2025年高级统计题库及完整答案

2025年高级统计题库及完整答案一、单项选择题（每题1分，共30分。每题只有一个正确答案，请将正确选项的字母填在括号内）1.在构建CPI篮子时，若某类商品支出占比下降但仍保持较高权重，最可能导致的统计偏差属于（）A.替代偏差B.质量调整偏差C.outlet偏差D.新商品偏差答案：A2.对有限总体不放回简单随机抽样，样本均值方差公式中有限总体校正系数为（）A.(Nn)/(N1)B.(Nn)/NC.n/ND.1n/N答案：A3.若随机变量X~N(μ,σ²)，则E|Xμ|的表达式为（）A.σ√(2/π)B.σ/√(2π)C.σ√πD.2σ/π答案：A4.在双重差分法中，处理组与对照组在干预前满足平行趋势假设的等价表述是（）A.干预前两组结果变量增长率相同B.干预前两组结果变量水平相同C.干预前两组协变量分布相同D.干预前两组误差项同方差答案：A5.对高维线性模型使用Lasso，若惩罚系数λ→∞，则非零系数个数（）A.趋于0B.趋于1C.趋于pD.不变答案：A6.在Bootstrapt置信区间构造中，关键统计量t=(θ̂θ̂)/se(θ̂)，其Bootstrap分布用于估计（）A.抽样分布B.先验分布C.后验分布D.极限分布答案：A7.对月度时间序列建立SARIMA(0,1,1)(0,1,1)₁₂模型，其季节差分阶数为（）A.12B.1C.0D.2答案：A8.若样本偏度g₁=0，样本峰度g₂=3，则JarqueBera统计量近似服从（）A.χ²(2)B.χ²(1)C.t(2)D.N(0,1)答案：A9.在贝叶斯层次模型中，若先验π(θ)∝1，则后验分布形状完全由（）A.似然函数决定B.边缘似然决定C.预测分布决定D.超先验决定答案：A10.对零膨胀泊松回归，若检验“过度离散”参数α=0，应使用的渐近分布为（）A.0.5χ²(0)+0.5χ²(1)B.χ²(1)C.N(0,1)D.F(1,1)答案：A11.在抽样调查中，若设计效应deff=1.8，则有效样本量约为名义样本量的（）A.55.6%B.80%C.180%D.123%答案：A12.对两阶段整群抽样，若群规模不等且采用PPS抽样，则总体总量估计量具有（）A.自加权性B.无偏性但非自加权C.一致性但非无偏D.有偏但方差最小答案：A13.若X₁,…,Xₙ为i.i.d.Exp(λ)，则λ的UMVUE为（）A.(n1)/∑XᵢB.n/∑XᵢC.1/X̄D.X̄答案：A14.在随机森林中，变量重要性度量基于（）A.节点不纯度下降总和B.分裂次数C.OOB误差变化D.树深度答案：A15.对高维协方差矩阵估计，LedoitWolf收缩估计量的收缩目标为（）A.单位矩阵B.对角样本协方差C.恒等矩阵D.样本协方差答案：A16.若使用GMM估计，当矩条件数大于参数个数时，过度识别检验统计量服从（）A.χ²(rk)B.χ²(k)C.F(r,k)D.N(0,1)答案：A17.对空间误差模型Y=Xβ+u,u=λWu+ε，若|λ|>1，则模型（）A.非平稳B.可识别C.无偏D.有效答案：A18.在生存分析中，若累积风险函数H(t)呈线性，则生存时间服从（）A.指数分布B.威布尔分布C.对数正态D.伽马分布答案：A19.对分位数回归，当τ=0.5且误差对称时，系数估计等价于（）A.LADB.OLSC.MLED.GLS答案：A20.在多重插补中，若m=5，则合并后标准误包含（）A.组内方差+组间方差/mB.组内方差C.组间方差D.组间方差×m答案：A21.对网络数据，若采用随机图模型ER(n,p)，则度分布服从（）A.二项B.泊松C.正态D.幂律答案：A22.在因果图模型中，若X←Z→Y且X→Y，则Z为（）A.混杂因子B.中介因子C.碰撞因子D.工具变量答案：A23.对面板数据固定效应模型，若n固定T→∞，则组内估计量（）A.一致B.不一致C.有效D.有偏答案：A24.若使用AIC选模，其惩罚项为（）A.2kB.klnnC.kD.2klnn答案：A25.在MCMC中，若接受率趋于0，则建议分布方差（）A.过大B.过小C.最优D.无关答案：A26.对非参数核回归，若使用高斯核，最优带宽h~n^(1/5)依据（）A.AMISE最小化B.CV最小化C.BIC最小化D.R²最大答案：A27.在贝叶斯因子BF₀₁=3.2，则证据强度属于（）A.正向B.强C.极强D.无答案：A28.对计数数据使用负二项回归，若α→0，则模型退化为（）A.泊松B.二项C.正态D.伽马答案：A29.在控制图应用中，若ARL₀=370，则假警报概率约为（）A.0.0027B.0.05C.0.01D.0.1答案：A30.对函数型数据，若采用FPCA，则得分向量协方差为（）A.对角B.单位C.稠密D.秩1答案：A二、多项选择题（每题2分，共20分。每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）31.下列属于非概率抽样方法的有（）A.便利抽样B.雪球抽样C.配额抽样D.判断抽样答案：ABCD32.对高维回归，下列方法具备变量选择一致性的有（）A.SCADB.MCPC.LassoD.ElasticNet答案：ABCD33.在因果推断中，满足非混杂假设的可行做法包括（）A.随机化B.工具变量C.双重差分D.回归断点答案：ABCD34.下列统计量可用于检验正态性的有（）A.ShapiroWilkB.AndersonDarlingC.LillieforsD.JarqueBera答案：ABCD35.对时间序列ARCH效应检验，可采用（）A.LjungBoxB.LM检验C.EngleARCHD.McLeodLi答案：BCD36.在贝叶斯分析中，属于无信息先验的有（）A.Jeffreys先验B.Reference先验C.Flat先验D.Haldane先验答案：ABCD37.对空间面板模型，固定效应估计方法包括（）A.组内变换B.时间均值差分C.正交变换D.Helmert变换答案：ABC38.下列属于重抽样方法的有（）A.BootstrapB.JackknifeC.PermutationD.Crossvalidation答案：ABCD39.对高维分类，可缓解过拟合的策略有（）A.DropoutB.L₂正则C.早停D.数据增强答案：ABCD40.在生存树构建中，节点分裂准则可采用（）A.Logrank统计量B.似然比C.基尼指数D.均方误差答案：AB三、判断题（每题1分，共10分。正确打“√”，错误打“×”）41.对任意随机变量，若相关系数为0则必独立。（）答案：×42.在双重机器学习框架中，交叉拟合可缓解过拟合导致的偏差。（）答案：√43.当T→∞时，单位根检验ADF统计量极限分布服从标准正态。（）答案：×44.对泊松回归，若存在过度离散，标准误将被低估。（）答案：√45.在Bootstrap百分位区间中，无需对统计量进行枢轴化。（）答案：√46.若设计矩阵列满秩，则岭回归估计量唯一。（）答案：√47.对任意核函数，NadarayaWatson估计在边界处偏差增大。（）答案：√48.在EM算法中，每次迭代似然函数单调不减。（）答案：√49.对分位数回归，目标函数处处可导。（）答案：×50.若使用BayesianLasso，后验众数等价于频率派Lasso估计。（）答案：√四、填空题（每空2分，共20分）51.对总体N=1000，n=100的简单随机抽样，样本比例方差公式为________。答案：p(1p)(Nn)/(N1)/n52.若X~Bin(20,0.3)，则P(X=5)精确到四位小数为________。答案：0.178953.在随机效应meta分析中，τ²表示________方差。答案：异质54.对MA(1)模型Xₜ=εₜ+θεₜ₋₁，其自相关函数ρ₁=________。答案：θ/(1+θ²)55.若使用Gini指数衡量节点不纯度，则二分类问题Gini=________。答案：1∑pᵢ²56.对指数分布Exp(λ)，其危险函数为常数________。答案：λ57.在函数型线性模型中，系数函数β(s)属于________空间。答案：L²58.若Bayes估计采用平方损失，最优估计为后验________。答案：均值59.对空间权重矩阵行标准化后，每行元素之和为________。答案：160.在控制图EWMA中，平滑参数λ越大，对________越敏感。答案：大偏移五、简答题（每题8分，共40分）61.简述双重差分法识别因果效应所需关键假设，并给出图示说明。答案：需平行趋势假设，即无干预时处理组与对照组结果趋势相同；图示：横轴时间，纵轴结果，干预前两线平行，干预后处理组线突变，差分即因果效应。62.说明高维回归中“OracleProperty”定义，并指出具备该性质的两类惩罚估计。答案：OracleProperty指估计量渐近等价于已知真实子集后的最小二乘估计；SCAD、MCP具备。63.写出Bootstrapt区间构造步骤，并指出其与百分位区间的优劣。答案：1.Bootstrap重抽样得θ̂；2.计算t=(θ̂θ̂)/se；3.用t分布分位数校正；优点：二阶精确；缺点：需稳定标准误估计，计算量大。64.解释空间计量模型中“空间溢出效应”含义，并给出SAR模型下的数学表达式。答案：溢出指某地解释变量变化对邻近地被解释变量的间接影响；SAR中∂E(Y)/∂xᵣ=(IρW)⁻¹β，对角线元素为直接效应，非对角为溢出。65.说明FPCA对函数型数据降维的数学原理，并给出累计方差贡献率公式。答案：对协方差算子C(s,t)做谱分解得特征值λₖ与特征函数φₖ；投影得分ξₖ=∫X(t)φₖ(t)dt；累计贡献率=∑₁ᴹλₖ/∑₁^∞λₖ。六、计算与综合题（共80分）66.（15分）对总体{2,5,8,11}，n=2不放回简单随机抽样：(1)列出所有可能样本并计算样本均值；(2)验证E(x̄)=μ；(3)计算Var(x̄)并与公式对比。答案：(1)6样本，x̄分别为3.5,5,6.5,6.5,8,9.5；(2)E(x̄)=6.5=μ；(3)Var(x̄)=3.25，公式得(Nn)/(N1)·σ²/n=3.25，一致。67.（15分）给定二维数据(x,y):(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)，用最小二乘估计线性回归，并计算R²。答案：β̂₁=0.9，β̂₀=1.3，R²=0.81。68.（20分）对PoissonGamma混合模型，Y|λ~Poisson(λ)，λ~Gamma(α,β)，求：(1)边缘分布；(2)E(Y)；(3)Var(Y)；(4)解释过度离散。答案：(1)负二项NB(α,p=β/(β+1))；(2)E(Y)=α/β；(3)Var(Y)=α/β+α/β²；(4)Var>E，存在过度离散。69.（15分）设X₁,…,Xₙ来自f(x)=θx^{θ1},0<x<1,θ>0，求θ的MLE及其渐近分布。答案：θ̂=n/∑lnXᵢ；√n(θ̂θ)→N(0,θ²)。70.（15分）对AR(1)Xₜ=φXₜ₋₁+εₜ，|φ|<1，εₜ~iidN(0,σ²)，求：(1)自协方差函数γₖ；(2)谱密度f(ω)；(3)给出φ=0.5,σ²=1时γ₀。答案：(1)γₖ=σ²φ^{|k|}/(1φ²)；(2)f(ω)=σ²/[2π|1φe^{iω}|²]；(3)γ₀=4/3。七、案例分析题（共40分）71.（20分）某市欲评估限行政策对PM2.5影响，收集2018年1月—2022年12月日均浓度及气象变量，采用双重差分：(1)写出计量模型；(2)说明平行趋势检验步骤；(3)若存在季节效应，如何调整；(4)给出政策效应动态图示方法。答案：(1)Yₜ=α+βPostₜ×Treatₜ