大学专科考试题目及答案

大学专科考试题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在定义域内为奇函数的是（）A.$y=x^2$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$2.直线$3x-4y+5=0$的斜率是（）A.$\frac{3}{4}$B.$-\frac{3}{4}$C.$\frac{4}{3}$D.$-\frac{4}{3}$3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,-1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$等于（）A.1B.5C.-1D.-54.函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域是（）A.$x\geq0$B.$x\geq1$C.$x\gt1$D.$x\gt0$5.等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=5$，则公差$d$为（）A.1B.2C.3D.46.函数$y=\cos2x$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$7.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A\capB$等于（）A.$\{1,2,3,4\}$B.$\{2,3\}$C.$\{1,4\}$D.$\varnothing$8.若$x\gt0$，则函数$y=x+\frac{1}{x}$的最小值是（）A.1B.2C.3D.49.曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为（）A.1B.2C.3D.410.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha$的值为（）A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下哪些是基本初等函数（）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数2.下列不等式中，正确的是（）A.$x^2+1\geq2x$B.$x^2+2\gt2x$C.$x^2+1\gt2x$D.$x^2+2\geq2x$3.直线$Ax+By+C=0$（$A$、$B$不同时为0）的位置关系可能有（）A.平行B.相交C.重合D.异面4.下列向量中，与向量$(1,-1)$垂直的向量有（）A.$(1,1)$B.$(-1,-1)$C.$(-1,1)$D.$(2,2)$5.等差数列的性质有（）A.若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$B.从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数C.奇数项成等差数列D.偶数项成等差数列6.函数$y=\sinx$的性质包括（）A.奇函数B.周期为$2\pi$C.值域为$[-1,1]$D.在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上单调递增7.已知集合$M=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$N=\{1,2\}$，则下列说法正确的是（）A.$M=N$B.$M\subseteqN$C.$N\subseteqM$D.$M\capN=\{1,2\}$8.函数$y=a^x$（$a\gt0$且$a\neq1$）的性质有（）A.当$a\gt1$时，函数在$R$上单调递增B.当$0\lta\lt1$时，函数在$R$上单调递减C.函数过定点$(0,1)$D.函数的值域是$(0,+\infty)$9.下列求导公式正确的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(e^x)^\prime=e^x$D.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$10.若$a\gtb\gt0$，则下列结论正确的是（）A.$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$B.$a^2\gtb^2$C.$\sqrt{a}\gt\sqrt{b}$D.$a^3\gtb^3$三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数$y=x^3$是偶函数。（）3.直线$y=2x+1$与直线$y=2x-1$平行。（）4.若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的数量积为0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。（）5.数列$1,2,4,8,\cdots$是等差数列。（）6.函数$y=\tanx$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\inZ$。（）7.集合$A=\{1,2\}$，集合$B=\{2,1\}$，则$A=B$。（）8.函数$y=\lnx$在定义域内单调递增。（）9.曲线$y=x^2$在点$(0,0)$处的切线方程是$y=0$。（）10.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，则$\alpha=\frac{\pi}{6}$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数$y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$的定义域。答案：要使函数有意义，则根号下的数大于0，即$x-2\gt0$，解得$x\gt2$，所以定义域为$(2,+\infty)$。2.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$d=2$，求$a_5$。答案：根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，当$n=5$，$a_1=3$，$d=2$时，$a_5=3+(5-1)×2=3+8=11$。3.求函数$y=3x^2-2x+1$的导数。答案：根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，常数的导数为0，则$y^\prime=(3x^2-2x+1)^\prime=3×2x-2=6x-2$。4.已知$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，且$\alpha$是第一象限角，求$\cos\alpha$的值。答案：根据$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，已知$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，则$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\frac{3}{5}$。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$y=x^2$与$y=2^x$的图像交点情况。答案：可以通过分析函数性质。$y=x^2$是二次函数，$y=2^x$是指数函数。当$x=2$时，两函数值相等都为4；当$x=4$时，两函数值也相等都为16。在$x\lt0$时，指数函数值小于二次函数值；在$0\ltx\lt2$，二次函数值小于指数函数值；$2\ltx\lt4$时相反。所以有两个交点。2.讨论直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是通过圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小比较，$d\gtr$时相离，$d=r$时相切，$d\ltr$时相交；二是联立直线与圆的方程，消元后看所得一元二次方程的判别式，$\Delta\gt0$相交，$\Delta=0$相切，$\Delta\lt0$相离。3.讨论数列在实际生活中的应用。答案：数列在贷款还款、储蓄利息计算