2025届高考数学二轮复习专题4统计与概率排列与组合算法初步复数第2讲统计与概率练习理

第2讲统计与概率

专题复习检测

A卷

1.（2024年新课标III）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也

用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B.0.4

C.0.6I）.0.7

【答案】B

2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成果（单位：分）.已知

甲组数据的众数为124,乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x,y的值分别为（）

甲组乙组

29II66

x4125y8

74134

A.4,5B.5,4

C.4,4D.5,5

【答案】A

3.（2024年新课标川）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学珍

宝，并成为中国古典小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的状况，随机调

查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》

的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读

过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B,0.6

C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】依据题意作出Venn图如图所示.由Venn图可知该学校阅读过《西游记》的学

生人数为70人，所以该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为

4.（2024年广东广州模拟）为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体

重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前3个小

组的频率之比为1：3：5,第2个小组的频数为15,则被抽查的美术生的人数是（）

A.35B.48

C.60D.75

【答案】C

5.（2024年辽宁模拟）某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质最（单位：kg）听从正态分布

M10,0.I2）,现抽取500袋样本,X表示抽取的面粉质量在区间（10,10.2）内的袋数，则*的

数学期望约为（）

注：若Z〜/）,则尸（〃一。）=0.6826,P（〃一2。〈次〃+2。）=0.954

4.

A.171B.239

C.341D.477

【答案】B

【解析】设每袋面粉的质量为Zkg,则Z〜M10,0.I2）,所以〃（10＜次10.2）=:

〃（99.8＜次10.2）=:〃（〃一2。〈次〃+2。）=:乂0.9544=0.4772.由题意得X的数学期望为

500X0.4772比239.故选B.

6.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1200

的样本，三个年级学生人数之比依次为A：5：3,已知高一年级共抽取了240人，则高三年级

抽取的人数为人.

【答案】360

【解析】因为高一年级抽取学生的比例为需片：，所以解得k=2,故高

3

三年级抽取的人数为1200X«=360.

，十3十J

7.（2024年江苏）已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.

【答案】2

【解析】该组数据的平均数二=《（6+7+8+8+9+10）=8,方差《=?［（6—8）2+（7—8产

00

2

+(8-8)+(8—8尸+(9-3)2+(10-8)2]=2

8.（2024年江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的

2名同学中至少有1名女同学的概率是_______.

7

【答案】m

【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，基本领件总数〃

=Cl=10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本领件个数勿=C；C；+C=7,所以所

求概率夕=:志

9.（2024年四川内江三模）有一个同学家开了一个奶茶店，该同学为了探讨气温对热奶茶

销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如下表：

气温晨℃）04121927

热奶茶销售杯数y15013213010494

⑴求热奶茶销售杯数关于气温的线性【可来方程尸精确到（）.1）,若某天的气温为

15℃,预料这天热奶茶的销售杯数；

（2）从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于13。的概

率.

参考数据：42+i22+U2+272=l250,4X132+12X130+19X104+27X94=6602.

Y.x.y-nxy

AAA

参考公式：b=-------------------,a=y—bx.

沙一〃F

—1—1

【解析】⑴由表格中数据,得、=5(。+4+12+19+27)=12.4,y=m(150+132+13。

+104+94)=122.

n__

^Xiyi-nxy

._____________6602—5X12.4X122__

・"=~~~1250-5X12.42°’

工nx，

a=y-bx=122-(-2.0)X12.4=146.8.

・••热奶茶销售杯数关于气温的线性回来方程为y=-2.0x+146.8.

当气温为15c时。，可以预料热奶茶的销售杯数为-2.0X15+146.8=117(柏.

⑵设月表示事务“两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130”，则p（月）二1一以力）=

1-cI=To-

10.有一款击鼓小嬉戏规则如下：每盘嬉戏都须要云鼓三次，每次击鼓要么出现一次音

乐，要么不出现音乐；每盘嬉戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20

分,出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分(即获得一150分).设每次击鼓出

现音乐的概率为;，且各次击鼓是否出现音乐相互独立.

(1)玩一盘嬉戏，求至少出现一次音乐的概率；

(2)设每盘嬉戏获得的分数为凡求X的分布列；

(3)很多玩过这款嬉戏的人都发觉，玩的盘数越多，分数没有增加反而削减了.请运用概

率统计的相关学问分析其中的道理.

【解析】(1)每盘嬉戏都须要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为:，且各次击鼓出现

音乐相互独立，，玩一盘嬉戏，至少出现一次音乐的概率是0=1一(1一

(2)设每盘嬉戏获得的分数为则♦可能取值为一150,10,20,50,

内=10)=《扣一34

P(x=20)=d(^(i-j)=|,

pU=50)=d(j)4

・•・1的分布列为

-150102050

33

P

8888

]335

(3)由⑵得£(»=-150X§+10X1+20X§+50X§=-7,

5

・•・每盘嬉戏得分的平均数是一力得负分.

・••玩的盘数越多，分数没有增加反而削减了.

B卷

11.随机变量1的概率分布规律为P(*=〃)=/%(〃=1,2,3,4),其中a是常数，则

/Jy"I1)

《%成)的值为()

A.1B.1

4

CD

・5-I

【答案】D

a8aaa5

【解析】•.・内一）=布而（〃=1,2,3,4）,工/舒适+而=1,解得a=j,

A.〃（%增大B.〃（万减小

C.〃（加先增大后减小D.。（心先减小后增大

【答案】D

【解析】6（a=OX；+aX；+lX；=^k故〃］乃=（r^）,x；+（a—r^）x；+

（1—号?+也因为0＜a＜l,所以〃（心先减小后增大.

13.（2024年山西临汾模拟）为了考察某校各班参与课外书法小组的人数，从全校随机抽

取5个班级，把每个班级参与该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为

4,且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（）

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】不妨设样本数据为汨，X2,心，必，照，且小＜用＜照＜用＜照，则由样本方差为4,知

2222

U-7）+（X2-7）+U-7）+U-7）+（筹-7）2=20.若5个整数的平方和为20,则这5个

整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取（每个数最多出现2次）,当这5个整数的平方中最大的

数为16时，分析可知总不满意和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9

这组数满意要求，此时对应的样本数据为xi=4,心=6,x&=7,必=8,*5=10；当这5个整

数的平方中最大的数不超过4时，总不满意和为20,因此不存在满意条件的另一组数据.故

选B.

14.（2024年新课标I）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更

有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于

两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮

试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈

只数多的药更有效.为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施

以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一】分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠

未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药

的治愈率分别记为。和£,一轮试验中甲药的得分记为尤

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验起先时都给予4分，"(/=(),1,…，8)表示“甲药的累计得分为

/时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则R=0,A=bA=api-1+bpi+cpi+1(7=1,2,…,

7),其中a=P(1=—1),Z)=P(/=O),c=P(X=\).假设a=0.5,4=0.8.

①证明：{R+LR}(，=0,1,2,…,7)为等比数列;

②求R，并依据"的值说明这种试验方案的合理性.

【解析】(1)1的全部可能取值为-1,0,1.

〃（片=一】）=（1一a）£,"（*=O）=a£+（1—a）（1一月），夕（》=1）=a（1—月），

所以才的分布列为

X-101

P(1-。)Ba8+(1—。)(1一£)。(1一£)

（2）①证明：因为<7=0.5,£=0.8,

所以由（1）得,a=0.4,6=0.5,c=0.1.

因此口=0.42一+0.50+0.1R+I（/=1,2,…，7）.

故0.1（A+I~A）=0.,即pi+\—p,=

4s-pi-J.

又P\—R=01W0,

所以{0+i—"}(/=0,1,2,…，7)为等比数列，公比为4,首项为队

②由①可得,

（]48）48]

外=（份—。）+（。―伉）H---1-（。―6）+。）=-:—~~;-pi.