又∵∴；（2）解：∴∴，即，∴，∴∴，；（3）解：猜想：线段，和之间的数量关系为：，理由如下：，∴将绕着点B逆时针旋转得到，连接，如图，则，∴，∴为等边三角形.，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴；（4）解：证明：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，如图，∵，∴∴∴∵∴∴∴∵∴∵G是的中点，∴∴∴∴，∴∵∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键4．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，CF，延长交CF于点D．则与CF的数量关系：__________，；(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，CF，延长BE，交于点D．请猜想与CF的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展应用：在和中，，，，连接，CF，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数．【答案】(1)，30(2)，理由见解析(3)或【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答；（2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再分两种情况说明或即可．【详解】（1）解：如图1，设交于点G，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴．故答案为：，30．（2）解：，理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．（3）解：如图3所示：∵和都是等腰三角形，∴，∴，即：，∴，∴，∵，∴,∴,∴；当F点在线段上时，同法可证得：，，，，；综上，或．5．综合与实践：数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1．独立思考：（1）如图1，求证：；实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：解决问题：（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．①求的度数；②线段与线段交于点F，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①；②．【分析】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，平行线的性质定理．解题关键是找到全等的三角形，得出相等的线段，构造直角三角形解决问题．（1）本题利用证明，再利用三角形全等的性质既可以得到；（2）①由，得出内错角相等，再加上有两个直角和，最后由周角减出即可；②连接，首先由（1）的全等得出，再证明，从而得出是等边三角形，确定为30度的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得出即可；【详解】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，．在和中，，，；（2）解：①，．，．，；②如图，连接，由（1）知，，．，．由①知，在和中，，，．，，是等边三角形，．，，在中，，．6．如图1，在和中，，，．连接，．(1)求证：；(2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F．①若，求的度数；②连接，求证：平分；③若G为上一点，，，且，连接，直接写出与的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①；②见解析；③【分析】（1）根据，推出，从而结合“”证明，即可得出结论；（2）①根据，得出，根据结合三角形内角和定理即可得出答案；②过点A作于点M，于点N，根据，得出，，证明，即可证明结论；③证明，得出，，证明，根据等腰三角形三线合一得出，，根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求出结果．【详解】（1）证明：∵，∴，即：，在和中，∴，∴；（2）解：①根据解析（1）可知，，∴，∵，又∵，∴；②过点A作于点M，于点N，如图所示：∵，∴，，∴，∴，∴平分；③；连接，如图所示：∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，即：，∵，∴，在和中，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题关键．类型九、一次函数中的特殊三角形1．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为．(1)求一次函数的表达式；(2)一次函数的图象上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；(3)如果在一次函数的图象存在点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)存在，点的坐标或(3)点的坐标为：或或【分析】（1）先将代入，求出点的坐标，再由待定系数法即可求解；（2）先求出点的坐标，得出，设点，当点位于轴上方时，，当点位于轴下方时，，分别求得值，再代入解析式求得值，即可得到答案；（3）设点，得到，，，分情况讨论，当时，当时，分别列出方程，解之即可．【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，解得：，点的坐标；一次函数的图象过点和点，则有，解得：，，一次函数表达式为．（2）解：一次函数的图象上存在点，使得；理由如下：对于一次函数，令，得：，解得，所以点，所以，设点，当点位于轴上方时，，解得：，当点位于轴下方时，，解得：，当时，，解得：，当时，，解得：，故点的坐标或．（3）解：设点，则，，，当时，，所以，解得：或，此时点的坐标为或；当时，，所以，解得：，此时点的坐标为；综上分析可知：点的坐标为：或或．【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键．2．【源于课本】（1）将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为∶．【小组探究】（2）我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动．①（平移探究）将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向右平移个单位长度，得到点，，其坐标分别为，，从而求出直线对应的函数表达式为：．②（轴对称探究）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：；③（旋转探究）如图2，若一次函数的图象与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到的直线与轴交于点．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程）【学以致用】（3）如图2，在上述③的条件下，轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；；；②；③；（3）存在点，坐标为或或或【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可；（2）①设直线的解析式为，利用平移规律可得出点、点的坐标，然后代入解析式构成方程组求解即可；②找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于轴对称的点的坐标，然后代入一次函数解析式构成方程组求解即可；③过点作交于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再代入解析式构成方程组求解即可；（3）设，先确定点、的坐标，然后利用两点间距离分别表示出、、，然后根据等腰三角形的性质分三种情况求解：①当时；②当时；③当时．【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：，故答案为：；（2）①∵，，∴将它们沿着轴向右平移个单位长度，得、，设直线的一次函数解析式为，∴，解得：，∴直线对应的函数表达式为，故答案为：；；；②如图，设一次函数的图象与轴的交点为点，与轴的交点为点，当时，；当时，，得：，∴，，∵一次函数的图象关于轴对称，，∴，设所得到的直线对应的函数表达式为，过点，，∴，解得：，∴所得到的直线对应的函数表达式为，故答案为：；③如图，过点作交于点，过点作轴于点，∴，∵，，∴，，∵将直线绕点A逆时针旋转，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，设旋转后的直线对应的函数表达式，，，∴，解得：，∴旋转后的直线对应的函数表达式为；（3）存在．设，∵直线：，与轴交于点，与轴交于点，当时，；当时，，得：，∴，，∴、、，①当时，得：，∴或，解得：或，∴此时点的坐标为或；②当时，得：，∴，解得：，∴此时点的坐标为；③当时，得：，∴，解得：或（舍去），∴此时点的坐标为；综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或或【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离，等腰三角形的性质等知识点．熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键．3．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点A0,3，交轴于点．直线交于点，交轴于点．(1)求直线的解析式和点坐标；(2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值．(3)如图2，点坐标为，则的面积是．(4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标．【答案】(1)直线的解析式为，点坐标(2)存在，(3)(4)满足条件的点C的坐标为或【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键．（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标；（2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可；（3）利用三角形面积公式列式运算即可；（）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：把A0,3、代入得到，解得：，∴直线的解析式为，∵点在直线上，横坐标为，把代入可得：，∴点坐标；（2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，∵A0,3，，，∴的最小值；（3）如图2中，∵点坐标为，，∴，．故答案为18；（4）如图3中，①当是等腰直角三角形时，作轴于，∵，∴∵∴，∴，，∴，②当是等腰直角三角形时，同理可得等，综上所述，满足条件的点的坐标为或．4．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴，轴交于点、，直线与直线交于点，直线过点，与轴交于点，点的纵坐标是．(1)求直线的解析式；(2)若点E在x轴上，且，求点E坐标；(3)点在直线上，且在直线的左侧，，点是线段的动点，过点Q作轴，交直线于点，在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点E的坐标为：或；(3)存在，N的坐标为：，或，或，【分析】本题是一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形性质等知识；（1）由待定系数法即可求解；（2）过点作直线，在点的下方取点，使，则点，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解；（3）求出直线解析式为，得到，再分类求解即可．【详解】（1）解：在中，令得，令得，，，点的纵坐标是，，设直线的解析式为，把代入得：，解得，直线的解析式为；（2）解：由、的坐标知，，过点作直线，在点的下方取点，使，则点，则直线的表达式为：，则点；当点在轴右侧时，同理可得：点；综上，点的坐标为：或；（3）解：存在，理由：在直线上存在点，使得，设交直线于，如图：，，，，在中，令得，，设，直线为，则，解得，直线为，令得：，，，，，即，解得，；在轴上存在点，使得为等腰直角三角形，由，得直线解析式为，设，轴，在上，在中令，得，，，①当为直角顶点时，如图：，，解得，，；②当为直角顶点时，如图：，，解得，，；③当为直角顶点时，过作，如图：，，解得，，，，，，；综上所述，的坐标为：，或，或，．5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B4,0，点D是直线上一动点．(1)求直线的解析式；(2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标；(3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）根据，求出，设点D的坐标为，得出，，根据，得出，求出结果即可；（3）先求出A-2,0，；再分两种情况进行讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形求出点P的坐标即可．【详解】（1）解：令中得，∴，设直线的解析式为y=，得直线的解析式为；（2）解：∵，∴，设点D的坐标为，∴，，∵，∴，∴，解得：，∴点D的坐标为；（3）解：把代入得：，解得：，∴A-∴，∵点D为的中点，∴，即；当在下方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作于点G，如图所示：则，，，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，设直线的解析式为：y=kx+bk≠0，解得：，∴直线的解析式为：，联立，解得：，∴此时点P的坐标为；当在上方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作，交延长线于点G，如图所示：则，，，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，设直线的解析式为：y=kx+bk≠0，解得：，∴直线的解析式为：，联立，解得：，∴此时点P的坐标为；综上分析可知：点P的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键．6．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．

(1)求直线的解析式和点B的坐标．(2)求的面积．(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)或．【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标；（2）根据，，即可求解；（3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解．【详解】（1）设直线的函数表达式为．图象经过点，，，解得，直线的函数表达式为．联立，解得：，点的坐标为；（2），，；（3）点在轴上，，当是直角三角形时，需分和两种情况．①当时，点在图中的位置：点和点均在轴上，轴．，；

②当时，点在图中的位置：设，，，，，，，，．在中，，在中，，，即，解得，．综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或．类型十、等腰三角形中的线段数量关系1．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________．（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程．【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据题意得，和，即可证明，则有；（2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有；（3）作交AB于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则．【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，，由题意得，，在和中，，∴，∴；（2）成立，理由如下：由题意得，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，（3），理由如下：作交AB于H，如图，∵为等边三角形，，∴，，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．2．中，，．D，E是直线上两动点，点D沿方向运动，点E沿方向运动，且．连接，作直线，垂足为F，交于点G，直线交（或延长线）于点H．(1)如图1，当点D，E在线段上时．①过点B作交于点P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）②求证：；③猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想：(2)如图2，当点D，E在直线上时，其他条件不变，（1）③中你猜想的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)①图见解析；②见解析；③猜想：，证明见解析(2)（1）③中