2026《高一数学培优讲义》秋季(学生版)解析(1-9)

2026届秋高一数学培优讲义解析1/22026届秋高一数学培优讲义解析1/2TOC\o"1-1"\h\u第1讲集合及逻辑用语 第1讲集合及逻辑用语【题1】已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．32 B．4 C．5 D．31【答案】D【详解】∵∴为12的正约数，又，∴，4，3，2，0∴集合，∴集合A的真子集个数为31，故选：D.【题2】集合，用列举法可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，可得；所以.故选：C点评：通过例题1，例题2对比，在例题1中集合的一般元素代表是“”，只是一般元素“”满足的共同特征，转化为列举法表示集合；例题2中，集合的一般元素代表为“”这个分式化简后的数才是集合的元素，转化为列举法表示；通过例题1,2对比，注意描述法表示集合时一般元素代表和元素共同特征的区别.【题3】集合中含有的元素个数为A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【详解】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B类型二：根据元素与集合的关系求参数【题4】已知集合，且，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A点评：本例考查①分类讨论思想；②回代检验①由于，所以在集合中，分类或者；②求出后，切记回代检验，由于集合元素的互异性，注意检验求出的是否满足集合元素互异性这一特点.【题5】设集合，，若，则实数______.【答案】【详解】解：因为，所以，即是方程一个实数根，所以，解得或，当时，，此时不满足，舍；当时，，满足条件.故答案为：点评：本例考查回代检验①由于,所以，所以是方程一个实数根，解出或；②求出后，切记回代检验，检验的标准就是注意，只有一个公共元素“1”，多了不行，少了也不行.【题6】已知集合，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，此时，满足题意；当时，或；若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意；实数的取值集合为.故选：.类型三：根据集合中元素的个数求参数【题7】若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________【答案】【详解】只有一个元素；方程只有一个解；时，，，满足题意；时，；；∴实数的取值集合是.故答案为：.点评：本例考查：分类讨论思想，对于方程，当时，原方程为一次方程；当时，原方程为二次方程时，，，满足题意；时，；；特别提醒，对于最高项系数含参数如本题，特别注意讨论，往往很多学生忽略该种情况而造成错解.【题8】若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________．【答案】##【详解】解：因为集合不含有任何元素，所以方程无实根，当时，方程为，可得符合题意；当时，方程无实根，则，解得，综上所述，.故答案为：.【题9】若集合则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足，解得；综上，的取值范围是．故选：B．类型四：,的等价应用【题10】已知集合，.若，求实数的取值范围.【答案】.因为，所以，所以，解得.所以实数a的取值范围为.点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围明确，不含参数，否则，要分类讨论①;②;本例不需要分类讨论；在解包含关系的不等式问题，往往借助数轴解题，遵循，先确定大方向，后验证个别点①先确定大方向：由于，所以（注意此时确定大方向，不要着急把等号等上去）②验证个别点：采用假设相等法验证，假设，代入右端点检验，代入后检验满足，则将等号补上，此时不等式组变为：③检验右端点，假设，代入左端点检验是否满足，检验后满足条件，补上等号，此时不等式组为：【题11】已知集合，集合.(1)求.(2)求，求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：由，即，可得，可得集合.(2)解：因为，且集合，又因为，即，当时，即，可得，此时满足；当时，则满足，解得，综上可得，，即实数的取值范围.点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围含参数，要分类讨论①;②;本例需要分类讨论；①当时，即，可得，此时满足；②当时,需要满足：，另外由于，采用先确定大方向，后验证个别点的方法；先确定大方向：验证左端点：假设，代入右端点检验，不符合题意，左端点不能取等；验证右端点：假设，代入左端点检验符合，所以不等式变为：综上可得，，即实数的取值范围.【题12】已知集合，.(1)若，求；(2)若，求的取值集合.【答案】(1)(2)或.(1)当时，.因为，所以.(2)因为，所以.当时，解得，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，，则解得.综上，a的取值集合是或.点评：本例第（2）问：，由于，故本例需分类讨论：①；②是单元素集，即或；③①，即；②是单元素集，即或，即，注意求出，回代检验或；③，即，且（韦达定理）

类型五：利用图解决集合问题【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（

）．A．25种 B．27种 C．29种 D．31种【答案】C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是（种；分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C．【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．故选：C【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】D【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，由Venn图可知，，即，解得，所以对A，B都赞成的学生有21人.故选：D【题16】已知，则是的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【详解】记集合，.因为AB，所以是的充分不必要条件.故选：A点评：本例考查（1）分式不等式的解法；（2）充分必要性的推理（1）分式不等式的解法：①移项化零：将分式不等式右边化为0（注意不等式右边只能化为0）：②③④⑤(2)“是”标志词（正序）①充分必要性问题，在表示范围时，遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”②从集合的角度看，：，若,则，但（说明:集合表示的是小范围，集合表示的是大范围，遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”的原则）③本例表示的范围：，表示的范围：，借助数轴判断发现表示的范围比小.【题17】设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，得，解得，由，得，得，因为当时，一定成立，而当时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A点评：本例考查（1）绝对值不等式的解法；（2）充分必要性的推理（1）绝对值不等式的解法：①②(2)“是”标志词（正序）①设表示：解得；表示：得②借助数轴，观察表示的是小范围，表示的是大范围；③遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”解题【题18】“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，可得，则，由，可得，则，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A【题19】（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】由p：得且，解得或，故选项C，D是命题p的充分不必要条件，故选：CD．点评：本例考查（1）分式不等式的解法；（2）“的”标志词倒序结构（1）分式不等式的解法：①：（注意此时不等号右边是1，要先化为0），再通分：②根据分式不等式解法解得或；（2）“的”标志词（倒叙）①假设要选择的答案为②将倒叙结构调整为正序结构：是的充分不必要条件③根据“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”解题，分析得到表示的范围比表示的范围更小，而表示：或；观察答案，找在或范围内的小范围，即为答案.【题20】若不等式成立的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】成立时，，由解得，设集合，，由依题意得，所以，解得.故选:D．点评：本例考查“的”标志词（倒叙）①假设表示记为：；表示：记为：②将倒叙结构调整为正序结构：是的充分条件③根据“小范围”推出“大范围”；分析得到表示的范围比表示的范围更小，得到，所以，解得.【题21】已知，若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，因为不等式的一个必要条件为，所以得.故选：C．【题22】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为命题“，”为真命题，所以有，显然选项A是充要条件，由不一定能推出，由不一定能推出，由一定能推出，故选：D【题23】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；当时，若对于恒成立，则即可得：，综上所述：实数的取值集合是，故选：B.点评：本例考查的是恒成立的简单问题，主要考查不等式，恒成立，注意到最高项系数含参数需分类讨论：（1）（2）；（1）不等式化简为：，不满足恒成立；所以（舍去）（2），则原不等式为二次不等式，通过分析题意判断为：二次函数在区间上的恒成立问题：可以采用法，即：得：【题24】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是()A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】由题意，，则，解得或，所以实数的取值范围是，故选C.点评：本例考查的是能成立的简单问题，主要考查不等式，上有解，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；通过分析题意判断为：二次函数在区间上的能成立问题：可以采用法，即：得或.【题25】命题“”为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】因为，所以，所以，故选：A.【题26】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为命题“”是假命题，所以该命题的否定为,是真命题，当时，函数有解，故成立，当时，对应函数开口向下，显然成立，当时，，解得综上，实数a的取值范围是故选：C【题27】已知使是真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为使是真命题，所以在上能成立，即在上能成立，设，开口向上，且对称轴为，所以在上的最小值为当时，，故，故选：C.点评：本例考查的是能成立的简单问题，主要考查不等式，上有解，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；但是本题区间不是区间，故不能直接使用法；此时考虑更通用的方法：变量分离法：即将参数分离到不等号的一边，如本例分离后为：；在进行等价转化为：，从而构造，求上的最小值.【题28】若命题“”是假命题，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若命题“”是假命题，则命题“”是真命题，当时，，所以.故选：A.点评：本例考查的是恒成立的简单问题，由题意：”是假命题等价转化为：”是真命题，主要考查不等式恒成立问题，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；但是本题区间不是区间，故不能直接使用法；此时考虑更通用的方法：变量分离法：即将参数分离到不等号的一边，等价转化为：，从而构造，求上的最大值.同类题型演练【题29】命题“，”为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若命题“，”为假命题，则，为真命题，则对恒成立，令，，则开口向上的抛物线，对称轴为，所以在随的增大而增大，所以当时，所以，故选：A【题30】命题“，”为真命题的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】原命题可写为“，”，当时，随x增大而增大，所以取最大值为3，所以．故选：D名校真题练【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，若A∩B＝∅（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由A∩B＝∅，则2a≥a+2或，然后求解．【解答】解：已知集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣5或x＞5}，又A∩B＝∅，则2a≥a+2或，即a≥2或，则实数a的取值范围为．故选：A．【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（）A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y3【答案】D【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质判断D．【解答】解：当x＝﹣2，y＝﹣2时，，但是不满足x＞y；当y＝1，x＝0时，，即B不符合题意；当x＝﹣7，y＝﹣1时，x2＞（y+7）2，但是不满足x＞y，不符合题意；当（x﹣1）2＞y3时，可得x﹣1＞y，可以得出x＞y．故选：D．【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（）①{1}∈{0，1，2}②{1，﹣3}＝{﹣3，1}③{0，1，2}⊆{1，0，2}④∅∈{0，1，2}⑤∅∈{0}．A．5 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①③⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出④的对错；据集合元素的三要素判断出②对错．【解答】解：①应是{1}⊆{0，7，2}，对于②，集合中元素的三要素有互异性，③任何集合都是本身的子集，故{0，3，0，2}正确．④应是∅⊆{8，1，2}．故错误的有①④⑤．故选：C．【练习4】已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】问题转化为不等式ax2+2x+3＞0的解集为R，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值．【解答】解：因为命题p：∀x∈R，ax2+2x+5＞0为真命题，所以不等式ax2+3x+3＞0的解集为R．所以：若a＝4，则不等式ax2+2x+5＞0可化为2x+4＞0⇒，不等式解集不是R；若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，综上可知：．故选：D．【练习5】命题，则¬p是（）A． B． C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0【答案】D【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为或x﹣5＝0．故选：D．【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（）A．{x|x＝2k+1，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝6k+1，k∈Z} D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z}【答案】D【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可．【解答】解：集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}，则M∩N中k前面的系数应为5，3的最小公倍数，B，对于C，当k＝1时，k∈Z}为{x|x＝5}，而令3k﹣1＝3，可得k不为整数，k∈Z}不含有7，可得M∩N中不含有7，故C错误．故选：D．【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（）A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S【答案】B【分析】先化简三个集合，再根据集合的关系即可求解．【解答】解：∵S＝{x|x＝m+，m∈Z}＝{x|x＝，P＝{x|x＝+，n∈Z}＝{x|x＝，Q＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}，∴S⊂P＝Q，故选：B．【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（）A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根【答案】A【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣5＝0有实根”的否定是：“任意m≥0，使mx3﹣mx﹣1＝0无实根”．故选：A．【练习9】若集合M满足：M≠∅，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁RB） D．（∁RA）∩B【答案】D【分析】分别求出A∩B，A∪B，A∩（∁RB），（∁RA）∩B，利用“偶集合”的定义逐一判断即可．【解答】解：因为 A＝{x|x＜﹣1}，所以 ，因为﹣2∈A∩B，但 8∉A∩B，A∪B＝{x≤1}，因为﹣3∈A∪B，但 ，故B错误，∁RB＝{x|x＞8}，所以 RB）＝⌀，不合题意，∁RA＝{x|x⩾﹣1}，所以 RA）∩B＝{x|﹣1⩽x⩽8}，满足对∀α∈[（∁RA）∩B]，﹣a∈[（∁RA）∩B]，∴（∁RA）∩B 是一个“偶集合”，故选：D．【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）A．20 B．21 C．23 D．25【答案】B【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，作出韦恩图，列方程能求出结果．【解答】解：某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人，已知该班学生每人至少参加了1个小组，如图，设该班学生中同时参加了数学小组，只参加其中一个小组的人数为y，则（32﹣x）+（25﹣x）+（22﹣x）+x+y＝56，即y＝2x﹣23，因为x≤22，所以y≤21．故选：B．【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．1≤x＜2 B．2＜x≤4 C．1≤x D．x≤4【答案】AB【分析】先求出p的范围，然后结合充分及必要性检验各选项即可判断．【解答】解：由x2﹣5x+8＝（x﹣1）（x﹣4）≤6，解得1≤x≤4，7≤x＜2和2＜x≤7都是命题p成立的充分不必要条件．故选：AB．【练习12】下列说法正确的是（）A．“”是“a＜b”的充分不必要条件 B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件 C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件【答案】BD【分析】结合不等式性质检验选项A，C，D，结合集合交集运算检验选项B．【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，有，反之当a＝﹣2，b＝5时，但，所以两者既不充分也不必要；当A＝{7}，B＝{2}时，但A≠∅，当A＝∅时，A∩B＝∅；当ac2＞bc6时，可得a＞b，反之，a＞b时，则ac2＝bc2，所以两者不是充要条件，故C错误；若a5+b2≠0⇔a，b不同时为5⇔|a|+|b|≠0．故选：BD．【练习13】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（﹣∞，2]．【答案】见试题解答内容【分析】根据“∃x∈[，2]，不等式2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，求出“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题时λ的最小值，即可求出实数λ的取值范围．【解答】解：若“∃x∈[，6]2﹣λx+1＜4成立”是假命题，即“∃x∈[，2]成立”是假命题，由x∈[，2]时，函数y＝2x+＝2，即x＝，所以y的最小值为2；所以实数λ的取值范围为（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，2]．【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是．【答案】．【分析】由题意，可得当时，不等式|x2﹣ax|≤2恒成立，设y＝|x2﹣ax|，分a＞0，a＝0，a＜0三种情况进行分类讨论，即可求得结论．【解答】解：由A∪B＝B，可得A⊆B，即当时，不等式|x8﹣ax|≤2恒成立，设y＝|x2﹣ax|，（1）当a＜3时，如图，因为，所以，矛盾；（2）当a＝0时，恒成立；（3）当a＞6时，如图，当，即时，因为，所以，得；当，即时，因为，所以，得，矛盾；当时，由图有，则，综上，a的取值范围是．故答案为：．【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．（1）若a＝3，求A∪（∁UB）；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．【答案】见试题解答内容【分析】（1）解二次与一次不等式化简集合A，B，代入a＝3再次化简集合B，进而利用集合的交并补运算即可得解；（2）根据题意得到B是A的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解．【解答】解：（1）由题意知A＝{x|x2+2x＜3}＝（﹣3，1），若a＝3，B＝{x|﹣3＜3x﹣8＜6}＝{x|0＜x＜3}，所以∁UB＝（﹣∞，0]∪[3，所以A∪（∁UB）＝（﹣∞，5）∪[3．（2）因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B⫋A，因为，所以，所以且等号不同时成立，则a的取值范围是[﹣2，﹣3]．【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出A⫋B，再列出不等式组计算即可；（2）分B＝∅和B≠∅两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可．【解答】解：（1）由题意，x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣2≤x≤8，∴A＝{x|﹣2≤x≤4}．由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B，则且等号不能同时取到，故实数m的取值范围为．（2）当B＝∅时，得m﹣3＞3m+3，符合题意；当B≠∅时，得m﹣3≤3m+3，由A∩B＝∅，得m﹣3＞2或3m+3＜﹣4，∴或m＞4；综上所述，实数m的取值范围为．【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）a的值为0或，当a＝0时，元素为，当时，元素为；（3）．【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）讨论a＝0、a≠0，分别求出a值和集合中的元素；（3）讨论a＝0、a≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围．【解答】解：（1）A是空集，∴a≠0且Δ＜0，解得，∴a的取值范围为：；（2）当a＝0时，集合，当a≠0时，Δ＝0，解得，综上所求，a的值为0或，元素为，当时；（3）当a＝0时，，符合题意；当a≠0时，要使关于x的方程ax2﹣7x+2＝0有实数根，则Δ＝7﹣8a≥0，得．综上，若集合A中至少有一个元素．【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}．（1）若命题P：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值；（2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）a；（2）．【分析】（1）由已知结合元素与集合关系分析B的可能情况，即可求解；（2）结合充分必要性与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：（1）由题意知B⊆A，因为集合B≠∅，所以B＝{1}或{2}或{8．当B＝{1}时，解得a＝4；当B＝{2}时，无解；当B＝{2，2}时，，综上，a＝3．（2）由题意可得，A⊆C，所以解得．故实数m的取值范围是．【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值；（2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集；（3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围．【答案】（1）7；（2）当a＞1时，原不等式解集为；当0＜a＜1时，原不等式解集为；当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠1}；（3）．【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）对a分情况讨论，结合二次函数的性质求解；（3）由题意可知，不等式ax2﹣（a+1）x+1+a＞0在﹣2≤x≤﹣1时恒成立，再结合二次函数的性质求解．【解答】解：（1）当a＝2时，，当且仅当，即x＝2时取等号，即的最小值为5；（2）y＝ax2﹣（a+1）x+2＝（ax﹣1）（x﹣1），当，即0＜a＜6时或x＜1，当，即a＞1时或x＞1，当，即a＝1时．综上，当a＞1时；当0＜a＜7时，原不等式解集为；当a＝2时，原不等式解集为{x|x≠1}；（3）不等式y+a＞0可化为ax5﹣（a+1）x+1+a＞5，因为A⊆B，所以不等式ax2﹣（a+1）x+8+a＞0在﹣2≤x≤﹣6时恒成立，结合二次函数图象知，，即，解得，故a的取值范围是．

第2讲基本不等式性质【题1】的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.所以当时，函数有最小值4.故选：C.【题2】若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，（当且仅当，即时取等号），的最大值为.故选：A.【题3】若，则有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】B【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.故选：B.【题4】函数的最小值是________.【答案】2【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为2.故答案为：2.【题5】若，则的最小值为________________．【答案】【详解】，当且仅当时等号成立.故答案为：【题6】（多选）已知，则的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】BCD【详解】，当且仅当,即时等号成立，则的最小值为.故选：.【题7】已知，则的最小值为__________.【答案】3【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：3.【题8】若，则的最小值为___________.【答案】0【详解】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：0【题9】已知，则的最小值是______．【答案】6【详解】，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是6.故答案为：6【题10】若，则的最小值为______．【答案】2【详解】因为，所以，因为，当且仅当时，即等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.【题11】函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.【题12】已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．故选：B.【题13】已知，求的最小值______________.【答案】【详解】，，当且仅当时等号成立.故答案为：【题14】若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C【题15】已知，比较两数的大小：______9．【答案】【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：【题16】已知，则函数的最小值为___________.【答案】【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9，故答案为：9【题17】若实数，满足，且，则的最大值为______.【答案】##0.125【详解】令，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为故答案为：【题18】函数的最小值为______．【答案】7【详解】令，；则(当且仅当，即时，等号成立)，故函数，的最小值为故答案为：7【题19】函数的最小值为___．【答案】【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：.【题20】设，则函数的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【详解】令，则，因为，所以.所以，当且仅当时，有最小值9.故选：B.【题21】已知，，，则的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27故选：D【题22】若正实数，满足，则的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．9【答案】B【详解】解：因为，是正实数，所以故有，当且仅当【题23】已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【详解】由题意知，，，则，当且仅当时，取最小值.故选：C．【题24】已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B【题25】已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】根据题意，，∴，当且仅当且时等号成立，∴的最小值为，故选：D．【题26】设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.，即，时取到等号.故选：B.【题27】已知，且，则的最小值是（

）A．2 B．6 C．3 D．9【答案】D【详解】，当且仅当，时取等号，故选：D【题28】已知正实数x，y满足，则最小值为______．【答案】9【详解】正数，满足：，，当且仅当，即，时“”成立，故答案为：.【题29】已知，，，则的最小值为__________．【答案】【详解】解：由，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【题30】负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】A【详解】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.故选：A【题31】已知，则的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【答案】A因为，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，取最小值14.故选：A【题32】已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.【题33】若正数满足，则的最小值是___________.【答案】【详解】由，可得.又，所以(当且仅当时等号成立).故答案为：【题34】函数的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．4【错解】D故选：D（错解在于利用基本不等式求最值问题，要满足一正，二定，三相等，显然本例中，等号成立当且仅当，即取不到.）【正解】A，由对钩函数图象，当时，随的增大而增大，所以当时，故选：A【题35】求函数的最值.【答案】最小值为，无最大值【详解】解：，令，则，因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.故的最小值为，无最大值.【题36】若，则的最小值是（

）A．6 B．5 C． D．3【答案】C【详解】，令，所以，由对钩函数，当时，随着的增大而增大，所以当时，故选：C.【题37】已知，求的最小值___________．【答案】【详解】∵令，则，由对钩函数知当时，随着的增大而增大，当时，故答案为：名校真题练【练习1】已知1≤a≤2，﹣1≤b≤4，则a﹣2b的取值范围是（）A．[﹣7，4] B．[﹣6，9] C．[6，9] D．[﹣2，8]【答案】A【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案．【解答】解：因为﹣1≤b≤4，所以﹣8≤﹣2b≤2，由2≤a≤2，得﹣7≤a﹣7b≤4．故选：A．【练习2】下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则【答案】B【分析】举出反例检验选项A，D，结合不等式性质检验选项B，C即可判断．【解答】解：当c＝0时，A显然错误；因为a＞b＞0，c＜d＜5，所以a﹣c＞b﹣d＞0，所以，，B正确；若a＜b＜0，则a2＞ab＞b4，C错误；当a＝﹣2，b＝﹣1时．故选：B．【练习3】若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（）A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4【答案】C【分析】由不等式的性质及绝对值的定义求a﹣|b|的范围即可．【解答】解：∵﹣4＜b＜2，∴3≤|b|＜4，∴﹣4＜﹣|b|≤8，又∵1＜a＜3，∴﹣3＜a﹣|b|＜3．故选：C．【练习4】若正实数x，y满足x+y+xy＝8，则下列结论不正确的是（）A．x+y的最小值为4 B．xy的最大值为4 C．x+2y的最小值为 D．x2+y2的最大值为8【答案】D【分析】根据基本不等式及其变形逐项判断即可．【解答】解：对于A项，由基本不等式得，，整理得（x+y）2+6（x+y）﹣32≥0，解得x+y≥4，当且仅当x＝y＝8时，故A正确；对于B项，由A项可知x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时，故B正确；对于C项，由题可知（x+7）（y+1）＝9，故，当且仅当时，等号成立；对于D项，x3+y2＝（x+y）2﹣6xy＝（8﹣xy）2﹣2xy＝（xy﹣9）2﹣17，又2＜xy≤42+y8的最小值为8，当且仅当x＝y＝2时取得最小值．故选：D．【练习5】若a＞0，b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】＝＝＝，利用基本不等式即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴＝＝＝，当且仅当且a+b＝4，b＝1时．∴的最小值为2．故选：B．【练习6】以下说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为4【答案】B【分析】选项A，举反例，令x＝﹣1，即可排除；选项B，利用基本不等式，求解即可；选项C，由x2+2≥2，知x2+2+≥；选项D，利用a+b＝1与完全平方和公式，化简变形可得＝ab+﹣2，再结合对勾函数及其单调性，求解即可．【解答】解：选项A，当x＝﹣1时＝﹣7＜2；选项B，+＝|x|+＝5，即x＝±1时，即B正确；选项C，因为x4≥0，所以x2+4≥2，所以x2+5+≥，当且仅当x＝2时，即C错误；选项D，＝ab++++＝ab++﹣2，令t＝ab≤＝，则f（t）＝t+，]上单调递减，所以f（t）≥f（）＝+，所以的最小值是．故选：B．【练习7】（多选）设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1 B．若，则a﹣b＜1 C．若，则|a﹣b|＜1 D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1【答案】AD【分析】A将a2﹣b2＝1，分解变形为（a+1）（a﹣1）＝b2，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；BC可通过举反例的方法证明其错误性；D若a＞b，去掉绝对值，将a3﹣b3＝1分解变形为（a﹣1）（a2+1+a）＝b3，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a＜1，从而命题D正确．【解答】解：若a2﹣b2＝3，则a2﹣1＝b5，即（a+1）（a﹣1）＝b2，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣3＜b＜a+1，A正确；若，可取a＝7，则a﹣b＞1；若，则可取a＝9，而|a﹣b|＝5＞2；由|a3﹣b3|＝7，若a＞b＞0，则a3﹣b4＝1，即（a﹣1）（a2+a+1）＝b3，∵a2+1+a＞b2，∴a﹣6＜b，即a﹣b＜1若0＜a＜b，则b4﹣a3＝1，即（b﹣7）（b2+1+b）＝a5，∵b2+1+b＞a6，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1∴|a﹣b|＜4，∴D正确．故选：AD．【练习8】（多选）以下正确的选项是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＜d，则 C．若ac2＞bc2，则a3＞b3 D．若a＞b，m＞0，则【答案】AC【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断选项A的正误；选项B和D，通过取特殊值，即可判断出选项D和D的正误；选项C，由ac2＞bc2，得到a＞b，即可判断选项C的正误．【解答】解：对于选项A，由c＜d，又a＞b，故选项A正确，对于选项B，取a＝3，c＝﹣3，B显然错误；对于选项C，由ac3＞bc2，得到（a﹣b）c2＞8，又c2＞0，所以a﹣b＞4，所以a3＞b3，故选项C正确，对于选项D，取a＝﹣2，m＝5，m＞0，但．故选：AC．【练习9】（多选）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2（）A． B． C．a2+b2的最小值为 D．【答案】BD【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【解答】解：对于A，，即，当且仅当a＝1，，故A错误；对于B，因为）＝2，当且仅当a＝6，时等号成立；对于C，因为a+6b＝2，因为a＞0，则2＜b＜1，所以a2+b5＝（2﹣2b）7+b2＝5b3﹣8b+4，当时，a2+b7取最小值，故C错误；对于D，，当且仅当，时等号成立．故选：BD．【练习10】（多选）下列说法正确的是（）A．函数的最小值为2 B．若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是2 C．已知实数x，y满足﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则2x﹣3y∈（﹣2，13） D．若对任意x∈[1，+∞），恒成立，则a＞﹣3【答案】BD【分析】对于A，当x取负值时显然不成立；对于B，通过配方得30+9xy＝（2x+3y）2，利用基本不等式即可得出结果；对于C，将2x﹣3y用x+y和x﹣y线性表示，结合不等式的性质即可得结果；对于D，通过分离参数得a＞﹣（x2+2x），结合二次函数的性质即可得解得．【解答】解：由对勾函数的图象与性质可知：当x＞0时，函数；当x＜0时有最大值﹣6．由于未指明x的取值范围，故A错误；因为正数x，y满足4x2+5y2+3xy＝30，所以30+4xy＝（2x+3y）3≥24xy，所以15xy≤30，当且仅当，即，时取等号，故xy的最大值是2，故B正确；设2x﹣3y＝λ（x+y）+μ（x﹣y），则，解得，即，因为﹣6＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，所以，，所以，即3x﹣3y∈（3，8）；对任意x∈[1，+∞），，分离参数得a＞﹣（x2+7x）对任意x∈[1，+∞）恒成立，令y＝﹣（x2+6x）＝﹣（x+1）2+2在[1，+∞）最大值为﹣3，即a＞﹣6，故D正确，故选：BD．【练习11】（多选）若a＞0，b＞0，且a+4b＝1（）A．ab有最大值 B．有最大值2 C．有最小值5 D．a2+16b2有最小值【答案】AC【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A，，当且仅当a＝4b且a+4b＝8，即b＝时取等号，故A正确，对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，所以有最大值；对于C，，当且仅当且a+8b＝1，即a＝时取等号，所以有最小值5；对于D，因为a2+16b7≥2×4ab，所以7（a2+16b2）≥a3+16b2+2×8ab＝（a+4b）2，所以，当且仅当a＝4b且a+4b＝8，a＝，所以a2+16b2有最小值，故D错误．故选：AC．【练习12】（多选）设正整数a，b满足a+b＝1，则（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．【解答】解：对于A选项，，当且仅当，故A错误；对于B选项，，故+，当且仅当，故B正确；对于C选项，，则，当且仅当，故C正确；对于D选项，＝[（a+8）+（b+1）]（（2+（5+2，当且仅当a+1＝b+7，即时取得等号成立．故选：BCD．【练习13】若实数x，y满足﹣1≤2x+3y≤2且﹣3≤x﹣y≤1，则M＝3x+4y的取值范围是[﹣2，3]．【答案】[﹣2，3]．【分析】先计算出，从而得到﹣2≤M≤3．【解答】解：设M＝3x+4y＝a（3x+3y）+b（x﹣y），即3x+7y＝（2a+b）x+（3a﹣b）y，故，解得，所以，故，，故，即﹣2≤M≤3．故答案为：[﹣5，3]．【练习14】若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是．【答案】．【分析】根据条件得到，得到取值范围．【解答】解：4＜y＜6，故，则，又2＜x＜8，故．故答案为：．【练习15】已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为4．【答案】4．【分析】先利用基本不等式求最值，根据取等条件得，即即得．【解答】解：根据题意可得，，因a＞b＞0，所以a﹣b＞0，所以，即，当且仅当时等号成立，此时，解得．故答案为：4．【练习16】已知0＜a＜2，则的最小值为．【答案】．【分析】利用均值定理即可求得的最小值．【解答】解：，因为0＜a＜2，故，（当且仅当，即时取等号．）则的最小值为．故答案为：．【练习17】某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x（0≤x≤20），将产量增加到m＝（x+2）万件万元，并以每件（注：收益＝销售金额+创业补助﹣成本）（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？【答案】（1），0≤x≤20；（2）7万元．【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；（2）由（1）得，x∈[10，20]，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案．【解答】解：（1）依据题意可知，销售金额，创业补助x万元万元，所以收益，0≤x≤20．（2）由（1）可知，0≤x≤20，由基本不等式可得，，当且仅当，取等号．此时函数取得最大值74，所以当x＝7时，该企业所获收益最大．【练习18】（1）已知x＞﹣1，求的最小值．（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9．【分析】（1）根据基本不等式即可求解，（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：（1）由于x＞﹣1，所以x+1＞4，故，当且仅当，即x＝2时等号成立，故最小值为6，（2）由于x＞0，y＞0，当且仅当且，故当x＝6，故最小值为9．【练习29】（1）已知x＞0，y＞0且xy﹣4x﹣y＝0，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．（2）已知x，y∈（1，+∞），且xy﹣4x﹣y+2＝0【答案】（1）{m|m≤9}；（2）10．【分析】（1）利用基本不等式结合“乘1法”求出x+y的最小值即可得m的取值范围；（2）将xy﹣4x﹣y+2＝0化为（x﹣1）（y﹣4）＝2的形式，由于2x+y＝2（x﹣1）+（y﹣4）+6，结合基本不等式即可求得最小值．【解答】解：（1）由xy﹣4x﹣y＝0得，则．当且仅当，即x＝3．所以若x+y≥m恒成立，则{m|m≤9}．（2）由xy﹣5x﹣y+2＝0，得（x﹣3）（y﹣4）＝2，+∞），所以x﹣2＞0，y﹣4＞4，所以，当且仅当2（x﹣3）＝y﹣4，结合（x﹣1）（y﹣5）＝2，y＝6时．故8x+y的最小值为10．【练习20】（1）若正实数x，y满足2x+y＝2，求的最小值；（2）若正实数x，y满足，求x+y的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3．【分析】（1）利用作差法证明不等式即可，注意不等式中等号成立的条件；（2）利用（1）中的结论证明不等式，注意不等式中等号成立的条件；（3）利用（1）中的结论证明不等式，注意不等式中等号成立的条件．【解答】解：（1）有：，当且仅当，又2x+y＝6，即，时；则的最小值为．（2）有：，当且仅当且，即x＝1，等号成立．【练习21】求下列式子的最值．（1）已知，求的最小值；（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．【答案】（1）；（2）9．【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解．【解答】解：（1）因为，所以2x﹣3＞0，，当且仅当，即时取得等号，所以函数的最小值为．（2），当且仅当，即y＝2x，y＝6时取得等号，所以x+y的最小值为8．第3讲一元二次不等式【题1】不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为．法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．故选：B．【题2】不等式的解集是________．【答案】【详解】解：因为，即，解得，所以原不等式的解集为；故答案为：【题3】不等式的解集是（

）A． B． C． D．，或【答案】C【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；故选：C【题4】不等式的解集为___________.【答案】【详解】不等式可化为，解得：.所以原不等式的解集为.故答案为：【题5】解不等式.【答案】解：不等式化为，即当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为【题6】求不等式（）的解集．【答案】当a>0时，不等式的解集为当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为，比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x－a）（4x＋a）>0．当a>0时，不等式的解集为当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为【题7】设函数．当时，求关于的不等式的解集．【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.，即，当时，原不等式可化为，其解得情况应由与的大小关系确定，当时，解得；当时，解得；当时，解得.综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【题8】当时，求关于的不等式的解集．【答案】，因为，所以不等式可化为当时，即，原不等式的解集当时，即，原不等式的解集为当时即原不等式的解集.综上所述，当时，原不等式的解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集.【题9】设函数，.解关于x的不等式；【答案】(1)答案见解析.当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.【题10】解关于的不等式.【答案】由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.【题11】已知函数.若，解关于的不等式.【答案】时，解集为；时，解集为；时，解集为或不等式，可化为：.当时，原不等式即为，．当时，原不等式化为，或.当时，原不等式为，可化为因，．综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为或【题12】若，解关于的不等式．【答案】答案见解析.【详解】当时，，当时，，当时，，解得，当时，，若，则，若，则或，若，则或，所以当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是或；当时，原不等式的解集是或．【题13】已知函数.若，解关于的不等式.【答案】依题意，因，则，当时，，解得，当时，，解得或，当时，，解得或，所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.【题14】解关于的不等式：．【答案】答案见解析.【详解】关于的不等式：中，，当或时，，对应的一元二次方程有两个实数根和，且，故不等式的解集为或；当时，，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；综上，或时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为．【题15】已知一元二次函数，满足．(1)求的解析式；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)解集见解析(1)解：函数，由，得因为，所以解得；所以.(2)关于x的不等式可化为因为所以当即时，原不等式对应的方程无实数根，又二次函数的图像开口向上，所以原不等式的解集为；当，即时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；当即或时，原不等式对应的有两个相等的实数根，分别为且所以原不等式解集为.综上所知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式解集为.【题16】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【详解】由二次函数图象知：有.故选：A【题17】已知的解集为（），则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】解：因为的解集为（），所以为的根，所以.故选：B【题18】若不等式的解集是，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式的解集是则根据对应方程的韦达定理得到：，解得，则的解集为故选：A【题19】若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．【答案】【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，故不等式的解集为．故答案为：【题20】若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.【答案】3【详解】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，故.经检验满足题意故答案为：3.【题21】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C．D．【答案】B【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．【题22】已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.【答案】【详解】由题意得，“，”是真命题，则对恒成立，在区间上，的最小值为，所以，即a的取值范围是.故答案为：【题23】已知关于的不等式．(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立则关于的方程的判别式，即，解得，所以实数的取值范围为．（2）不等式，可看成关于的一次不等式，又，所以，解得且，所以实数的取值范围是．【题24】（多选）不等式对任意的R恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】可整理为，则，故A正确．当，时，满足，即原不等式成立．B错误；由，得，所以．C正确；．D正确．故选：ACD．【题25】，则的取值范围为__________．【答案】【详解】由题设，可得.故答案为：【题26】已知不等式的解集是．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(1)因为不等式的解集是．所以－1和3是方程的解，把代入方程解得．经验证满足题意(2)若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，所以，解得，所以m的取值范围是．【题27】已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)求在上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)(3)答案见解析（1）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，函数在区间上的值域是；（2）当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；（3）函数的对称轴为，①当，即时，函数在上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当，即时，a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．④当，即时，函数在上是减函数，故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为【题28】已知二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．【答案】(1)(2)（1）因为二次函数，且满足，，所以，且，由，得，所以，得，所以.（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，，综上【题29】已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值；【答案】(1)(2)(1)解：因为函数的图象过点，所以又，所以，解得，所以；(2)，，当时，即时，函数在上单调递减，所以，当时，即时，函数在上单调递减，在单调递增，所以；当时，函数在上单调递增，所以．综上：【题30】已知函数，若不等式的解集是(1)求的解析式；(2)若函数在区间上的最小值为20，求实数的值.【答案】(1)(2)－9或5(1)是对应方程ax2＋2x＋c＝0的两根.由韦达定理得，；(2)，对称轴为，当，即时，，由已知得：，解得：m＝3或－9，又，，当时，，由已知得：，解得：m＝5或－7，又，，当时，，（舍去），综上所述，m＝－9或5.【题31】已知函数，，.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)若最小值为，求的值.【答案】(1)；(2).(1)因为开口向上，由时，恒成立，可得，所以，即，解得：，所以的取值范围为.(2)对称轴为，开口向上，当时，，解得：（舍）；当时，，（舍）；当时，，；所以的值为.【题32】已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．【答案】(1)(2)或(1)当时，不等式，即为，即，所以，所以或，所以原不等式的解集为．(2)，由题意或，这时解得，若，则，所以；若，即，所以，则，综上，或．【题33】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值．【答案】a＝－1或a＝2．【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝(舍去)．（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．综上可知，a＝－1或a＝2．

名校真题练【练习1】已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．﹣4≤a≤4 B．﹣4＜a＜4 C．a≤﹣4或a≥4 D．a＜﹣4或a＞4【答案】A【分析】根据题意，利用判别式Δ≤0，求解即可．【解答】解：不等式x2+ax+4＜8的解集为空集，则Δ＝a2﹣16≤0，解得﹣2≤a≤4，所以a的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}．故选：A．【练习2】命题“对任意的m∈[﹣1，1]，总存在唯一的x∈[0，使得x2﹣2x﹣am﹣1＝0”成立的充分必要条件是（）A．﹣2≤a≤2 B．﹣1≤a≤1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜1【答案】D【分析】方程变形为x2﹣2x＝am+1，转化为函数y＝x2﹣2x与y＝am+1有且仅有一个交点，依据a＝0，a＞0，a＜0分类讨论，数形结合，求解a的范围即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣am﹣2＝0得：x2﹣4x＝am+1；当a＝0时，am+7＝12﹣7x＝1，解得：，满足题意；当a＞3时，am+1∈[1﹣a；若存在唯一的x∈[8，使得x2﹣2x＝am+4成立，则y＝x2﹣2x与y＝am+6有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出y＝x2﹣2x在[5，3]上的图象如下图所示，由图象可知：当0＜am+8≤3时，y＝x2﹣3x与y＝am+1有且仅有一个交点，∴，解得：a＜5；当a＜0时，am+1∈[3+a，结合图象可得：，则﹣1＜a＜4；综上所述：原命题成立的充要条件为﹣1＜a＜1．故选：D．【练习3】若x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1或3＜m≤4 D．﹣2＜m≤﹣1或3≤m＜4【答案】C【分析】不等式化为（x+1）（x+m）＜0，只需讨论m＞1，m＜1时，求出不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式x2+（m+1）x+m＜2可化为（x+1）（x+m）＜0，当m＞8时，﹣m＜﹣1；当m＜1时，﹣m＞﹣6；由不等式的解集中恰有两个整数，则﹣4≤﹣m＜﹣3或7＜﹣m≤2，即3＜m≤3或﹣2≤m＜﹣1．所以m的取值范围是[﹣3，﹣1）∪（3．故选：C．【练习4】若不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出a，b，代入再解不等式即得．【解答】解：由不等式ax2+bx+2＞3的解集为，得是方程ax8+bx+2＝0的二根，且a＜5，于是，且，解得a＝﹣12，不等式2x2+bx+a＜6为2x2﹣4x﹣12＜0，即x2﹣x﹣5＜0，解得﹣2＜x＜6，所以不等式2x2+bx+a＜8的解集是{x|﹣2＜x＜3}．故选：A．【练习5】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【答案】A【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1，4]，求出f（x）＝﹣x在x∈[1，4]的最大值即可．【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜4在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1；设f（x）＝﹣x，4]，则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，且当x＝3时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．【练习6】已知当x＜0时，关于x的不等式x2+|x﹣a|＜2有解，则实数a的取值范围是{a|﹣≤a＜2}．【答案】{a|﹣≤a＜2}．【分析】根据题意，将不等式有解转化为2﹣x2＞|x﹣a|至少有一个负数解，画出图像，结合图像代入计算，即可求解．【解答】解：当x＜0时，不等式x2+|x﹣a|＜8有解转化为|x﹣a|＜2﹣x2至少有一个负数解，构造y＝4﹣x2，y＝|x﹣a|，画出图形当a＝2时，y＝|x﹣8|与y＝2﹣x2的图像相交于（2，2）点，要使其相交于y轴左侧，则需满足a＜2，在y＝|x﹣a|的图像不断左移的过程中，若与y＝8﹣x2左侧曲线相切，则有2﹣x4＝x﹣a，对应的判别式Δ＝1+4（a+5）＝0，所以，综上，a的取值范围是{a|﹣．故答案为：{a|﹣≤a＜2}．【练习7】已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（1，2）．【答案】（1，2）．【分析】把不等式化为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0，根据不等式的解集中有且仅有3个整数，由0＜b＜1+a可得a＞1，写出不等式的解集，考查解集端点的范围，即可求出a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式（a2﹣1）x4+2bx﹣b2＜3，因为0＜b＜1+a，所以不等式化为[（a+3）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0，因为不等式的解集中有且仅有3个整数，所以a﹣1＞0；所以不等式的解集为﹣＜x＜，所以解集里的整数是﹣2，﹣6，所以﹣3≤﹣＜﹣8，又因为b＜1+a，所以3a﹣7＜1+a，综上知，实数a的取值范围是（1．故答案为：（2，2）．【练习8】已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2．【答案】（1）；（2）当a＝0时，解集为{x|x＜2}；当a＞0时，解集为；当时，解集为{x|x＜2或；当时，解集为{x|x≠2}；当时，解集为或x＞2}．【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论a＝0、a≠0，结合二次函数的性质列不等式求参数范围；（2）由题设有[ax+（a+1）]（x﹣2）＜0，应用分类讨论求对应解集．【解答】解：（1）由题意，ax2+（1﹣a）x+a≥2对一切实数x恒成立，当a＝0时，不等式可化为x≥0；当a≠6时，则有；故实数a的取值范围是．（2）不等式ax2+（6﹣a）x+a＜3a+2等价于ax7+（1﹣a）x﹣2（a+6）＜0，即[ax+（a+1）]（x﹣5）＜0，当a＝0时，不等式可化为x﹣4＜0；当a≠0时，ax2+（1﹣a）x﹣2（a+5）＝0的两根为x1＝﹣8﹣，x2＝8，当a＞0时，不等式解集为；当时，不等式解集为{x|x＜2或；当时，不等式解集为{x|x≠2}；当时，不等式解集为．综上所述，当a＝3时，解集为{x|x＜2}；当a＞0时，解集为；当时，解集为{x|x＜2或；当时，解集为{x|x≠2}；当时，解集为．【练习9】已知集合A＝{x|m﹣1≤x≤2m﹣1}，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＜0}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的范围．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣3＜x≤3}；（2）．【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果；（2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数m的范围．【解答】解：（1）由m＝2时，集合A＝{x|1≤x≤8}，所以A∪B＝{x|﹣3＜x≤3}；（2）当m﹣2＞2m﹣1，即m＜3时，符合A⊆B，当A≠∅时，由A⊆B，有，综上可知，若A⊆B．【练习10】已知f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R（1）当a＝﹣2时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若存在x∈[3，+∞），使得f（x），求实数a的取值范围．【答案】（1）（﹣2，1）；（2）[3.5，+∞）．【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可；（2）根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可．【解答】解：（1）当a＝﹣2时，由f（x）＝（x+2）（x﹣3）＜0，所以不等式的解集为（﹣2，5）；（2）f（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣a）（x﹣5），当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）7≥0，不存在实数x∈[3，使得f（x）＝﹣6成立；当a＜1时，函数f（x）在x∈[1，显然在x∈[5，而f（1）＝0，所以当x∈[3，+∞）时，故不存在x∈[6，使得f（x）＝﹣1成立；当1＜a≤4时，因为函数在x∈[a，所以在x∈[3，f（a）＝0，所以此时f（x）＝﹣7不成立；当时，即a≥5时，+∞）有解，只需f（）≤﹣1）2﹣+a≤﹣1，而a≥5，因此a≥5，当时，即3＜a＜5时，+∞）有解，只需f（3）≤﹣1，即9﹣8（a+1）+a≤﹣1，即5.5≤a＜5，综上所述：实数a的取值范围为[3.5，+∞）．【练习11】已知函数f（x）＝x2﹣bx+b﹣1，b∈R．（1）求集合M＝{x|f（x）≥0}；（2）设N＝{x|x∈∁RM，x∈Z}，若N中恰好有2个元素【答案】（1）当b＝2时，M＝R；当b＞2时，M＝{x|x≤1或x≥b﹣1}；当b＜2时，M＝{x|x≤b﹣1或x≥1}；（2）{b|﹣1≤b＜0或4＜b≤5}．【分析】（1）分b＝2、b＞2、b＜2解出不等式（x﹣1）[x﹣（b﹣1）]≥0即可得解；（2）结合（1）中所得分类讨论，结合N中恰有2个整数元素即可得解．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝x2﹣bx+b﹣1，＝（x﹣5）[x﹣（b﹣1）]，若f（x）＝0，即x3﹣bx+b﹣1＝（x﹣1）[x﹣（b﹣8）]＝0，解可得x1＝8或x2＝b﹣1，则方程x3﹣bx+b﹣1＝0的两个根为5和b﹣1，当b＝2时，有（x﹣3）2≥0恒成立，故M＝R；当b＞4时，有1＜b﹣1；当b＜2时，有b﹣1＜1．综上所述，当b＝3时；当b＞2时，M＝{x|x≤1或x≥b﹣8}；当b＜2时，M＝{x|x≤b﹣1或x≥8}