2024年中考数学（重庆）第一次模拟考试（含答案）

2024年中考第一次模拟考试（重庆卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．−3的相反数是（

）A．−3 B．3 C．−13 2．下列图形中是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

3．下列运算结果正确的是（

）A．x3⋅xC．2x234．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC:OF=3:2，则△ABC的周长与△DEF周长之比为（

）A．3:2 B．3:5 C．9:4 D．9:55．估计2×A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（

）A．601+x2=48.6C．601−x2=48.67．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）A．71 B．78 C．85 D．898．如图，⊙O的半径为8，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，F为弦BC的中点，连接OF，若OF=3，则sin∠ACDA．34 B．35 C．389．如图，正方形ABCD中，E为正方形内一点，连接CE，使CE=CB，再连接AE，将AE绕点A逆时针旋转90°得到AF，连接DF，若∠DCE=α，则∠ADF的度数为（

）A．α B．90°−2α C．45°+α2 10．学习数学离不开计算，我们已经学过加、减、乘、除四则运算．已知实数a、b，若a+b、a−b、ab、ab是四个数中有三个数相同，则称a为b①若a为b的关联数，则b一定为−1；②若a为b的关联数，则a一定为−1③若a为b的关联数，则a+b为b的关联数④若a为b的关联数，则ab为b的关联数．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．计算：3−112．方程x2=3x的解为13．现有四张正面分别标有数字−2，−1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两次抽取的数字之和为正数的概率为．14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，△ABO的面积为6，则k15．如图，矩形ABCD中，AB=2,∠BAD的平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°．CD是中线，过点A作AE⊥CD，垂足为点F，与BC相交于点E，若AC=3，BC=4，则CE的长是．17．若关于x的一元一次不等式组x+1≥x+933x>a+1的解集为x≥3，且关于y的分式方程yy−218．一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'，把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为Fn，例如：n=13时，n'=31,F13=1331−311399=−18．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y(1≤b<a≤9,1≤x,y≤9，且a,b,x,y为整数)．若Fs能被5整除，则a−b的值为三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）a−3ba+b（2）1−m20．（10分）如图，在▱ABCD中，CE⊥BC分别交AD，BD于点E，F．(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD，①，∴∠ABG=∠CDF．∵AH⊥BC，CE⊥BC，∴∠AHB=∠ECB=②度，∴AG∥CF，∴又∵③，∴∠BGA=∠DFC，在△ABG和△CDF中，∠ABG=∠CDE∠BGA=∠DFCAB=CB，∴∴④，又∵AG∥∴四边形AGCF是平行四边形．21．（10分）某校为选拔教师参加市教育局举办的主题教育竞赛，特细组织该校七、八年级的教师进行初赛，并从两个年级中各随机抽取了20名教师的成绩，将抽取的成绩进行整理，成绩得分用x（单位：分，x为整数）表示，其分成A：90≤x<100；B：80≤x<90；C：70≤x<80；D：60≤x<70四个等级，并规定成绩不低于90分为优秀．部分信息如下：七年级20名教师的初赛成绩如下：70，70，70，75，75，75，80，80，80，85，85，90，90，90，90，95，95，95，100，100．八年级20名教师的初赛成绩为B等级的成绩分别为80，80，85，85，85．通过分析数据，列表如下：年级平均数众数中位数方差优秀率七年级84.5a8594.7545八年级84.585b95.25c(1)填空：a=_______，b=_______，c=______．(2)学校欲选派成绩较好的年级教师参加市级竞赛，应选择哪个年级的教师？请说明理由．(3)若该校七、八年级参加本次初赛的教师各有60人，请估计该校参加初赛的七、八两个年级的教师的成绩为优秀的共有多少人．22．（10分）随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售，已知B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元．(1)梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？(2)已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，1440元购买B款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？23．（10分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接AE，设运动时间为t秒，△ACE的面积为y．(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出△ACE的面积为3时t的值．24．（10分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为4003米的山坡BD到达点D，BD的坡度为3:1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：2≈1.414(1)求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．25．（10分）如下图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(−1,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在一点M，使得S△MBC=1(3)如下图，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值．26．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E分别为BC上两动点，BD=CE．(1)如图1，若EH⊥AD于H交AB于K，求证：AE=EK；(2)如图2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG=GF，求证：(3)如图3，若AB=4，将AE绕点E顺时针旋转90°得EM，N为BM中点，当AN+12AM2024年中考第一次模拟考试（重庆卷）数学·全解全析第Ⅰ卷选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．−3的相反数是（

）A．−3 B．3 C．−13 【答案】B【分析】本题考查相反数，符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．【解析】−3的相反数是3，故选：B．2．下列图形中是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．【解析】A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．下列运算结果正确的是（

）A．x3⋅xC．2x23【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解．【解析】A.x3⋅B.2xC.2x2D.2+3x2−3x故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．4．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC:OF=3:2，则△ABC的周长与△DEF周长之比为（

）A．3:2 B．3:5 C．9:4 D．9:5【答案】A【分析】本题考查了相似的性质，位似变换∶如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似图形；通过相似的性质即可求解．【解析】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∵OC:OF=3:2，∴△ABC与△DEF相似比为3:2，故△ABC的周长与△DEF周长之比为3:2．故选：A．5．估计2×A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【解析】2==43=3∵25<27<36，∴5<27<6，即∴2×24−3的值应在故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．6．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（

）A．601+x2=48.6 C．601−x2=48.6 【答案】C【分析】根据降价后的价格=原价×（1－降价率），列出方程；【解析】第一次降价后价格为：60×（1－x），第二次降价后价格为：60×（1－x）（1－x）=48.6，即601−x故选：C；【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，根据降价计算方式列出等量关系．7．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）A．71 B．78 C．85 D．89【答案】D【分析】先得出前几个图形中小正方形个数，总结出变化规律，即可解答．【解析】根据题意可得：第1个图形中小正方形的个数：22第2个图形中小正方形的个数：32第3个图形中小正方形的个数：42……第n个图形中小正方形的个数：n+12∴第8个图形中小正方形的个数：92故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的规律探索，解题的关键是根据图形，总结出变化规律．8．如图，⊙O的半径为8，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，F为弦BC的中点，连接OF，若OF=3，则sin∠ACDA．34 B．35 C．38【答案】C【分析】本题考查圆周角定理，求角的正弦值．连接OB,OC，推出∠A=∠BOF，等角的余角相等，得到∠OBF=∠ACD，得到sin∠ACD=【解析】连接OB,OC，则：∠BOC=2∠A，OB=OC=8，∵F为弦BC的中点，∴OF⊥BC,∠BOF=1∴∠OBF+∠BOF=90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠OBF=∠ACD，∴sin∠ACD=故选C．9．如图，正方形ABCD中，E为正方形内一点，连接CE，使CE=CB，再连接AE，将AE绕点A逆时针旋转90°得到AF，连接DF，若∠DCE=α，则∠ADF的度数为（

）A．α B．90°−2α C．45°+α2 【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，连接BE由等腰三角形的性质可得∠ABE，由旋转的性质可证明△DAF≌△BAE，即可求解．【解析】连接BE如图：∵ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∵CE=CB，∠DCE=α，∴∠CEB=∠CBE，∴∠CBE=180°−∠BCE∴∠ABE=90°−∠CBE=90°−α由AE绕点A逆时针旋转90°得到AF，得∠EAF=90°，AE=AF，∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∠EAF=∠DAF+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵AD=AB，∴△DAF≌△BAE，∴∠ADF=∠ABE=45°−α故选：D．10．学习数学离不开计算，我们已经学过加、减、乘、除四则运算．已知实数a、b，若a+b、a−b、ab、ab是四个数中有三个数相同，则称a为b①若a为b的关联数，则b一定为−1；②若a为b的关联数，则a一定为−1③若a为b的关联数，则a+b为b的关联数④若a为b的关联数，则ab为b的关联数．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据整式的加减的运算法进行判断即可．【解析】假设a+b=a−b得b=0，由ab可知b≠0，可得：a+b≠a−b假设a+b=a∴a=12，b=−1，∴a+b=−12，ab=−12，ab验证③：a+b+b=−32，a+b−b=12∴a+b是b的关联数，故③正确；验证④：ab+b=−32，ab−b=12，∴ab是b的关联数，故④正确；∴正确的有34个，故选：C．【点睛】此题考查了整式的加减，正确进行计算是解题的关键．第Ⅱ卷填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．计算：3−1【答案】10【分析】本题考查零次幂、负整数次幂，根据任何非0数的零次幂等于1，a−b【解析】3=1+=1+9=10，故答案为：10．12．方程x2=3x的解为【答案】x【分析】此题考查了解一元二次方程，将一次项移到等式左边，利用因式分解法解方程，由此得到一元二次方程的解，正确确定一元二次方程的解法是解题的关键．【解析】xxx∴x1故答案为：x113．现有四张正面分别标有数字−2，−1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两次抽取的数字之和为正数的概率为．【答案】58【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之和为正数的概率．【解析】列树状图可得：由树状图可得共有16种等可能结果，其中两次数字之和为正数的有10种，故概率为：1016故答案为：5814．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，△ABO的面积为6，则k【答案】8【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据反比函数的性质可得A2,k2,B4,【解析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵A、B两点的横坐标分别为2和4，∴A2,k2∵S△AOB∴S△AOB∴12解得：k=8．故答案为：8【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．15．如图，矩形ABCD中，AB=2,∠BAD的平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为．【答案】2【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出△ABO的等腰直角三角形，进而求出OA，∠AOB=45°，OB=1，证得Rt△ABO≌Rt【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠DAO=∠BOA，∵OA是∠BAD的平分线，∴∠BAO=∠DAO，∴∠BAO=∠BOA，∴AB=OB=2，∴∠BAO=∠BOA=180°−90°在Rt△ABO中，OA=在Rt△ABO和RtAO=∴Rt△ABO∴∠DOC=∠AOB=45°，∴BC=AD=4，∴∠AOD=180°−45°−45°=90°，∴△OAD的面积为12则阴影部分的面积为：S扇形OAD−故答案为：2π−4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．16．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°．CD是中线，过点A作AE⊥CD，垂足为点F，与BC相交于点E，若AC=3，BC=4，则CE的长是．【答案】9【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上中线的性质得出CD=BD=AD=12AB，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAF，进而求得∠CAF=∠BCD=∠B，即∠B=∠CAF，然后证得△ACE∽△BCA【解析】∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD=AD=1∵CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAF+∠ACF=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACF=90°，∴∠CAF=∠BCD=∠B，又∠ACE=∠BCA=90°，∴△ACE∽△BCA，∴CEAC∴CE=A∵AC=3，BC=4，∴CE=9故答案为：9417．若关于x的一元一次不等式组x+1≥x+933x>a+1的解集为x≥3，且关于y的分式方程yy−2【答案】10【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，首先根据不等式组的已知解集求出a的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出a的取值范围，最后结合两个条件得出答案．【解析】不等式组x+1≥x+933x>a+1∵关于x的一元一次不等式组x+1≥x+933x>a+1∴a+1∴a<8，∵分式方程yy−2∴y=a+2此方程有正整数解，∴a+2>0，但是y=a+2∴a≠2∴a>−2，∴−2<a<8，∴a的整数解且使y有正整数解有a=0或4或6，∴所有满足条件的整数a的值之和是10．故答案为：10．18．一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'，把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为Fn，例如：n=13时，n'=31,F13=1331−311399=−18．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y(1≤b<a≤9,1≤x,y≤9，且a,b,x,y为整数)．若Fs能被5整除，则a−b的值为【答案】59118【分析】本题考查了整式的乘法运算，二元一次方程的整数解，理解整除的意义是解题的关键．根据题意列式表示，并根据整除的意义求解．【解析】∵s=10a+b，∴Fs∵F(s)能被5整除，1≤b<a≤9，∴a−b=5；∵t=10x+y，∴同理可得：Ft∵F(s)+9ky=kF(t)，∴9a−b∵a−b=5，∴9×5+9ky=k⋅9∴k=5∵k为整数，∴x−2y=±1或±5，∴x−2y是奇数，2y是偶数，∴x是奇数，又∵1≤x，y≤9，要使s与t乘积的最大值，s与t都要取最大值，t=10x+y∴x的最大值是9，将x=9代入x−2y=±1或±5中得：9−2y=±1或±5，解得：y=4或5或2或7，∴x=9，y=7时，当tmax∵a−b=5，1≤b<a≤9，∴s的值为：94或83或72或61，∴st的最大值为：94×97=9118，故答案为：5，9118．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）a−3ba+b（2）1−m【解析】（1）原式==−3a（2）原式===220．（10分）如图，在▱ABCD中，CE⊥BC分别交AD，BD于点E，F．(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD，①，∴∠ABG=∠CDF．∵AH⊥BC，CE⊥BC，∴∠AHB=∠ECB=②度，∴AG∥∴∠BGA=∠EFB．又∵③，∴∠BGA=∠DFC，在△ABG和△CDF中，∠ABG=∠CDE∠BGA=∠DFC∴ΔABG≌∴④，又∵AG∥∴四边形AGCF是平行四边形．【解析】（1）：如图所示（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABG=∠CDF．∵AH⊥BC，CE⊥BC，∴∠AHB=∠ECB=90度，∴AG∥CF，∴∠BGA=∠EFB．又∵∠EFB=∠DFC，∴∠BGA=∠DFC，在△ABG和△CDF中，∠ABG=∠CDE∠BGA=∠DFC∴ΔABG≌ΔCDF(AAS)．∴AG//CF，又∵AG∥CF，∴四边形AGCF是平行四边形．故答案为：AB∥CD，90，∠EFB=∠DFC，21．（10分）某校为选拔教师参加市教育局举办的主题教育竞赛，特细组织该校七、八年级的教师进行初赛，并从两个年级中各随机抽取了20名教师的成绩，将抽取的成绩进行整理，成绩得分用x（单位：分，x为整数）表示，其分成A：90≤x<100；B：80≤x<90；C：70≤x<80；D：60≤x<70四个等级，并规定成绩不低于90分为优秀．部分信息如下：七年级20名教师的初赛成绩如下：70，70，70，75，75，75，80，80，80，85，85，90，90，90，90，95，95，95，100，100．八年级20名教师的初赛成绩为B等级的成绩分别为80，80，85，85，85．通过分析数据，列表如下：年级平均数众数中位数方差优秀率七年级84.5a8594.7545八年级84.585b95.25c(1)填空：a=_______，b=_______，c=______．(2)学校欲选派成绩较好的年级教师参加市级竞赛，应选择哪个年级的教师？请说明理由．(3)若该校七、八年级参加本次初赛的教师各有60人，请估计该校参加初赛的七、八两个年级的教师的成绩为优秀的共有多少人．【答案】(1)90，85，30(2)应选择七年级的教师，理由见解析(3)45人【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，根据优秀率等于优秀的人数除以对应的总人数即可求出c；（2）根据两个年级平均数和中位数相同，但是七年级众数高，方差小，优秀率高进行求解即可；（3）用教师总人数乘以样本中两个年级的优秀人数占比即可得到答案．【解析】（1）解：∵七年级中得分为90分的人数有4人，人数最多，∴七年级的众数为90分，即a=90；将八年级老师的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为85分，85分，∴八年级的中位数为85+852=85分，即∵八年级得分不低于90分的人数有6人，∴八年级的优秀率为620×100%故答案为：90，85，30；（2）解：应选择七年级的教师，理由如下：从平均数和中位数来看，两个年级的老师成绩的平均数和中位数都相同，但是七年级老师的众数比八年级老师的高且方差比八年级老师的小，并且优秀率七年级也比八年级的高，∴应选择七年级的教师；（3）解：60×2×9+6∴估计该校参加初赛的七、八两个年级的教师的成绩为优秀的共有45人．【点睛】本题主要考查了中位数，众数，方差，用样本估计总体和平均数等等，灵活运用所学知识是解题的关键．22．（10分）随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售，已知B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元．(1)梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？(2)已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，1440元购买B款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？【解析】（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，由题意得：y=2x−103x+5y=275解得：x=25y=40答：去年5月A款玩具销售单价为25元，B款玩具销售单价为40元；（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，由题意得：19202a解得：a=8，经检验，a=8是原方程的解，且符合题意，∴14403a=1440答：去年5月购进B款玩具60套．23．（10分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接AE，设运动时间为t秒，△ACE的面积为y．(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出△ACE的面积为3时t的值．【解析】（1）解：当0≤t≤4时，E未到达B点，此时CE=t，∴y=2t当4<t≤6时，E到达B点，开始返回C点，此时CE=4−2t−4∴y=2综上所述，可得y=t（2）解：函数解析式，如图所示：函数的性质：函数有最大值，最大值为4．（3）解：当0≤t≤4，y=3时，3=t，即t=3；当4<t≤6，y=3时，3=12−2t，解得t=∴t=3或9224．（10分）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为4003米的山坡BD到达点D，BD的坡度为3:1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：2≈1.414(1)求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．【解析】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，交DE延长线于点K．由题意得，DH=KM，CK⊥EK，∵BD的坡度为3:1∴∠B=60在Rt△DBH中，sinB=DH∴DH=BD⋅sin在Rt△ECK中，∠CEK=45°，EC=1800∴CK=sin∴CM=KM+CK=DH+CK=600+9002答：山顶C到AB的距离约为1873米．（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：由题意得，在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴AC=2CM=1200+18002∴小明到达山顶所需时间为：1200+1800270≈53.5∵53.5>51.5，∴小红先到达山顶C处．25．（10分）如下图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(−1,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在一点M，使得S△MBC=1(3)如图，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值．【解析】（1）解：∵A(−1,0)，∴OA=1，∵OB=OC=3OA，∴BO=OC=3，∴B(3,0)，C(0,−3)，将点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)代入y=ax∴c=−3a−b+c=0解得a=1b=−2∴y=x（2）存在一点M，使得S△MBC连接AC，∵A(−1,0)，C(0,−3)，∴AC的中点为(−1设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=−33k+b=0∴k=1b=−3∴y=x−3，∴过AC的中点与BC平行的直线解析式为y=x−1，联立方程组y=x−1y=解得x=3+172∴M3+172,又∵直线y=x−1关于直线BC对称的