2025举一反三系列高中数学同步及复习资料人教A版选择性必修3专题87 独立性检验的综合应用大题专项训练（30道）

专题8.7独立性检验的综合应用大题专项训练（30道）

【人教A版2019选择性必修第三册】

姓名：班级：考号：

I.（2023•贵州•统考・模）自限性疾病是指在发展到•定阶段后会自行恢复的疾病.已知某种自限性疾病

在不用药物的情况卜一般10天后就可康复.现在只有A药物是针对该自限性疾病的药物，为了解人药物对

该自限性疾病的作用，研究者在患过该自限性疾病凡康复的群体中随机选取r110人作为样本进行调查，

并统计相关数据后得到如下的2x2列联表.已知在选取的110人中随机抽取1人，此人为小于10天康复者

的概率为《，此人为未用药物者的概率为今

康复情况

小于10天康复10天后康复合计

用药情况

患病期用A药物30

患病期未用药物

合计110

（I）请完成上面的列联表:

（2）依据2x2列联表中的数据，判断能否有99%的把握认为患病期用A药物与小于10天康复有关.

n(ad-bc)2

附：K2=

(n+b)(r4-d)(n+r)(b+rf)'7?=a+b+c+d.

P(K?>心)0.1000.0500.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

【解题思路】（1）根据小于10天康复者的概率为高，分得到小于10天康复者和10天后康复者人数，由未

用药物者的概率为持，得到未用药物者和用药物者的人数，完成2x2列联表：

（2）由（1）求得小的值，再与临界值表对照卜.结论.

【解答过程】（1）解：因为在选取的110人中随机抽取1人，此人为G于10天康复者的概率为《，所以小

于10天康复者为高乂110=50人，则1（）天后康复者为60人：

又此人为未用药物者的概率为卷，所以未用药物者为卷x110=60人，则用药物者为50人,

则2x2列联表如卜表：

康复情况

小于10天康复10天后康复合计

用药情况

患病期用A药物302050

患病期未用药物204060

合计5060110

（2）由（1）知：-2=110X（30X40-20X2。”一？.82>6.635,

50X60X50X60

所以有99%的把握认为患病期用A药物与小于10天康复有关.

2.（2023・贵州贵阳•统考一•模）2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只

能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体

成绩相较疫情前的成绩有明显下降.为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽

取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间

使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生.

（1）根据以上信息，完成下面的2x2列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱

乐”有关？

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱乐合计

成绩下降

成绩未下降

合计90200

⑵在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未卜降''的女生有12人，现从“长时间使用手机娱

乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进一步访谈，求被访谈

的两人为一男一女的概率.

参考公式：依一(仲，二(“》其中n-a+"c+d.

尸(小>心)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解题思路】(1)根据题意完成2x2列联表，计算K2,并与临界值对比分析;

(2)根据分层抽样求抽取的人数，利用列举法结合古典概型运算求解.

【解答过程】(1)根基题意可得：2x2列联表如下：

长时间使用手机娱乐非常时间使用手机娱乐合计

学习成绩下降544296

学习成绩未下降3668104

合计90110200

_n(ad-bc)2_200X(54X68-42X36)2

»9.44>7.879,

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-90x110x96x104

・•.有.99.5%把握认为学习成绩下降与哝时间使用手机娱乐”有关.

(2)在抽取的6人中，女生有6x装=2人，男生有6x2=4人，

3636

设女生为1,2,男生为小b,c,d,从访谈的6人中抽取2人的基本事件共有15种：

(1,2),(1,d),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,h),(2,c),(2,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),

设“被访谈的两人中一男一女生”为事件A,共有8种，则p(n)=£.

3.(2023秋•辽宁辽阳•高二期末)某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖

机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品

的概率分别为g&且每次抽奖的结果相互独立.

(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望.

(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，

得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食“且“无蛀

牙”的也有35人.

有蛀牙无蛀牙

爱吃甜食

不爱吃甜食

完成上面的列联表，试根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少年“蛀牙”.

(2

附:2_MuU-i/c)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a^b+c+d.

a

0.050.010.005

=P(x2>ko)

k3.8416.6357.879

【解题思路】(1)由题意计得X的所有可能取值为10,15,20,25,30,分别求出对应的概率，即可的X的分布

列，从而求得数学期望；

(2)由已知填充列联表，根据公式计算出才2,比较临界值即可.

【解答过程】(1)由题意可得X的所有可能取值为10,15,20,25,30,

P(X=10)=(3=

P(X=15)=2xlxi=l,

/«5«5

P(X=20)=2xlxl+(l)Z=4

P(X=25)=2xix1

P(X=30)=G)2=。

则X的分布列为

X1015202530

11511

P

4318936

故E(X)=10xi+15xi+20x^+25x1+30x^=y.

(2)由题意可得列联表如下:

有蛀牙无蛀牙

爱吃甜食8545

不爱吃甜食3535

尸

所有f=200(45*35-85,35=4.487,

120x80x70x130

查表可得P(/2>3.841)=5%,

因为/>3.841,

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.

4.(2023春・广西柳州•高三阶段练习)携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机

号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年II月27日，工信部宣布携号转网在全国范围

正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行

统计，其中业务水平的满意率为服务水平的满意率为|,对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.

(1)完成下面2x2列联表，并分析是否行99%的把握认为业务水平与服务水平有关：

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数

对业务水平不满意人数

合计

(2)为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务

水平不满意的人数，求X的分布列与期望.

附：K?-…(笈:2n-a\b\c\d.

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解题思路】（I）利用题意可完成列联表，然后根据公式求出K2,再对照临界值表即可得出结论;

（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望

【解答过程】（1）有题可得对业务水平满意的有300乂卷=260人，对服务水平满意的有300x|=200人,

得2x2列联表

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数18080260

对业务水平不满意人数202040

合计20010()30()

经计算得烂=鸳?鹭v=5769<6.635,

200x100x260x4013

所以没有99%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；

（2）X的可能值为0,1,2,

P（X=0）=^=普，P（X=1）=%^=^.2（乂=2）=寻=焉

<-100VjQQ"Joo1力

所以X的分布列如下

X012

3163219

P

49S99495

则X的期望E(X)=Ox费+1X^+2X住.

5.（2023•全国•模拟预测）某足球协会统计了以往甲是否担任某球队的主教练时该球队参赛胜与输的次数,

得到数据如表所示：

该球队胜的次数该球队输的次数

甲担任主教练3030

甲不担任主教练3010

(I)根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为该球队参赛的胜与输与甲是否担任主教练有关？

(2)根据以往甲担任主教练的经验，在某场比赛中，甲在上半场、卜半场与补时阶段用完3个换人名额(每

支球队在比赛中只有3个换人名额)的概率分别为0.4,0.5,0.1,相应该球队输的概率分别为0.6,0.2,0.2,

若在某场比赛中甲担任主教练，且该场比赛进行了补时赛，则在该球队输的条件下，求甲在下半场用完换

人名额的概率.

附：产-(a+b)(L)3+)c)3+»其中九-。।匕。乙

a0.100.050.010.005

2.7063.8416.6357.879

Xa

【解题思路】(1)提出零假设，利用公式计算比较其与临界值的大小关系，是否接受假设.

(2)由条件结合全概率公式求P(B),再由条件概率公式求在该球队输的条件下，甲在下半场用完换人名额的

概率.

【解答过程】(1)零假设为%：该球队参赛的胜与输与甲是否担任主教练无关联.

根据题表中的数据，得才2=典谓言附慧敏=6.25>3.841=x0.05.

所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断％不成立，

即认为该球队参赛的胜与输与甲是否担任主教练有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.

(2)设事件为表示“甲在上半场用完换人名额”，事件必表示“甲在下半场用完换人名额''，事件｛3表示“甲

在补时阶段用完换人名额”，事件8表示“该球队输”，

则P(4)=0.4,P(A2)=0.5,P(i43)=0.1,P(8|4)=0.6,P(B\A2)=0.2,P(B&)=0.2,

所以P(B)=P(4B)+P(A2B)+P(4B)=P(4)•P(BMi)4-P(A2)P(B\A2)+P(X3)P(B|43)P(8)=

0.4x0.6+0.5x0.2+0.1x0.2=0.36

所以所求概率PI&IB)=端=甯=*

r(u)U.OOlo

6.(2023・广西柳州•高三阶段练习)携号转网，也称作号携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码,

就能转换运营商，并享受其提供的各种服务2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某

运营商为提质量保客户，从运营系统中运出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业

务水平的满意率为黄，服务水平的满意率为会对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.

(1)完成下面2x2列联表，并分折是否有99%的把握认为业务水平与服务水平有关:

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数

对业务水平不满意人数

合计

(2)已知在被调查的对业务水平和服务水平不满意的客户中有6名男性，其中3名是大学生，现在从这6名

男性中随机抽取3人，求至少有2名大学生的概率

附:K?一("b)(W("d)'"°+>+c+d.

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解题思路】(1)填写列联表，求出卡方，与6.635比较后得到结论:

(2)列举法求解古典概型的概率.

【解答过程】(I)

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平满意人数18080260

对业务水平不满意人数202040

合计20010030()

“2300X(180X20-80X20)275-,

«=--------------------------=-x5.769<6.635,

260x40x200x10013

没有99%的把握认为业务水平与服务水平有关；

(2)设3名大学生分别为a,b,c,另外3名男性为4B,C,

则从这6名男性中随机抽取3人，共有以下情况：

(a,b,c),(a,b,4),(a,b,B),(a,b,C),(a,c,A),(a,c,B),(a,c,C),(a,A,B),(a,A,C),(a,B,C),

(b,c,A),(b,c,8),(比c,C),(瓦4AC),(b,B,C),(c,A,B),(c,A,C),(c,8,C),(4BtC),

共20种情况，

其中至少有2名大学生的情况有:

(a,be),(a,b,A),(Q,b,B),(a,b,C),(a,c,力),(a,c,B),(a,c,C),(b,c,A),(b,c,B),(b,c,C),

共有10种情况，

故从这6名男性中随机抽取3人，至少有2名大学生的概率为

7.(2022•广西梧州•校考一模)第二十二届世界杯足球赛于2022年在々塔尔举行，中国观众可以通过中央

电视台体育频道观看比赛实况.某机构对某社区群众观看足球比赛的情况进行调查，将观看过本次世界杯足

球赛至少10场的人称为“足球迷”，否QU称为“非足球迷”.从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如

下表所示:

足球迷非足球迷总计

男2026

女14

总计50

(I)补全2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“足球迷”与性别有关？

(2)现从抽取的“足球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求抽取

的2人都为“男足球迷”的概率.

_____n(ad-bc)2_____

附：2)

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'?i=a+/+c+d

P(K2>k。)0.050.010.001

ko3.8416.63510.823

【解题思路】(1)由2x2列联表，求K?即可得解；

(2)利用分层抽取的6人中，列出从6人中抽取2人的种数和抽取的2人都为男足球迷的种数，即可解答.

【解答过程】(1)列联表如下：

足球迷非足球迷总计

男20626

女101424

总计30205C

“2SOX(2OX14-1OX6)2....,工二”

"=——-----------X6.464<6.635,

26X24X30X20

没有99%的把握认为是否为“足球迷”与性别有关.

（2）从抽取的“足球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人,

这6人中男“足球迷用4人（设为a,b,c,d）,女”足球迷*2人（设为4B）,

从6人中抽取2人有4B,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,cib,QC,ad,be,bd,cd共15种,

记事件M为“抽取的2人都为男足球迷”,

则M包含有ab,ac,ad,be,bd,cd共6种情况,

所以P（M）=捺

8.12023•高二单元测试）从某学校获取了容量为200的有放同简单随机样本，将所得数学和语文期末考试

成绩的样本观测数据整理如卜.:

语文成绩

数学成绩合计

不优秀优秀

不优秀8040120

优秀404080

合计12080200

（I）依据a=0.05的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

（2）从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为X,求X的分布列与期望.

附：

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

_____n(ad-bc)2_____

参考公式：X2=其中九=Q+b+C+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【解题思路】（1）计兜出公，比较临界值可得;

（2）确定X的取值可能为0,1,2,3,求巴语文数学成绩至少•门优秀的概率P,然后由独立重复试验的概率公

式计算概率得分布列，再由期望公式计算期望.

【解答过程】（1）根据表格计算可得:

,200x(80x40-40x40)2

X2=-----7^7：———~—-----«5.556>3,841=X

4120x80x120x80Q00055

所以依据。=0.05的独立性检验，即认为数学成绩与语文成绩有关联:

（2）语文数学成绩至少一门优秀的概率为P=1-^=1,

因为X的取值可能为0,1,2,3,

P。=。)=C?(/=哉,P(X=1)=洸)(丁=券

P(X=2)=阳丁(|)=蔑,P(X=3)=©(丁=急

所以X的分布列为:

X0123

8365427

P

12512512512S

于是，E(X)=0X£+1X^+2'栽+3x急屋.

9.（2023•四川•校联考一模）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某学校对学生是否经常锻炼的

情况进行了调查.从本校学生中随机选取了800名学生进行调杳了解，并将调查结果（“经常”或“不经常”）

制成下表所示的列联表：

性别不经常经营合计

女生200300500

男生150150300

合计350450800

（I）通过计算判断，有没有99%的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有关？

（2）将频率视作概率.若该学校有4000名学生，估计•该校经常锻炼的学生人数.

附表及公式：

P(K?>ko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

______n(ad-bc)2______

其中H=?i=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【解题思路】（1）计和K2的值，与附表中的值比较，可得结论:

（2）求出样本数据中经常锻炼的学生的频率，将频率视为概率，即可求得该校经常锻炼的学生人数的估计

值.

【解答过程】⑴由题，有Y=皿黑黑黑蓝黑了=署，7.619>6.635,

因此，有99%的把握认为性别因素与学生锻炼的经常性有美系.

（2）由图表可知，样本数据中，经常锻炼的学生人数为450,频率为黑=白，

oOU16

将频率视为概率，则在该校随机抽取一名学生，抽取到经常锻炼的学生的概率为白,

16

则该校4000名学生中，经常锻炼的学生人数的估计值为!x4000=2250.

16

10.（2023・陕西榆林・统考一模）第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半

球冬季举行的世界杯足球赛.某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中

生进行了问卷调查，得到如下列联表.

关注不关注合计

男高中生4

女高中生14

合计

已知在这50名高中生中随机抽取】人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为:

（I）完成上面的2x2列联表;

（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

______n(ad-bc)2______

其中n

(a+b)(c+d)(a+c)(b+a)'=a+b+c+cl.

PG>k0)0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

【解题思路】（1）根据己知得出四界杯足球赛的高中生人数，不关注U界杯足球赛的高中生人数，即可完

成列联表：

（2）根据已知公式得出％2,查表即可得出答案.

【解答过程】（1）由题可知，关注世界杯足球赛的高中生有50x^=40人，

不关注世界杯足球赛的高中生有50-40=10人.

故完成的列联表如下：

关注不关注合计

男高中生26430

女高中生14620

合计401050

n(ad-bc)z_50x(26x6-14x4).

⑵/=x2.083,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)30x20x40x10

因为2.083<2.706,

所以没有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

II.（2023春・河南•高三阶段练习）某品牌手机厂商为对比48两款手机屏幕的抗跌性，分别对4,B两

款各50部手机进行手机跌落测试，屏幕损坏情况如下表：

屏幕无损坏屏幕损坏

A款4010

8款3020

(I)判断是否有95%的把握认为手机屏幕的抗跌性与手机款式有关？

(2)为方便手机用户，手机厂商针对4,8两款手机推出碎屏险服务，在保修期内，如果手机屏幕意外损坏，

手机用户可以享受1次免费更换服务.某人为A,8款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内

屏幕意外损坏的概率分别为0.05,0.08,手机屏幕意外损坏相互独立.：由两部手机在保修期内免费更换屏幕

的次数一共为X,求X的分布列和数学期望.

____"(ad-")z____其中

参考公式：2a+匕+C+d.

K=(a+ft)(c+d)(a+c)(d+d)穴'

参考数据:

P(K2>k)0.10.050.010.005

k2.7063.8416.6357.879

【解题思路】(1)利用列联表中的数据计算K2,对照临界值表即可判断：

(2)由X可能的取值计算对应的概率，得到X的分布列，由公式计算数学期望.

【解答过程】(1)由列联表可得，黑泮！=詈、4.76>3.841,

所以有95%的把握认为手机屏幕的抗跌性与手机款式有关.

(2)X可能的取值分别为0,I,2,则

P(X=0)=(1-0.05)x(1-0.08)=0.874,

P(X=1)=0.05x(l-0.08)4-(1-0.05)x0.08=0.122,

P(X=2)=0.05x0.08=0.004.

所以X的分布列为：

X012

P0.874().1220.004

E(X)=1x0.122+2x0.004=0.13.

所以免费更换屏幕的次数X的期望为0.13.

12.(2023•全国•模拟预测)某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中

被调查的全体学生中，女生人数占总人数的：调查结果显示，男生中有：的人喜欢课外阅读，女生中有:的

363

人喜欢课外阅读.

（I）以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的

概率；

（2）若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？

附：

P(x2>30.0500.010

k。3.8416.635

_____n(ad-bc)2_____

Z27l=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(&+d)'

【解题思路】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论;

（2）设出男生人数，列出2x2列联表，根据fz3.841及均为整数即可求解.

Z36

【解答过程】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，；，己其中恰有2人喜欢课外阅读为事件

A,

则P⑷=（期＞©+$畀WWx号急

（2）设被调查的男生人数为七则被调查的女生.人数为：，则2x2列联表为:

喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计

X5x

男生X

6~6

XXX

女生

362

X3x

合计X

2~2

若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则＞2＞3.841,

即410.243,

因为均为整数，所以被调查的男生至少有12人.

236

13.（2023春・宁夏银川・高三阶段练习）人类命运共同体的提法将中国梦融入世界梦，充分展现/中国的大

国担当.在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳

的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的

坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿

色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电

动汽车销售情况，•机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽乍销量y（单位：万台）关于“（年份）

的线性回归方程为y=4.7%-9459.2,旦销量y的方差为中=等，年份工的方差为4=2.

（1）求y与4的相关系数r,并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；

（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

性别购买非电动汽车购买电动汽车总计

男性39645

女性301545

总计692190

依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关：

①参考数据：，5乂127=、诟。25：

②参考公式：（i）线性回归方程：y=Bx+a,其中5=维帛声舒,a二9一5后

（"）相关系数：r=।幻（M--，则可判断y与％线性相关较强.

/②（*「幻2£%（%一夕）2

③参考临界值衣:

P«>跖）0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

【解题思路】⑴利用相关系数r的求解公式，并转化为5和方差之间的关系，代入计算即可：

（2）直接利用独立性检验公式求出公，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；

【解答过程】（1）相关系数为r=,（所幻5-霜=：=积•卡，a-4:八里二6.

止匕（々一幻2£%⑶厂炉工=15T）加匕5一夕）2啊

退

我

=4?x德=忌焉=凝喘=0.94>0.9故y与%线性相关较强.

(2)零假设为%：购头电动汽车与车主性别相互独立，

即购买电动汽车与车.主性别无关.

2

X=------2---------------=90X(39X15-30X6)2之5Q3I>3.841,

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)45x45x69x21

所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断先不成立，

即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.

14.(2023春•河南新乡•高三开学考试)在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式、认知模式与思维习

惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考.某地对本地群众(中老年人与年

轻人)的年龄与阅读习惯(经常电子阅读与经常纸质阅读)进行了调查统计，得到如下列联表：

年轻人中老年人合计

经常电子阅读503585

经常纸质阅读X)'115

合计MN200

设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为《：从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取的

中老年人数为小已知P(f=0)=那何=0).

(I)求列联衣中x,y,M,N的值，并判断是否有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关；

⑵从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出6人，再从抽出的6人中用简单随机抽样的方法抽取4人,

若其中经常电子阅读的人数为X,求P(X=2).

参考公式及参考数据：

K?=…黑蒜…)，其中…+HC+&

P(K2>k0)0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

【解题思路】(I)根据题意，分析表格中的数据求出工、)，、M、N的值，结合卡方公式计算和独立性检验

的思想即可下结论：

(2)利用列举法写出所有的基本事件，结合古典概型的概率计算公式计算即可求解.

【解答过程】⑴因为=O)=^PS=O),所以卷=^x&,

1fob171lo

解得T=50,y=65,M=100,/V=100.

因为代=200X(50X65-35X50)2=180046Q4>3541,

100x100x115x85391

所以有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关.

(2)由题意可知，抽出的6人中，经常电子阅读的有3人，分别记为A,B,C,经常纸质阅读的有3人，

分别记为小b,c,

从中抽取4人，贝IJ基本事件有ABCa,ABCb,ABCc,ACab,ACac,ACbc,BCab,BCac,BCbc,

ABab,ABbc,ABac,Aabc,Babe,Cabc,共15种，

其中X=2的基本事件有ACac,ACbc,BCab,BCac,BCbc,ABab,ABbe,ABac,共9种

所以P(X=2)=於.

15.(2023・全国•模拟预测)2020年，教育部启动实施强基计划.强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基

础学科的支撑引领作用.三年来，强基计划共录取新生1.8万余人.为响应国家号召，某校2022年7月成

立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有

志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训.为了解数学“强基培优''拓展培训的效果，在高二时举办了•次

数学竞赛，这100名学生的成绩(满分为150分)情况如下表所示.

成绩不低于135分成绩低于135分总计

参加过培训401050

未参加过培训203050

总计6040100

(I)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？

(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样，随机抽取了6

人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训

的概率.

参考公式：K2_g+b)(L)(a±)(b+d)，其中…+b+c+d.

P(K2

0.100.050.0250.0100.001

Nk。)

ko2.7063.8415.0246.63510.828

【解题思路】（1）根据技中数据和参考公式代入计算并与6.635比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知

参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件

的事件数即可求得结果.

【解答过程】（1））根据列联表代入计算可得：

Y=】。°一。'3—。）2=*]6.667>6,635,

60x40x50x503

所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关.

（2）山题意可知，所抽取的6名学生中参加过,•强基培优”拓展培训的有4人，记为①，A2,A3,A.,

未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为甲、乙.

从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有｛/1，4｝，｛4,&｝，｛4,4｝，｛41，甲｝，｛&，乙｝，｛42，/｝，｛力2,4｝，

｛%，甲｝，｛/，乙｝，｛勺，4｝，｛&，甲｝，｛勺，乙｝，饱，甲｝，｛4,乙｝，｛甲,乙｝，共15个,

其中至少有一人未参加过培训的基本事件有｛4,甲｝,｛&，甲｝，｛/，甲｝，｛4,甲｝，｛甲,乙｝，｛&，乙｝，｛/，乙｝，

｛心,乙｝，｛人4，乙｝，共9个.

故至少有一人未参加过培训的概率P=V=1•

16.（2023•全国•模拟预测）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中

国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行.射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛

会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取200名（其中男性120名），了解他

们对该活动的满意情况，得到卜.表.

不满意满意总计

男性75

女性50

总计200

（1）根据统计数据完成2x2列联表，并依据小概率值。=0.001的独立性检验，能否认为性别与对活动的满意

度有关？

（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满500元，可抽奖一次.抽奖方案是：从装有3个红

球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得

80元现金的返现:若摸出1个红球，则可获得40元现金的返现:若没摸出红球，则不能获得任何现金返现.若

某观众当天消费1000元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X,求X的分布列和数学期望.

_____n(ad-bc)2_____

其中九=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.1000.0500.0100.001

xa2.7063.8416.63510.828

【解题思路】（1）写出零假设，补全2x2列联表，计算f的值，并与临界值比较，得出结论；

（2）分别求出一次摸球摸出0,1,2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X

的分布列并计算其数学期望

【解答过程】（1）设为〃“：性别与对活动的满意度无关.

由题意，抽取的200名观众中男性有120名，女性有80名，

补全的2x2列联表如下：

不满意满意总计

男性4575120

女性503080

总计95105200

200X(45X30-75X50)2

则/=«12.03>10.828

95x105x80x120

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断也不成立，即认为性别与对活动的满意度有关，此推断犯

错误的概率不大于0.001.

（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A,摸出1个红球的事件为8,没摸出红球的事件为C,

则PG4)=胃=，，P(B)=^=£P(C)=、=m

由题意，X可取160,120,80,40,0.

P(X=160)=1x1=^,

P(X=120)=2x|x1=^,

P(X=80)=|x|+2x|xi=||,

P(X=40)=2xgx”另

P(X=o)=,xg=表,

所以X的分布列为

X16012080400

161161

P

2525252525

F（X：=160x^+120x^+80x1|+40x^+0x^=80.

17.（2023・贵州贵阳・统考模拟预测）2022年9月3口至2022年10月8口，因为疫情，贵阳市部分高中学

生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生

总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随

机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属尸，长

时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生.

（1）根据以上信息，完成下面的2x2列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱

乐”有关？

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱乐合计

成绩下降

成绩未下降

合计90200

(2)在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱

乐''且"成绩未卜降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取