第23章 解直角三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）（教师版）-沪科版(2024)九上

第二十三章解直角三角形·拔尖卷【沪科版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠A．12 B．920 C．25【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据矩形的性质以及折叠的性质确定AF=AD=5,DE=FE，再在Rt△ABF中，由勾股定理确定BF的值，进而可得CF=BC-【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=3，BC∴∠B∵将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，∴AF=∴在Rt△ABF中，∴CF=设DE=FE=在Rt△CEF中，可得CF解得x=53∴在Rt△ADE中，故选：D．2．（3分）（2025·湖南永州·模拟预测）如图，已知AD∥BC，A．55 B．255 C．3【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．过D作DE∥AC，交BC延长线于点E，证明四边形ADEC是平行四边形，则AC=DE=4【详解】解：过D作DE∥AC，交BC延长线于点∵AD∥∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC=∵BD⊥∴BD⊥∴∠BDE∴BE=∴cos∠故选：B．3．（3分）（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则sin∠A．12 B．22 C．3【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形，灵活运用网格特点和证明∠DAB连结AD、BD，取格点E，如图，设小正方形的边长为1，则利用正方形的性质得到BD=2,AD=22,∠ADE=∠BDE=45°，则∠ADB=90°，再根据正切的定义，在Rt△ADB中可计算出tan∠【详解】解：连结AD、BD，取格点E，如图，设小正方形的边长为1，则BD=12∴∠ADB在Rt△ADB中，在Rt△CDE中，∴∠DAB∵∠AOC∴∠AOC∴sin故选：B．4．（3分）（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点A．35 B．34 C．12【答案】A【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握勾股定理、三角函数的定义．利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的面积公式求出AD的长，利用勾股定理求出DC的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠【详解】解：在△ABC中，BC∵AD是△ABC∴12∴25AD∴AD=12在Rt△ADC中，∵CF平分∠ACB∴∠ACF∴tan∠∴AFAC=DE∴DEAF故选：A．5．（3分）（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（A．2 B．2 C．2+1 D．【答案】B【分析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠【详解】解：如图，过G作GH⊥BC于∵正方形ABCD，∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC由对折可得：BC=BF，CE=EF，∴∠DEF=∠FDE∴DF=∴CD=∴AC=∴OB=∵∠FBE=∠CBE，GH∴OG=∵BG=∴Rt△∴BH=∴CH=同理可得：CH=∴CG=故选：B.【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.6．（3分）（2025·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，点D为AB中点，过点D作DE⊥AB，与AC交于点E，连接CDA．3345 B．154 C．3【答案】B【分析】过E作EH⊥CD于H，由sin∠CDE=EHDE=725，设EH=7x，则DE=25x，证明【详解】解：过E作EH⊥CD于∵sin∠∴设EH=7x，则∴DH=∵点D为AB中点，过点D作DE⊥∴∠ADE=90°，∴∠A∴sin∠∴DEAE∴25x解得：CE=∴AE=8-同理可得：cos∠A=∴2A解得；AD=5∴DE=故选B【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．7．（3分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，正方形ABCD中，M是边CD的中点，N是边BC的中点，连接AM，DN相交于点E，连接CE并延长，交AD于点F．若EM=1，则DFA．52 B．255 C．2【答案】C【分析】利用正方形性质及中点条件，证明△ADM≌△DCN，得出∠DEM=90°．根据三角函数关系及已知EM=1，求出DE、DM、DC、DN、NE的长度．由【详解】∵四边形ABCD是正方形，M、N分别为边CD、BC的中点，∴DA=CD∴DM在△ADM和△AD∴△ADM∴∠DAM∴∠DEM∵DE∵EM∴DE∴DM∴DC∴DN∴NE∵DF∥∴△DEF∴DF∴DF故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键是利用正方形性质证明三角形全等与相似，结合相关性质和线段长度关系逐步推导．8．（3分）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为60°和30°，若该摆绳CD的长度为6cm，此时点F相对于点E升高了（

A．3cm B．33cm C．3【答案】C【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点E作EM⊥CD,FN⊥CD，根据题意，得到【详解】解：过点E作EM⊥CD,FN⊥∴∠ECM∴CM=CE⋅∴MN=故选C．9．（3分）（2025·广东深圳·二模）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为30°，连接装置转动90°后箱子完全打开，每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（

）cmA．153 B．303 C．153【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．画出示意图（见解析），利用解直角三角形分别求出AC,【详解】解：如图1，连接装置AB=15cm，连接装置与水平方向的夹角∠B∴每一层打开前的高度为AC=如图2，连接装置EF=15cm，连接装置与水平方向的夹角（锐角）∠DEF∴每一层打开后的高度为DF=∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加了2=2×=153故选：C．10．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,3，以原点O为圆心，以OA长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接AB．分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接OC．现将线段OC绕原点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（A．2,23 B．23,2 C．-【答案】C【分析】本题主要考查了图形与坐标、旋转性质、解直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．如图：过点A作AH⊥x轴于H，根据三角函数的定义得到∠AOH=60°，由作图过程可得，直线OC为线段AB的垂直平分线，OB=OA=2，根据勾股定理得到BC=AB=-2-12+3【详解】解：如图：过点A作AH⊥x轴于∵A1,∴OA=∴∠AOH由作图过程可得，直线OC为线段AB的垂直平分线，AC∴OB=∴AC=∴△ABC∴∠ABC∴∠OCB∵BC=∵∠ABO∴∠ABO∴∠OBC∴C-∴第1次旋转得到C点的对应点为-2依次求得：第2次旋转得到C点的对应点为2,第3次旋转得到C点的对应点为23第4次旋转得到C点的对应点为-2第5次旋转得到C点的对应点为-2∴发现每4个一个循环，∵2025÷4=506⋯⋯1，∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为-2故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，连接AE,AF．且cos∠【答案】8【分析】此题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．延长AF,BC相交于点M，过点E作EN⊥AF于点N，设BE=CE=a，则AB=BC=CD=AD=2a，证明△ABE和△ADF全等得AE=AF=4【详解】解：延长AF,BC相交于点M，过点E作EN⊥∵点E是BC的中点，∴设BE=CE=a∵四边形ABCD是菱形，∴AB=∵点F是CD的中点，∴DF=∴BE=在△ABE和△AB=∴△ABE∴AE=∵AD∥∴∠DAF在△ADF和△∠DAF∴△ADF∴AF=MF∴EM=在Rt△AEN中，∴AN=∴FN=由勾股定理得：EN=在Rt△MEN中，由勾股定理得：EM=∴3a∴a=∴AB=2故答案为：8212．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C【答案】7【分析】由旋转性质可证明△BB'C等边三角形，B'A=B'C=BC=2．再证明B【详解】解：由∠B=60°∴△B∴∠B∴B又∠AC∴B∴B'A∴A∴∠A∴∠B又D为AA∴AD∴B故答案为：7．【点睛】本题考查了图形旋转的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，牢固掌握这些性质是解题关键．13．（3分）（2025·湖北·一模）小樱一家人周末先去图书城看书，然后去公园游玩．如图，图书城(图中点A处)在她家(图中点B处)的北偏西20∘方向，且距离她家2km，公园(图中点C处)在她家的北偏东25°方向和图书城的北偏东62°方向的交汇处，那么，她家与公园的距离约为km．（结果精确到0.1km.【答案】3.3【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC【详解】如图，过点A作AD⊥BC于点D，则由题意，得∠∴∠C∵AB=2∴BD=AB∵∴∴BC即她家与公园的距离约为3.3km故答案为：3.3．14．（3分）（2025·广东惠州·三模）如图，在正五边形ABCDE中，连接CE，点F为CE的中点，连接DF并延长，交边AB于点G，则DFFG的值为．（结果精确到0.1．参考数据：sin【答案】0.6【分析】题目主要考查正多边形的性质，解三角形，矩形的判定，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．过点A作AH⊥EC，根据多边形内角和定理及其性质得出∠DEC=36°,∠AEH=72°，再由矩形的判定和性质得出四边形HFAG为矩形，AH【详解】解：过点A作AH⊥∵正五边形ABCDE，∴∠EDC∴∠DEC∴∠EAB∴EC∥∵DE=DC，点F为∴DF⊥∴∠AHF∴四边形HFAG为矩形，∴AH=设ED=∴sin∠∴DF=0.59∴sin∠∴AH=∴DFFG故答案为：0.6．15．（3分）（2025·山西吕梁·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AC⊥CD，BD平分∠ADC，AC与BD相交于点E，若CD=3，【答案】5【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作EL⊥DA于点L，而AC⊥CD，CD=3，AC=4，求得DA=5，由BD平分∠ADC，得EC=EL，由sin∠CAD=ELAE=CDDA=35，得EC=EL=35AE，则AE+35AE=4，求得AE=52，则EC【详解】作EL⊥DA于点L，则∵AC⊥∴∠ACD∴DA=∵BD平分∠ADC，AC与BD相B交于点E，且EC∴EC=∵sin∠∴EC=∴AE+解得AE=∴EC=作BH⊥DA于点H，BF⊥DC交DC的延长线于点在Rt△ABH和AB=∴Rt△∴∠BAH∵∠B∴∠BCD∴∠ADC∴2∠CDE∵AB∴∠BAE∴2∠CDE∴2∠BAE∴∠BAE∴∠ABE∴BE∴AB∵AE∴BE故答案为：5216．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=a，点D在边AC上运动（不与点A，C重合），以BD为边作正方形（1）当CD=2AD时，∠（2）点F到直线AB的距离为；（3）△CDE面积的最大值是【答案】30°a3【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数等．（1）利用直角三角形的性质求得AC=3a，AD=33a，根据tan∠BDA=ABAD求得∠ADB=60°，再根据正方形的性质求得∠ADE=30°；（2）过点F作FG⊥AB于G，证明△FGB【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，∠ACB∴BC=2∴AC=∵CD=2∴AD=∵tan∠∴∠ADB∵正方形BDEF，∴∠ADE故答案为：30°；（2）过点F作FG⊥AB于G，则∵四边形BDEF是正方形，∴BF=BD，∴∠GFB∴∠GFB∴△FGB∴FG=AB=a，即点F到直线故答案为：a；（3）过点E作EH⊥AC于H，则∵四边形BDEF是正方形，∴DE=BD，∴∠ADE∴∠ADE∴△DHE∴EH=∵AD=AB⋅∴CD=∴S==-∴当tan∠ABD-32故答案为：38第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，sinC=35，AC=8(1)直接写出线段AB的长：；(2)过D点作DE⊥BC于点E，补全图形，并求线段【答案】(1)6(2)图形见解析；3【分析】本题重点考查了锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，熟练运用相关知识，数形结合，是解题的关键．（1）利用sinC=35得ABBC=35，设（2）利用角平分线的性质，推出AD=ED，再利用【详解】（1）在Rt△ABC中，∠CAB∴sin设AB=3xx由勾股定理得AB∴3解得x=2∴AB=3x∴线段AB的长为6．故答案为：6．（2）如图所示：∵∠CAB=90°∴DA∵DE⊥BC,DA∴AD∵AB=6，AC=8∴S△ABC=1又∵S∴24=3AD∴AD∴线段AD的长为3．18．（6分）（2025·北京·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G(1)求证：四边形DFCG是矩形；(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求【答案】(1)见解析(2)BC【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．（1）由三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，则可证明四边形DFCG是平行四边形，再由（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，则BC=BF+CF=8；由线段中点的定义可得AB=2BD【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，∴DE是△ABC∴DE∥CF，即∵DG=∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DG=5∴CF=∵DF⊥∴∠DFB在Rt△BDF中，∠B∴BD=∴BC=∵点D为AB的中点，∴AB=2如图所示，过点A作AH⊥BC于在Rt△ABH中，∴CH=在Rt△AHC中，由勾股定理得19．（8分）（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，AC为矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作AC的垂线，分别交BC，AD于E，F，连接AE，(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=6，AB【答案】(1)详见解析(2)5【分析】（1）证明出△OFA≌△OECAAS，得到OF=（2）设DF=x，由（1）知：CF=【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∴∠FAO∵O为AC∴OA∴△OFA∴OF∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥∴四边形AECF为菱形；（2）∵四边形ABCD为矩形，AD=6，AB∴CD设DF由（1）知：CF=Rt△CDF中，即x2解得x∴DF=53∴cos∠【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．20．（8分）（2025·广东佛山·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是边AD,AB上的点，连接(1)如图1，若DE=1.8，当∠CEF=90°(2)如图2，若AE=AF，CF与DA的延长线交于点G，E为DG的中点，求(3)如图3，若DE=1，tan∠ECF【答案】(1)2(2)2(3)BF【分析】（1）首先求出AE=AD-DE=3-1.8=1.2（2）设AE=AF=x，则BF=DE=3-x，表示出AG=GE-AE=3-2x，然后证明出△GAF∽△CBF，得到AGBC=AFBF，代入求出AE=AF（3）如图所示，延长DA，CF交于点G，过点G作GH⊥CE交CE延长线于点H，首先求出AE=AD-DE=3-1=2，EC=DE2+CD2【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D∴∠AFE+∠AEF∴∠AFE∴△AFE∴EFCE∵∠CEF∴tan∠（2）解：∵AE=∴设AE=∴BF=∵E为DG的中点，∴GE=∴AG=∵AD∥∴△GAF∴AGBC=AF整理得，2x解得：x=6-32经检验，x=∴AE=∴GE=∴CE=如图所示，过点G作GH⊥CE交CE延长线于点∴∠H又∵∠GEH∴△GEH∴GHCD∴GH3∴GH=3，∴HC=∴tan∠（3）解：如图所示，延长DA，CF交于点G，过点G作GH⊥CE交CE延长线于点∵DE=1，∠D=90°∴AE=AD-∵tan∠∴设GH=3x，∴HE=∵∠H=∠D∴△GEH∴GHCD=EH解得：x=104∴GA=∵AD∥∴△GAF∴AGBC=AF∴BF=经检验，BF=【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．21．（10分）（2025年河北省石家庄外国语教育集团中考数学三模试卷）河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一．如图1，AD、BE均垂直于地面且高度相同．杂技演员所在位置点C到AD所在直线的距离CH=3m，BC=15m，此时∠DAC=36.87°；如图2，当杂技演员走至钢丝中点F时，恰好∠FAD(1)求AC的长；(2)求杂技演员从点C走到点F，下降的高度；(3)在从F走向B的过程中，是否存在某个位置M，使得∠AMB是直角？如果存在，请求出点M到点B【答案】(1)AC的长约为5(2)下降的高度HI约为1(3)存在，点M到点B的距离为10-5【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在Rt△（2）过点F作FI⊥AD，垂足为I，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得AF=5m，然后分别在Rt△FAI和（3）如图2，连接AB，设BM=xm【详解】（1）解：在Rt△ACH中，CH=3∴sin∴AC∴AC的长约为5（2）解：如图1，过点F作FI⊥AD，垂足为∵点F为钢丝中点，AC=5m，∴AF在Rt△FAI中，∵cos∴AI在Rt△ACH中，由勾股定理得：∴HI∴下降的高度HI约为1m（3）解：如图2，连接AB，在Rt△AFI中，∴AB设BM=xm∵∠AMB∴A∴10解得：x1=10+52>10(舍∴点M到点B的距离为10-5222．（10分）（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的6×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC(1)在图1中，先画将线段BA绕点A逆时针旋转90°后的线段DA，再在AC上画点E，使tan∠(2)在图2中，先画将线段CB绕点C顺时针旋转2∠ACB后的线段CF，再画FH∥AB交AC【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图所示，取格点D，连接AD，取AD与格线的交点P，连接BP交AC于E，则线段DA和点E即为所求；（2）如图所示，取格点T、L、S，连接BS，连接TL并延长交BS于F，连接CF，取格点M、N连接MN交AC于H，连接FH，则线段CF，【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接AD，取AD与格线的交点P，连接BP交AC于E，则线段DA和点E即为所求；可证明AD=AB，可证明AP=12AD=（2）解：如图所示，取格点T、L、S，连接BS，连接TL并延长交BS于F，连接CF，取格点M、N连接MN交AC于H，连接FH，则线段CF，可证明BF⊥FT，可证明AC⊥BF，则∠ACB可证明KR∥BF∥MN且直线KR到直线BF的距离等于直线则BF平分AC，又有AC平分BF，则四边形ABHF是平行四边形，则FH∥【点睛】本题主要考查了画旋转图形，解直角三角形，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟练掌握格点作图的技巧和方法是解题的关键．23．（12分）（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD=11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为26.6°．接着让无人机飞到点E处，DE⊥AD，CE与底板BR(1)求坡道AB的坡度；(2)已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P处，AP⊥AD，测得AP=16.4米，此时在点P处测得点F的俯角为45°（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，【答案】(1)i(2)该货车能进入该地下车库，理由见解析【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．（1）由题意得：∠DCE=26.6°，∠ADE=∠E=90°，如图：过点C作CI⊥AD于点I，易证四边形CIDE是矩形，