2025年成人高考专升本《高等数学（一）》积分模拟专项卷

2025年成人高考专升本《高等数学（一）》积分模拟专项卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=∫<0xE2><0x82><0x9B>^xtsin(t^2)dt的导数f'(x)等于).(A)xsin(x^2)(B)sin(x^2)(C)2x^2cos(x^4)(D)x^2cos(x^4)2.若∫<0xE2><0x82><0x9B>^1(2ax+b)dx=3x^2+2x在区间[0,1]上成立，则常数a,b的值为).(A)a=3,b=2(B)a=3,b=0(C)a=1,b=1(D)a=0,b=23.下列不定积分计算正确的是).(A)∫xcos2xdx=(1/2)xsin2x+C(B)∫e<0xE2><0x82><0x9B>xdx=e<0xE2><0x82><0x9B>+C(C)∫(1/x)dx=ln|x|+C(D)∫√(1+x^2)dx=(1/3)(1+x^2)^(3/2)+C4.函数F(x)=∫<0xE2><0x82><0x9B>^xsin(t+1)dt的单调递减区间是).(A)(-∞,-1)(B)(-1,+∞)(C)(-∞,0)(D)(0,+∞)5.若反常积分∫<0xE2><0x82><0x9B>^1dx/(xlnx)收敛，则实数a的取值范围是).(A)a>1(B)a<1(C)a≥1(D)a≤1二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。6.∫(x^2-1)/(x+1)dx=________.7.利用定积分的几何意义，计算∫<0xE2><0x82><0x9B>^2|x-1|dx=________.8.若f'(x)=sinx+1，且f(0)=2，则f(π/2)=________.9.计算定积分I=∫<0xE2><0x82><0x9B>^π(cosx+1)dx=________.三、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10.(本题满分10分)计算不定积分∫xlnxdx.11.(本题满分12分)计算不定积分∫x^2sec^2(x^3)dx.12.(本题满分12分)计算定积分∫<0xE2><0x82><0x9B>^1xe^xdx.13.(本题满分12分)计算定积分∫<0xE2><0x82><0x9B>^π/2xsin2xdx.14.(本题满分16分)计算定积分∫<0xE2><0x82><0x9B>^1(x^2+1)/(x^2+x)dx.要求：对被积函数进行适当的变形后，分别在不同区间内计算积分。试卷答案一、选择题1.(A)2.(A)3.(C)4.(D)5.(B)二、填空题6.x^2/2-x+C7.28.π-19.π+2三、解答题10.解：令u=lnx，dv=xdx，则du=1/xdx，v=x^2/2.由分部积分法公式∫udv=uv-∫vdu，得∫xlnxdx=(lnx)*(x^2/2)-∫(x^2/2)*(1/x)dx=(x^2/2)lnx-∫(x/2)dx=(x^2/2)lnx-(1/2)*(x^2/2)+C=(x^2/2)lnx-(x^2/4)+C.11.解：令u=x^3，则du=3x^2dx，即x^2dx=(1/3)du.当x=0时，u=0；当x=1时，u=1.∫x^2sec^2(x^3)dx=∫sec^2(u)*(1/3)du=(1/3)∫sec^2udu=(1/3)tanu+C=(1/3)tan(x^3)+C.（此处为不定积分结果，若题目要求定积分，需带入积分限）若求定积分∫<0xE2><0x82><0x9B>^1x^2sec^2(x^3)dx，则=(1/3)∫<0xE2><0x82><0x9B>^1sec^2udu=(1/3)[tanu]0^1=(1/3)[tan1-tan0]=(1/3)tan1.12.解：令u=x，dv=e^xdx，则du=dx，v=e^x.由分部积分法公式∫udv=uv-∫vdu，得∫xe^xdx=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C.若求定积分∫<0xE2><0x82><0x9B>^1xe^xdx，则=[e^x(x-1)]0^1=[e^1*(1-1)]-[e^0*(0-1)]=0-(-1)=1.13.解：令u=x，dv=sin2xdx，则du=dx，v=-cos2x/2.由分部积分法公式∫udv=uv-∫vdu，得∫<0xE2><0x82><0x9B>^π/2xsin2xdx=[-xcos2x/2]0^π/2+∫<0xE2><0x82><0x9B>^π/2cos2x/2dx=(-π/4*cosπ)-(0*cos0)+(1/2)∫<0xE2><0x82><0x9B>^π/2cos2xdx=(π/4)+(1/2)*(1/2)∫<0xE2><0x82><0x9B>^π/2cos2xd(2x)=(π/4)+(1/4)[sin2x]0^π/2=(π/4)+(1/4)[sinπ-sin0]=(π/4)+(1/4)*0=π/4.14.解：对被积函数进行多项式除法，得(x^2+1)/(x^2+x)=1-x/(x^2+x).∫<0xE2><0x82><0x9B>^1(x^2+1)/(x^2+x)dx=∫<0xE2><0x82><0x9B>^11dx-∫<0xE2><0x82><0x9B>^1x/(x^2+x)dx=∫<0xE2><0x82><0x9B>^11dx-∫<0xE2><0x82><0x9B>^1x/(x(x+1))dx=∫<0xE2><0x82><0x9B>^11dx-∫<0xE2><0x82><0x9B>^1(1/x)dx-∫<0xE2><0x82><0x9B>^1(-1/(x+1))dx=∫<0xE2><0x82><0x9B>^11dx-[ln|x|]0^1+[ln|x+1|]0^1=[x]0^1-(ln1-ln0)+(ln2-ln1)=(1-0)-(0-(-∞))+(ln2-ln1)