天津南开中学高中数学中考试卷

天津南开中学高中数学中考试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：天津南开中学高中数学中考试卷考核对象：高中一年级学生题型分值分布：-单选题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（3题，每题4分，共12分）-应用题（2题，每题9分，共18分）总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域为（）A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)2.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={1},则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-23.若向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b,则k的值为（）A.-6B.6C.-3D.34.已知等差数列{aₙ}中,a₁=5,公差d=2,则a₅的值为（）A.11B.13C.15D.175.不等式|2x-1|<3的解集为（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)6.已知圆心为C(1,2),半径为2的圆的方程为（）A.(x-1)²+(y+2)²=4B.(x+1)²+(y-2)²=4C.(x-1)²+(y-2)²=4D.(x+1)²+(y+2)²=47.函数f(x)=sin(x+π/4)的最小正周期为（）A.2πB.πC.4πD.π/28.已知点A(1,2)和点B(3,0),则向量AB的模长为（）A.√2B.2√2C.√10D.109.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值,则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-210.已知某校男生身高服从正态分布N(170,10²),则身高超过180cm的男生概率约为（）A.0.1587B.0.3413C.0.8413D.0.0228二、填空题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上,则b²-4ac_______0.2.已知向量a=(2,3),b=(-1,k),若|a+b|=√13,则k=_______.3.等比数列{aₙ}中,a₂=6,a₄=54,则公比q=_______.4.不等式组{x|-1<x<2}∩{x|x≥0}的解集为_______.5.已知圆(x-1)²+(y+3)²=4的圆心到直线2x+y-1=0的距离为_______.6.函数f(x)=cos(2x-π/3)在区间[0,π]上的最大值为_______.7.已知三角形ABC中,∠A=60°,边a=3,边b=4,则边c=_______.8.已知某事件发生的概率为0.6,则其对立事件发生的概率为_______.9.已知函数f(x)=e^x在x=0处的切线方程为_______.10.已知样本数据为5,7,9,10,12,则样本方差s²=_______.三、判断题（每题2分，共20分）1.若a²=b²,则a=b.（）2.函数f(x)=tan(x)是周期函数,周期为π.（）3.等差数列的前n项和Sn与n成二次函数关系.（）4.若直线l₁:ax+by+c=0与l₂:mx+ny+p=0平行,则a/m=b/n.（）5.圆(x-1)²+(y-2)²=1关于y轴对称.（）6.函数f(x)=x²在区间(-1,1)上是减函数.（）7.若事件A的概率为0.7,事件B的概率为0.5,则P(A∪B)=0.2.（）8.已知函数f(x)=x³-3x+1,则f(x)在x=0处取得极值.（）9.正态分布N(μ,σ²)的图像关于直线x=μ对称.（）10.若数列{aₙ}是递增数列,则对任意n,aₙ<aₙ₊₁.（）四、简答题（每题4分，共12分）1.已知函数f(x)=x²-4x+3,求f(x)的顶点坐标和对称轴方程.2.已知向量a=(3,4),b=(1,-2),求向量a+2b的坐标及模长.3.已知等差数列{aₙ}中,a₁=2,d=3,求前10项和S₁₀.五、应用题（每题9分，共18分）1.某工厂生产某种产品,成本函数为C(x)=200+5x(万元),收入函数为R(x)=10x-x²(万元),其中x为产量（单位：万件）.（1）求边际成本和边际收入;（2）求产量x为多少时,工厂利润最大?最大利润为多少?2.在△ABC中,已知∠A=45°,∠B=60°,边a=6,求边b和边c的长度.标准答案及解析一、单选题1.C解析：log₃(x-1)有意义需x-1>0,即x>1.2.A解析：A={1,2},A∩B={1},则1∈B,即a=1.3.B解析：a⊥b⇒a·b=0⇒1×3+k×(-2)=0⇒k=6.4.D解析：a₅=a₁+4d=5+2×4=13.5.C解析：|2x-1|<3⇒-3<2x-1<3⇒-1<x<4.6.C解析：圆心为(1,2),半径为2,方程为(x-1)²+(y-2)²=4.7.A解析：sin函数周期为2π,相位变换不改变周期.8.C解析：|AB|=√[(3-1)²+(0-2)²]=√(4+4)=√8=2√2.9.A解析：f'(x)=3x²-a,f'(1)=0⇒3-a=0⇒a=3.10.A解析：P(X>180)=1-P(X≤180)=1-Φ[(180-170)/10]≈1-0.8413=0.1587.---二、填空题1.>解析：开口向上且顶点在x轴上⇒Δ=b²-4ac>0.2.-5解析：a+b=(1,k-2),|a+b|=√(1²+(k-2)²)=√13⇒k-2=±2√3⇒k=-5或7.3.3解析：a₄=a₂q²⇒54=6q²⇒q²=9⇒q=±3.4.[0,2)解析：交集为{x|0≤x<2}.5.√5解析：圆心(1,-3),距离=|2×1+(-3)-1|/√(2²+1²)=4/√5=2√5/5.6.1解析：cos函数最大值为1,对应2x-π/3=2kπ⇒x=kπ+π/6,在[0,π]内取x=π/6.7.√7解析：余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇒c²=3²+4²-2×3×4×cos60°=13-12=1⇒c=1.8.0.4解析：对立事件概率P(A')=1-P(A)=1-0.6=0.4.9.y=x解析：f'(0)=e^0=1,切点(0,1),切线方程y-1=1(x-0)⇒y=x.10.9.6解析：s²=[(5-8.2)²+(7-8.2)²+(9-8.2)²+(10-8.2)²+(12-8.2)²]/5=48/5=9.6.---三、判断题1.×解析：a²=b²⇒a=±b.2.√解析：tan函数周期为π.3.×解析：Sn=na₁+n(n-1)d/2,是关于n的二次函数（当d≠0时）.4.√解析：平行条件为a₁b₂-a₂b₁=0.5.×解析：圆心(1,2)不关于y轴对称.6.×解析：x²在(-1,1)上是增函数.7.×解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.7+0.5-P(A∩B)≠0.2.8.√解析：f'(0)=0,f''(0)=6>0⇒极小值.9.√解析：正态分布图像关于均值μ对称.10.√解析：递增数列定义要求aₙ₊₁>aₙ.---四、简答题1.顶点(2,-1),对称轴x=2解析：f(x)=(x-2)²-1,顶点(2,-1),对称轴x=2.2.(5,0),|a+2b|=5√5解析：a+2b=(3,4)+2(-1,-2)=(1,0),|a+2b|=√1²+0²=1.3.S₁₀=155解析：S₁₀=10a₁+10×9d/2=10×2+45×3=20+135=155.---五、应用题1.（1）边际成本C'(x)=5,边际收入R'(x)=10-2x.（2）利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-x²+5x-200,L'(x)=-2x+5=0⇒x=2.5,L(2.5)=-2.5²+5×2.5-200=-6.25+12.5-200=-193.75(万元).解析：最大利润在边际成