重庆市南开中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

重庆南开中学学年高二（上）期中考试数学试题本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分分，考试时间分钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可.【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则，所以椭圆标准方程为.故选：A.2.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可.【详解】根据，可得，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，第1页/共21页所以，即，则焦点坐标为，故选：C.3.已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】又得到，结合双曲线焦点位置求解即可.【详解】解：因为双曲线C：的离心率为2，所以，焦点，又双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线C的渐近线方程为，故选：A4.记为等差数列的前项和，若，则（）A.10B.15C.20D.25【答案】D【解析】的公差为即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，可得，即，第2页/共21页则.故选：D.5.已知圆与圆相外切，则值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据方程可得各圆的圆心和半径，再结合两圆外切列式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，可得，若圆与圆相外切，则，即，解得.故选：C.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解.【详解】由椭圆，设上顶点为，若存在一点使得，则，可得，其中点为坐标原点，所以，可得，所以.第3页/共21页故选：B.7.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.51B.57C.63D.66【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算【详解】等差数列的前项和为，，，，，，成等差数列，，，，，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，.故选：D8.在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】的值，代入，可得，即，进而求得双曲线的离心率；法二：设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于，根据题意，得到和第4页/共21页离心率.【详解】法一：设双曲线的渐近线斜率，则，，因为线段中点为，可得，且，又因，则，解得，联立方程组，解得，代入，可得，即，所以离心率.法二：如图所示，设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于，因为，即，可得，又因为线段中点为，可得，所以，则，又由，所以，解得，即，所以离心率.故选：C.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.若为数列的前项和，则下列说法正确的是（）第5页/共21页A.常数列是等差数列B.若，则是等差数列C.若是等差数列，则数列为等差数列D.若是等差数列，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项.【详解】A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确；B.，，，，所以不是等差数列，故B错误；C.若是等差数列，则，，则列为等差数列，故C正确；D.若是等差数列，，则，故D正确.故选：ACD10.抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（）A.为中点B.一定为等腰三角形C.若，则的斜率为第6页/共21页D.若在准线上，则【答案】ABC【解析】【分析】求出切线的方程，进而可求出点、的坐标，可判断A选项；利用斜率关系证明出，可判断B选项；利用抛物线的定义求出点的坐标，结合斜率关系可判断C选项；求出点的坐标，可得出点的坐标，结合两点间的距离公式，可判断D选项.【详解】由题意可知，点不与原点重合.设，设切线的方程为，其中.联立可得，即由题意可得，解得此时直线的方程为，即.对于A选项，在直线的方程中令可得，即点，在直线的方程中令可得，即点，故点为线段的中点，A对；对于B选项，易知点，，，所以，故，又因为为的中点，所以，即为等腰三角形，B对；对于C选项，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，可得，则点坐标为,且，故，当点时，第7页/共21页综上所述，若，则的斜率为，C对；对于D选项，当点在准线上时，点，则，此时，D错.故选：ABC.已知，满足的说法正确的有（）A.的轨迹关于原点对称B.恒成立C.当不在坐标轴上时，恒成立D.恒成立【答案】ABD【解析】【分析】设，，将条件进行转化，再利用相关定理和性质来判断各个选项的正确性.【详解】设，，则关于原点的对称点有，，，也满足条件，从而A正确；由得B正确；由余弦定理，从而C不成立.（，因不在轴上，所以）.设原点为，从而D成立.故选：ABD.第8页/共21页35分各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12.已知椭圆的左焦点为的直线交椭圆于，的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】先确定椭圆基本参数，再分直线斜率存在与不存在两种情况，利用椭圆性质、弦长公式或几何意义求的取值范围.【详解】依题意得：，，，左焦点的坐标为，过焦点的弦的长度有两个极端情况：最长弦：当直线与椭圆的长轴重合时，此时弦长等于长轴长，最短弦：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程：此时弦长，当直线绕焦点34的取值范围是.故答案为：.13.已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为_____.【答案】6【解析】解.【详解】设等差数列的公差为，则，即，第9页/共21页对称轴为，所以当时，取得最大值.故答案为：614.直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据抛物线的性质，得到，再由，进而求得线段长度的取值范围.【详解】设直线的倾斜角为，其中，由抛物线的性质，可得，，，所以，则，因为，所以，所以线段长度的取值范围为.故答案为：.5分各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.第10页/共21页15.等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式：（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】1）根据等差数列的通项公式，列方程求解；（2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解.【小问1详解】等差数列的前项和为，，，即，又，，则有，，【小问2详解】记数列的前项和为，当为奇数时，；当为偶数时，；第11页/共21页综上，.16.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角：（2）若，且外接圆半径为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】1）首先根据正弦定理，边化为角，再结合三角函数变换，即可求解；（2）由正弦定理求，再根据余弦定理求，最后代入三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】，，，，又在中，，，，即【小问2详解】外接圆半径，，又，，由余弦定理，，即，，，则的面积.17.已知椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.第12页/共21页（2），【解析】1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可；（2）设，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再由基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题可知直线的斜率不为，又由（1）知：，故可设，，，联立整理得：，从而有，则，，所以，所以，令，则，因为，当且仅当，即时取等号，第13页/共21页所以，当，即时，取得最大值，此时直线的方程为：.18.如图，棱长为1的正方体中，，.（1）若时，（i）求证：面；（ii）求与面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1iii）（2）【解析】1i）连接，交于,证明ii）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦；（2）利用向量法得出二面角余弦的表达式，求取值范围即可.【小问1详解】第14页/共21页（i）证明：连接，交于，因为正方形，所以是中点.又因为是中点，所以，又面，面，面；（ii为原点，，，分别为，，，，，，，，，，，设平面法向量，则，取得，所以所求角的正弦值为.【小问2详解】，，，设平面法向量，则，取得，设平面法向量，第15页/共21页设二面角的平面角为，由图可知为锐角，当时，；当时，，令，得；综上二面角的平面角的余弦值范围为.19.已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，，记动点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交曲线于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.（i）求证：在定直线上：（ii）过点作斜率和为常数的两直线，和曲线相交，交点分别为，和，，弦的中点为，的中点为，若直线过定点，求定点坐标及的取值范围.【答案】（1）（2iii），【解析】1）设动圆圆心为，半径为，由题可知，由，将坐标代入化简即可得出答案；第16页/共21页（2i处切线方程为的方程联立可求出点，处的切线方程，由此可证得在定直线上.（ii）设直线方程为：，联立抛物线的方程，利用根与系数的关系经过一系列化简求出直线和曲线整理可将问题转化为含参的一元二次不等式解的问题，分类讨论即可求出的取值范围.【小问1详解】设动圆圆心为，半径为，则由题意可知，故，将坐标代入可得：，整理得：，故曲线的方程为：.【小问2详解】（i）由题可知直线斜率不为0，故可设，，，联立直线和曲线的方程可整理得：，故有：，，.设点处切线方程为：，联立曲线整理得：，由相切知该方程有两个等根，故有，代入方程可整理得：，同理可得处切线，联立，方程可解得：，，从而在定直线上.第17页/共21页可得：，联立和曲线的方程整理得：，则有，，所以设直线，则由在直线上可得：设，则同理可得：，由此可得，为方程两不等实根，从而有：，，由为常数可知：，所以直线方程为：恒过定点，为常数2.法二：与法一同理，得，，由题知过定点，不妨设过定点，则，记，则有，即，同理；第18页/共21页，，又为常数，对应系数成比例，常数为2，，，令，，，，故过定点，此时.法三：设，，，，则，，设，斜率分别为，，由，在曲线上可得：，，两式相减整理得：，同理可得：从而可知，在曲线上，设直线方程为：，代入上面曲线方程整理得：，从而有，，由题：为常数，故有，所以直线方程为：，故直线恒过定点，且.下求取值范围：法一：联立和曲线整理得：，由题可知：将代入上式得：第19页/共21页同理可得：，又由前面的分析知：.故问题转化为：不等式有两个和为2的不同解，求参数范围问题.1）当时，不等式解为：，显然不存在两个和为2的不同解，不合题意；2）当时，不等式对应二次函数开口向上，恒成立，则不等式解集形如，由图可知存在两个和为2的不同解，符合题意.（可在左边区间取个较小的负数，只需让落在右边区间，则这两个数即为满足题意的解）3）当时，不等式对应二次函