2025 九年级数学下册相似三角形中公共顶点角平分线应用课件

一、教学目标与知识铺垫演讲人1.教学目标与知识铺垫2.公共顶点角平分线的定义与图形特征3.公共顶点角平分线与相似三角形的关联探究4.课堂实践与常见问题突破5.总结与升华目录2025九年级数学下册相似三角形中公共顶点角平分线应用课件各位同学、同仁：今天，我将以九年级数学下册“相似三角形”章节为背景，结合多年一线教学经验，与大家共同探讨“公共顶点角平分线在相似三角形中的应用”。这一内容既是相似三角形判定与性质的深化，也是几何图形分析中“角-线-形”关联的典型案例。我们将从基础概念出发，逐步深入到应用场景，最终形成系统的解题策略。01教学目标与知识铺垫1教学目标设定作为九年级下学期的几何专题，本内容的教学目标需兼顾知识掌握、能力提升与思维发展：知识目标：理解“公共顶点角平分线”的定义，掌握其与相似三角形判定（AA、SAS、SSS）、性质（对应边成比例、对应角相等）的内在联系；能力目标：能通过观察图形中公共顶点角平分线的位置特征，快速提取角平分线定理（角平分线上的点到角两边距离相等；角平分线分对边成比例）的关键信息，结合相似三角形的判定条件解决线段比例、角度关系等问题；情感目标：通过探究公共顶点角平分线在复杂图形中的“桥梁”作用，培养几何直观与逻辑推理能力，感受数学“结构之美”。2必要知识回顾在进入核心内容前，我们需先巩固以下“基石知识”，它们是后续分析的关键工具：（1）相似三角形的判定定理：AA（两角分别相等的两个三角形相似）；SAS（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）；SSS（三边成比例的两个三角形相似）；直角三角形的特殊判定（HL：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似）。（2）角平分线的核心性质：角平分线定理：在△ABC中，若AD平分∠BAC，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$；角平分线的几何意义：平分角的同时，将角所在的平面划分为两个等角区域，常与对称性、距离相等相关联。2必要知识回顾（3）公共顶点的定义：两个或多个图形（如角、线段、三角形）共享同一个顶点，例如△ABC与△ADE中，顶点A为公共顶点，此时∠BAC与∠DAE可能存在包含、重叠或互补关系。教学手记：我在日常教学中发现，部分学生容易混淆“公共顶点”与“公共边”的概念，因此在新课导入时，我会通过画图对比（如两个共顶点的角与两个共边的角），帮助学生明确“顶点重合”这一核心特征。02公共顶点角平分线的定义与图形特征1定义解析“公共顶点角平分线”指两条或多条角平分线共享同一个顶点。例如，在图1中，点A为公共顶点，AD平分∠BAC，AE平分∠BAD，则AD与AE为从A出发的两条角平分线，符合“公共顶点角平分线”的定义。2典型图形分类根据角平分线的数量与位置关系，公共顶点角平分线的图形可分为两类：（1）单角内的多层平分：如∠BAC被AD平分，AD又被AE平分（即AE平分∠BAD），此时形成“角中角”的平分结构，各角间存在倍数关系（如∠BAE=∠EAD=∠DAC）；（2）多角的共顶点平分：如△ABC与△ADE共顶点A，AD平分∠BAC，AE平分∠DAE，此时两条角平分线分别作用于不同的角，但共享顶点A，角间可能存在和差关系（如∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAB+∠BAE）。3关键特征提炼公共顶点角平分线的核心作用是“传递角度关系”：若两条角平分线共顶点，则它们所平分的角之间可能存在比例关系（如2:1、3:1），进而通过角度相等或成比例，为相似三角形的判定提供“角条件”；结合角平分线定理，可将角度关系转化为边长比例，为相似三角形的判定提供“边条件”。教学手记：为帮助学生直观理解，我常以“光线反射”作类比——公共顶点角平分线如同从同一点出发的两条“角度标尺”，精准划分角度，同时连接不同三角形的边与角。03公共顶点角平分线与相似三角形的关联探究1从角度到相似：AA判定的应用例1：如图2，△ABC与△ADE共顶点A，AD平分∠BAC，AE平分∠BAD，且∠ABC=∠ADE。求证：△ABC∽△ADE。分析过程：由AD平分∠BAC，设∠BAD=∠DAC=α，则∠BAC=2α；由AE平分∠BAD，得∠BAE=∠EAD=α/2；已知∠ABC=∠ADE，需证另一组角相等：∠BACvs∠DAE：∠BAC=2α，∠DAE=α/2？不，此处需注意图形位置！实际∠DAE应为∠BAD的一部分，若AE在△ADE中为角平分线，则∠DAE可能是△ADE的一个角。（修正：假设AE为△ADE中∠A的平分线，则∠DAE=∠EAD=β，结合AD平分∠BAC得∠BAD=∠DAC=α，若∠BAC=∠DAE+∠...需重新梳理图形。）1从角度到相似：AA判定的应用注：此处暴露学生常见错误——未明确角平分线所属的三角形。正确图形应为：△ABC中AD平分∠BAC（∠BAD=∠DAC=α），△ADE中AE平分∠DAE（∠DAE=2β，故∠DAE=β），且公共顶点为A。若∠ABC=∠ADE，则通过角度推导：∠BAC=2α，∠DAE=2β，若α=β，则∠BAC=∠DAE，结合∠ABC=∠ADE，由AA判定相似。结论：公共顶点角平分线通过平分角度，提供了“角相等”的条件，直接满足AA判定。2从比例到相似：SAS判定的应用例2：如图3，△ABD与△ACE共顶点A，AD平分∠BAC，AE平分∠CAD，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=2$。求证：△ABD∽△ACE。分析过程：由AD平分∠BAC，设∠BAD=∠DAC=α，则∠BAC=2α；由AE平分∠CAD，得∠CAE=∠EAD=α/2，故∠BAD=2∠CAE（即∠BAD=2β，其中β=∠CAE）；已知$\frac{AB}{AC}=2$，$\frac{AD}{AE}=2$，需证夹角相等：∠BAD与∠CAE是否满足关系？2从比例到相似：SAS判定的应用实际，∠BAD=α，∠CAE=α/2，不相等；但需注意SAS判定要求“两边成比例且夹角相等”，此处夹角应为△ABD与△ACE中的对应角：△ABD的两边为AB、AD，夹角为∠BAD；△ACE的两边为AC、AE，夹角为∠CAE；若$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=2$且∠BAD=∠CAE，则可证相似。但根据角平分线条件，∠BAD=2∠CAE（因AE平分∠CAD，∠CAD=∠BAD=α，故∠CAE=α/2），因此需调整思路：若∠BAC=∠DAE（公共顶点角平分线可能构造等角），结合边比例，可满足SAS。2从比例到相似：SAS判定的应用教学手记：此例易混淆夹角的对应关系，需强调“对应边的夹角”必须是两个三角形中由成比例边所夹的角。正确推导应为：AD平分∠BAC⇒∠BAD=∠CAD=α；AE平分∠DAE（假设题目中AE平分的是∠DAE而非∠CAD），则∠DAE=2β，若∠BAC=∠DAE=2α=2β⇒α=β，此时$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=2$且∠BAC=∠DAE，由SAS判定△ABD∽△ACE（需明确对应边）。结论：公共顶点角平分线通过角平分线定理（如$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$）或已知边比例，结合角度平分后的等角关系，可构造SAS判定所需的“边比例+夹角相等”条件。3综合应用：公共顶点角平分线与相似三角形的“连锁反应”在复杂图形中，公共顶点角平分线可能同时关联多组相似三角形，形成“相似链”。例如，图4中，AD、AE为从A出发的两条角平分线，分别平分∠BAC和∠BAD，且△ABD∽△ACE，△ADE∽△ABC。此时，角平分线的平分作用不仅连接了第一组相似，还通过角度传递引发第二组相似。关键策略：标注所有已知角度（用变量表示，如α、β），通过角平分线条件建立角度间的倍数关系；结合相似三角形的对应角相等，推导未知角度或边比例；利用角平分线定理（$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$）将角度关系转化为边长比例，辅助相似判定。04课堂实践与常见问题突破1基础练习：巩固核心概念练习1：如图5，△ABC中，∠BAC=60，AD平分∠BAC交BC于D，△ADE中，AE平分∠DAC交DC于E，且∠AED=∠ABC。求证：△ABC∽△AED。提示：计算角度：∠BAD=∠DAC=30，AE平分后∠DAE=∠EAC=15；由∠AED=∠ABC，需证∠BAC=∠EAD？不，∠BAC=60，∠EAD=15，不相等；实际应找另一组角：∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE（通过三角形内角和推导）。练习2：已知△PQR与△PST共顶点P，PR平分∠QPS，PT平分∠RPS，且$\frac{PQ}{PR}=\frac{PR}{PT}=2$。判断△PQR与△PRT是否相似，并说明理由。1基础练习：巩固核心概念参考答案：相似（SAS判定，$\frac{PQ}{PR}=\frac{PR}{PT}=2$，夹角∠QPR=∠RPT）。2提高练习：综合应用能力练习3：如图6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE平分∠ACD，且∠B=∠E，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=k$。求证：△ABC∽△AED。突破点：由AC平分∠BAD，得∠BAC=∠CAD=α；由CE平分∠ACD，得∠ACE=∠ECD=β；结合∠B=∠E，$\frac{AB}{AD}=k$，$\frac{AC}{AE}=k$，需证∠BAC=∠DAE（通过角度和差推导：∠DAE=∠CAD-∠CAE=α-(α-β)=β？需具体图形辅助）。3常见问题与解决策略（1）角度对应错误：学生常误将非对应角作为相似条件，需强调“相似三角形的对应角由对应边决定”，需通过边的比例关系确定角的对应位置；在右侧编辑区输入内容（2）角平分线定理应用不熟练：需反复练习定理表达式（$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$），明确“对边被平分后的比例等于邻边之比”；在右侧编辑区输入内容（3）复杂图形分解困难：建议学生用不同颜色笔标注公共顶点、角平分线及目标三角形，逐步剥离无关线段，聚焦核心结构。教学手记：我常让学生用“三步法”分析图形：第一步，标注公共顶点及角平分线；第二步，列出所有已知角度和边比例；第三步，寻找可能相似的三角形，逐一验证判定条件。05总结与升华1核心知识图谱公共顶点角平分线在相似三角形中的应用可概括为“一角三线两相似”：“三线”：从公共顶点出发的两条角平分线（如AD、AE）及相关边（如AB、AC）；0103“一角”：公共顶点处的角（如∠BAC）；02“两相似”：通过角度平分（AA）或边比例+夹角（SAS）判定的两组相似三角形。042思想方法提炼（1）几何直观：通过观察公共顶点与角平分线的位置，快速识别可能的相似三角形；（2）代数化思维：用变量表示角度（如α、β），通过角平分线条件建立方程（如∠BAD=2∠CAE），将几何问题转化为代数运算；（3）转化与化归：利用角平分线定理将角度关系转化为边比例，为