【数学】芷兰2025年下学期高二第二次月考数学（教师用卷）

试卷第=page1010页，共=sectionpages1111页芷兰2025年下学期高二第二次月考数学答案时量：120分钟分值：150分命题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C2．等差数列前项和为，若、是方程的两根，则()。A、B、C、D、【答案】A3、已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（）A. B.20C. D.6【答案】B4．已知圆关于直线对称，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．4【答案】D5．在四边形中，，，，将沿折起，使点C到达点的位置，且平面平面.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A

6．已知数列，满足：，，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B7．已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（

）A．12 B． C．6 D．【答案】C【详解】根据已知有，圆心，半径，因为弦，所以圆心到所在直线的距离，又因为为的中点，所以有，所以的轨迹为圆心为，半径为的圆，的轨迹方程为；令直线为，则到直线的距离为，则，即，所以当最大时，也取得最大值，由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍，设圆心到直线的距离为，则，所以，所以的最大值为6.法二：圆的参数方程设M点的坐标，再用三角求最值。故选：C8.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1⊥F1F2.直线PF2与C交于另一点Q，与y轴交于点M，若eq\o(MF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2Q,\s\up6(→))，则C的离心率为(D)A.eq\f(3\r(3),7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(\r(7),3)D．eq\f(\r(21),7)[解析]如图，连接F1Q，由eq\o(MF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2Q,\s\up6(→))，得|PF2|＝4|F2Q|，设|F2Q|＝t，则|PF2|＝4t，|PF1|＝2a－4t，|QF1|＝2a－t.由余弦定理得|QF1|2＝|PF1|2＋|PQ|2－2|PF1||PQ|cos∠F1PQ，即(2a－t)2＝(2a－4t)2＋(5t)2－2(2a－4t)×5t×eq\f(2a－4t,4t)，整理得t＝eq\f(5,14)a，则|F1F2|＝eq\r(4t2－2a－4t2)＝eq\r(16at－4a2)＝eq\f(2\r(21),7)a，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,2a)＝eq\f(\r(21),7).故选：D二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．下列说法不正确的是（

）A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则【答案】AD10．如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（

）

A． B．C．D．【答案】ACD11．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，则()。A、第棵树所在点的坐标是，则B、第棵树所在点的坐标是，则C、第棵树所在点的坐标是D、第棵树所在点的坐标是【答案】BC【解析】设为第一个正方形，种植棵树，依次下去，第二个正方形种植棵树，第三个正方形种植棵树，构成公差为的等差数列，个正方形有棵树，由第棵树所在点坐标是，则，由(1)可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为，故前个正方形共有棵树，又，，，因此第棵树在点处，故选BC。三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知函数，则.【答案】13．若点O是锐角三角形△的垂心，且B=60，=6,则△的面为.

【答案】14、法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆，若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则为．【答案】或【分析】由题意可知点在椭圆的蒙日圆上，将直线和蒙日圆联立方程，求出点坐标，根据两点间的斜率公式，即可求出.【详解】因为椭圆，则蒙日圆方程为，当为直角时，点即为直线与的交点，由，解得或，故或，所以或．故答案为：或.四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（13分）已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞eq\f(23,8)成立的最大正整数k的值.解(1)设公比为q，由题意得a1＋a2＝2a3，∴a1(1＋q－2q2)＝0，又∵a1≠0，∴q＝－eq\f(1,2)或q＝1(舍去)，∵a1＋a3＝5，∴a1(1＋q2)＝5，∴a1＝4，∴an＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－1).(2)Sn＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(8,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))).∵Sk＞eq\f(23,8)，∴eq\f(8,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(k)))＞eq\f(23,8)，∴eq\f(5,64)＜－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)，显然，k为奇数，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)＞eq\f(5,64)＞eq\f(4,64)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)，解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.16（15分）在锐角中，角所对的边分别为为边上一点，且平分．（1）求证：；（2）若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】由，所以，则，因为在锐角中，，则，由正弦定理得，得证.【小问2详解】因为为三角形内角，故，由平分得，由得，，所以，解得.由得，，所以.所以.17．(15分)如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，得到，解得，所以，得到，又，所以，即，又平面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以平面平面.6分（2）以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，，，则，则，设平面的一个法向量为，则，得到，取，得到，即，易知平面的一个法向量为，10分设平面与平面的夹角为，则，整理得到，解得，所以.15分18、（17分）已知数列an为递增的等差数列，a1=fx+1，a2(1)求数列an(2)设bn=an+32n(3)设cn=an+3，求使不等式(1+【答案】解：(1)由题意得：

a1=f(x+1)=(x+1)a3=f(x-1)=(x-1)∵an为等差数列，∴2a2=解得：x=1或x=3，当x=1时，a1=-2，a2=0，a3=2；

当x=3时，∵an为递增数列，

∴x=1，公差∴a(2)由(1)得：b∴Tn则12T①-②得：12Tn=1∴T(3)由题意得：

p≤12n+1由(1)知：1c记Fn∴F(n+1)F(n)=1∵Fn>0，∴Fn+1>Fn∴Fn的最小值为F1=233，

∴p≤19.(17分)在平面直角坐标系中，有点.若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为.（1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值.（2）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积.（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于两点，且其斜率满足，求的最大值.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，；；5分【小问2详解】由题意可知，点在空间中的坐标分别为，对点分类讨论，①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，，化简得：，因此在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆.②当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，，化简得：，