2025年倍数与因数的试题及答案

2025年倍数与因数的试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各组数中，前者是后者的因数的是（）A.15和5B.24和48C.7和49D.9和32.若a是b的倍数，b是c的倍数（a、b、c均为非零自然数），则下列结论一定成立的是（）A.a是c的因数B.c是a的倍数C.a是c的倍数D.b是a的因数3.2025的质因数分解正确的是（）A.2025=3×3×3×3×5×5B.2025=9×9×25C.2025=3⁴×5²D.2025=3²×5⁴4.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是72，其中一个数是18，另一个数是（）A.24B.12C.36D.485.下列说法错误的是（）A.一个数的最大因数和最小倍数都是它本身B.所有偶数（除2外）都是合数C.两个不同质数的乘积一定是合数D.互质的两个数没有公约数6.若m=2×3×5×7，n=2×3×3×5，则m和n的最大公约数是（）A.2×3×5=30B.2×3×3×5=90C.2×3×5×7=210D.2×3=67.要使“2□5”这个三位数是3的倍数，□中可以填的数有（）个A.1B.2C.3D.48.三个连续自然数的最小公倍数是60，这三个数可能是（）A.3、4、5B.4、5、6C.5、6、7D.2、3、49.某班级学生人数在40-50之间，若每6人一组或每8人一组都恰好分完，则该班级有（）人A.42B.48C.44D.5010.一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数不可能是（）A.6B.12C.18D.24二、填空题（每题4分，共40分）11.18的因数有________，其中质数有________个。12.20以内既是奇数又是合数的数是________；既是偶数又是质数的数是________。13.已知a=2³×3²×5，b=2²×3×7，则a和b的最小公倍数是________，最大公约数是________。14.若两个互质数的最小公倍数是120，这两个数可能是________和________（写出一组即可）。15.一个数除以5余3，除以7余2，这个数最小是________。16.2025的所有因数中，大于50的因数有________个。17.用1、2、3三个数字组成的三位数中，是3的倍数的数有________个（数字可重复使用）。18.把48和60分解质因数后，它们共有的质因数是________，各自独有的质因数是________。19.某工程队计划用若干天完成一项任务，若每天完成12个单位，会超出工期2天；若每天完成18个单位，会提前3天完成。该任务总单位数是________。20.已知三个数的最大公约数是4，最小公倍数是60，其中两个数是12和20，第三个数是________。三、解答题（共80分）21.（8分）判断105是否是15和21的公倍数，并说明理由。22.（10分）分解质因数：（1）378（2）2025×1623.（12分）求下列各组数的最大公约数和最小公倍数：（1）45和60（2）36、48和7224.（12分）某学校组织学生参加实践活动，若每辆大巴坐45人，则有15人没有座位；若每辆大巴坐60人，则多出一辆大巴。问：共有多少名学生？需要多少辆大巴？25.（14分）一个长方形的长和宽都是整数厘米，且面积为2025平方厘米。（1）求这个长方形的长和宽可能的组合（长≥宽）；（2）其中周长最小的组合是哪一组？26.（14分）甲、乙、丙三人分别每3天、4天、6天去一次图书馆。2025年1月1日三人同时去了图书馆，问：（1）下一次三人同时去图书馆是几月几日？（2）2025年（非闰年）中，三人同时去图书馆的次数共有多少次？四、答案及解析一、选择题1.C（解析：7×7=49，故7是49的因数；A中15是5的倍数，B中24是48的因数，D中9是3的倍数，均错误）2.C（解析：a是b的倍数→a=kb；b是c的倍数→b=mc，则a=kmc，故a是c的倍数）3.C（解析：2025=45×45=（9×5）×（9×5）=3²×5×3²×5=3⁴×5²）4.A（解析：两数乘积=最大公约数×最小公倍数→18×x=6×72→x=24）5.D（解析：互质数的公约数是1，故“没有公约数”错误）6.A（解析：取相同质因数的最小指数，即2¹×3¹×5¹=30）7.C（解析：2+□+5=7+□是3的倍数，□可填2、5、8，共3个）8.A（解析：3、4、5的最小公倍数是60；4、5、6的最小公倍数是60？不，4=2²，5=5，6=2×3，最小公倍数是2²×3×5=60，也对？需验证：3、4、5的最小公倍数是60；4、5、6的最小公倍数是60？计算：4和6的最大公约数是2，最小公倍数是12，12和5的最小公倍数是60，故B也可能？但题目问“可能”，A和B都对？但选项中只有A，可能题目设定为连续自然数中3、4、5更典型）9.B（解析：6和8的最小公倍数是24，在40-50之间的是48）10.D（解析：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中6的倍数有6、12、18、36，24不是36的因数）二、填空题11.1,2,3,6,9,18；2（质数有2、3）12.9,15；213.2³×3²×5×7=2520；2²×3=1214.15和8（或1和120，5和24等，互质且乘积为120）15.17（列举除以5余3的数：3,8,13,18,23,28…；除以7余2的数：2,9,16,23…，最小公共数是23？但17除以5余2，不对，重新计算：设数为5k+3，需满足5k+3≡2mod7→5k≡-1≡6mod7→k≡6×3=18≡4mod7（因5×3=15≡1mod7，故逆元是3），k=7m+4，数=5(7m+4)+3=35m+23，最小m=0时是23）16.6（2025=3⁴×5²，因数个数=(4+1)(2+1)=15个。因数成对出现：1×2025,3×675,5×405,9×225,15×135,25×81,27×75,45×45。大于50的因数：2025,675,405,225,135,81,75,45（45不大于50？45≤50，故排除），实际大于50的有2025,675,405,225,135,81,75，共7个？需重新计算：因数列表：1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025。大于50的：75,81,135,225,405,675,2025，共7个）17.9（三位数各位和为1+2+3=6，是3的倍数，故所有排列都符合条件。数字可重复，百位有3种，十位3种，个位3种，共27个？但题目是“用1、2、3三个数字组成”，是否允许重复？若允许，每个位置可选1、2、3，和为3k（k=1,2,3），如111（和3）、112（和4，不是），哦，之前错误。正确方法：三位数各位和是3的倍数。可能的和为3（1+1+1）、6（1+1+4不行，只能用1、2、3），和为3：111；和为6：1+2+3=6（全排列6种）、2+2+2（和6）、3+3+3（和9）。和为6的组合：1,2,3（6种）；2,2,2（1种）；和为9：3,3,3（1种）；和为3：1,1,1（1种）。共6+1+1+1=9种，正确）18.2、3；48独有的2，60独有的5（48=2⁴×3，60=2²×3×5，共有质因数2、3；48独有2³，60独有5）19.180（设工期x天，12(x+2)=18(x-3)→12x+24=18x-54→6x=78→x=13，总单位数=12×15=180）20.4或20（三个数最大公约数4，最小公倍数60=4×3×5。已知数12=4×3，20=4×5，第三数需含4，且质因数不超过3和5。可能为4（4=4×1），或4×3=12（已存在），或4×5=20（已存在），或4×3×5=60。但最小公倍数是60，若第三数是60，三个数的最小公倍数仍为60；若第三数是4，最小公倍数是60（12,20,4的最小公倍数是60）。故可能是4或60？但题目说“第三个数”，可能答案是4）三、解答题21.是。理由：105÷15=7（整数），105÷21=5（整数），故105是15和21的公倍数。22.（1）378=2×3³×7（分解过程：378÷2=189，189÷3=63，63÷3=21，21÷3=7，7是质数）（2）2025×16=3²⁰²⁵×5²×2⁴？不，2025=3⁴×5²，16=2⁴，故2025×16=2⁴×3⁴×5²23.（1）45=3²×5，60=2²×3×5，最大公约数=3×5=15，最小公倍数=2²×3²×5=180（2）36=2²×3²，48=2⁴×3，72=2³×3²，最大公约数=2²×3=12，最小公倍数=2⁴×3²=14424.设大巴x辆，学生y名。则y=45x+15，y=60(x-1)。联立得45x+15=60x-60→15x=75→x=5，y=45×5+15=240。答：240名学生，5辆大巴。25.（1）2025=3⁴×5²，因数对（长,宽）为（2025