2026届湖南省衡阳市高三数学学业水平测试卷（含答案）

试卷第=page44页，共=sectionpages44页26届湖南省衡阳市高三数学学业水平测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式中关系符号运用正确的是（

）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，互为相反向量，则C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，3．已知为等差数列的前项和，，则数列的最大项为（

）A． B．C． D．A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若，则5．取两个相互平行且全等的正边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”，则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于（）A． B． C． D．6．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（

）A． B．此人第三天行走了一百一十里C．此人前七天共行走了九百里 D．此人前八天共行走了一千零八十里7．在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O，且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，记，记与底面ABC所成的锐二面角的大小为，当取到最大时，是（

）A． B． C． D．8．已知，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．4二、多选题9．已知复数均不为0，则（

）A． B．C． D．10．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（

）A．B．当时，C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大11．已知，则（

）A．的极小值为B．存在实数，使有4个不相等的实根C．若在上恰有2个整数解，则D．当时，函数的最小值为1三、填空题12．已知一组数据1，3，9，5，7，则这组数据的标准差为．13．已知，则．14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为.四、解答题15．某中学在教工活动中心举办了一场台球比赛，为了节约时间，比赛采取三局两胜制．现有甲、乙二人，已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．求：(1)这场比赛甲获胜的概率；(2)这场比赛在甲获得胜利的条件下，乙有一局获胜的概率．16．已知分别为三个内角的对边，且．（1）求的大小；（2）若b=3,ΔABC的面积为，求的值．17．如图，在平行六面体中，、、分别是、、的中点，侧面平面，，，，．(1)求证：平面；(2)试求二面角的余弦值．18．已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于、、、，且，分别是弦，的中点.（1）求椭圆的方程.（2）求证：直线过定点.（3）求面积的最大值.19．设函数．(1)当时，讨论的单调性，并证明；(2)证明：①当时，；②当时，，当时，；③当时，函数存在唯一的零点．答案第=page1616页，共=sectionpages1717页参考答案题号12345678910答案CDBCBDBBBCDAC题号11答案ACD12．13．/0.87514．15．（1）因为每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，所以这场比赛甲胜的概率为．（2）设事件A为“甲获得比赛胜利”，事件为“乙获胜一局”，则由（1）知，，所以，所以在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率为．16．（1）∵，∴由正弦定理得3sinB即3sinB+（2）∵SΔABC=1即，所以{17．（1）证明：取的中点为，连接、、、、．在和中，因为、、、分别是、、、的中点，所以，，且，，又在平行六面体中，且，所以，四边形为平行四边形，则且所以，，因此四边形为平行四边形，所以，又因平面，平面，所以平面．（2）解：在平行六面体中，侧面为平行四边形，又因为，，则四边形为菱形，取的中点为，连接、、、，在平行六面体中，，，由等角定理结合图形可知，因为，所以，为等边三角形，因为为的中点，则，因为平面，平面平面，平面，平面，在平行四边形中，，，则，所以，为等边三角形，则，且易知，且，则，所以，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18．解：（1）∵椭圆经过点，∴，又∵，与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，∴，，∴，解得，，∴椭圆方程为.（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，消去得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，当时，所在直线为，当时，，直线的方程为：，整理得：，令，可得，即有，所以直线过定点，且为.综上，直线过定点，且为.（3）方法一：面积为.令，由于的导数为，且大于0，所以在上递增.所以在上递减，∴当，即时，取得最大值为，则面积的最大值为.方法二：，，则面积，令，则，当且仅当，即时，面积的最大值为.∴面积的最大值为.19．（1）因为，所以，设，则，所以当时，，函数在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时；当时，因此，当时，在单调递减，在单调递增，所以．（2）①设，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，即时，．②设，则，所以在上单调递增，且，所以当时，，即；当时，，即．③