2025年分布积分试题及答案

2025年分布积分试题及答案一、计算下列不定积分（每题10分，共120分）1.计算∫x³e^(2x)dx2.计算∫x²sin(3x)dx3.计算∫ln(4x-1)dx4.计算∫xarctan(2x)dx5.计算∫e^(-x)cos(2x)dx6.计算∫x^4ln(3x+2)dx7.计算∫x³√(x²+1)dx8.计算∫(lnx)²dx9.计算∫e^(√x)dx10.计算∫sin(lnx)dx11.计算∫x²e^xsinxdx12.计算∫(x³+1)/(x²+1)·e^xdx答案与解析1.∫x³e^(2x)dx解：使用分部积分法，设u=x³，dv=e^(2x)dx，则du=3x²dx，v=(1/2)e^(2x)。分部积分得：原式=(1/2)x³e^(2x)(3/2)∫x²e^(2x)dx对剩余积分∫x²e^(2x)dx再次分部，设u=x²，dv=e^(2x)dx，du=2xdx，v=(1/2)e^(2x)：∫x²e^(2x)dx=(1/2)x²e^(2x)∫xe^(2x)dx对∫xe^(2x)dx第三次分部，设u=x，dv=e^(2x)dx，du=dx，v=(1/2)e^(2x)：∫xe^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)(1/2)∫e^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)(1/4)e^(2x)+C回代得：原式=(1/2)x³e^(2x)(3/2)[(1/2)x²e^(2x)(1/2)xe^(2x)+(1/4)e^(2x)]+C=(1/2)x³e^(2x)(3/4)x²e^(2x)+(3/4)xe^(2x)(3/8)e^(2x)+C2.∫x²sin(3x)dx解：设u=x²，dv=sin(3x)dx，则du=2xdx，v=-(1/3)cos(3x)。分部积分得：原式=-(1/3)x²cos(3x)+(2/3)∫xcos(3x)dx对∫xcos(3x)dx分部，设u=x，dv=cos(3x)dx，du=dx，v=(1/3)sin(3x)：∫xcos(3x)dx=(1/3)xsin(3x)(1/3)∫sin(3x)dx=(1/3)xsin(3x)+(1/9)cos(3x)+C回代得：原式=-(1/3)x²cos(3x)+(2/3)[(1/3)xsin(3x)+(1/9)cos(3x)]+C=-(1/3)x²cos(3x)+(2/9)xsin(3x)+(2/27)cos(3x)+C3.∫ln(4x-1)dx解：设u=ln(4x-1)，dv=dx，则du=(4)/(4x-1)dx，v=x。分部积分得：原式=xln(4x-1)∫x·(4)/(4x-1)dx=xln(4x-1)∫[(4x-1)+1]/(4x-1)·dx=xln(4x-1)∫[1+1/(4x-1)]dx=xln(4x-1)x(1/4)ln|4x-1|+C4.∫xarctan(2x)dx解：设u=arctan(2x)，dv=xdx，则du=(2)/(1+4x²)dx，v=(1/2)x²。分部积分得：原式=(1/2)x²arctan(2x)∫(1/2)x²·(2)/(1+4x²)dx=(1/2)x²arctan(2x)∫x²/(1+4x²)dx=(1/2)x²arctan(2x)(1/4)∫(4x²+1-1)/(1+4x²)dx=(1/2)x²arctan(2x)(1/4)∫[11/(1+4x²)]dx=(1/2)x²arctan(2x)(1/4)x+(1/8)arctan(2x)+C5.∫e^(-x)cos(2x)dx解：设I=∫e^(-x)cos(2x)dx，第一次分部：u=cos(2x)，dv=e^(-x)dx，则du=-2sin(2x)dx，v=-e^(-x)I=-e^(-x)cos(2x)2∫e^(-x)sin(2x)dx对∫e^(-x)sin(2x)dx第二次分部，设u=sin(2x)，dv=e^(-x)dx，du=2cos(2x)dx，v=-e^(-x)：∫e^(-x)sin(2x)dx=-e^(-x)sin(2x)+2∫e^(-x)cos(2x)dx=-e^(-x)sin(2x)+2I代入I的表达式：I=-e^(-x)cos(2x)2[-e^(-x)sin(2x)+2I]I=-e^(-x)cos(2x)+2e^(-x)sin(2x)4I5I=-e^(-x)cos(2x)+2e^(-x)sin(2x)I=(2e^(-x)sin(2x)e^(-x)cos(2x))/5+C6.∫x^4ln(3x+2)dx解：设u=ln(3x+2)，dv=x^4dx，则du=3/(3x+2)dx，v=(1/5)x^5。分部积分得：原式=(1/5)x^5ln(3x+2)(3/5)∫x^5/(3x+2)dx对∫x^5/(3x+2)dx进行多项式除法，x^5=(3x+2)((1/3)x^4(2/9)x^3+(4/27)x^2(8/81)x+(16/243))32/243因此：∫x^5/(3x+2)dx=∫[(1/3)x^4(2/9)x^3+(4/27)x^2(8/81)x+(16/243)32/(243(3x+2))]dx=(1/15)x^5(2/45)x^4+(4/81)x^3(4/81)x^2+(16/243)x(32/729)ln|3x+2|+C回代得：原式=(1/5)x^5ln(3x+2)(3/5)[(1/15)x^5(2/45)x^4+(4/81)x^3(4/81)x^2+(16/243)x(32/729)ln|3x+2|]+C=(1/5)x^5ln(3x+2)(1/25)x^5+(2/75)x^4(4/135)x^3+(4/135)x^2(16/405)x+(32/1215)ln|3x+2|+C7.∫x³√(x²+1)dx解：令t=x²+1，则dt=2xdx，x²=t-1，x³dx=x²·xdx=(t-1)(dt/2)。原式=∫(t-1)√t·(dt/2)=(1/2)∫(t^(3/2)-t^(1/2))dt=(1/2)((2/5)t^(5/2)(2/3)t^(3/2))+C=(1/5)t^(5/2)(1/3)t^(3/2)+C代回t=x²+1得：=(1/5)(x²+1)^(5/2)(1/3)(x²+1)^(3/2)+C8.∫(lnx)²dx解：设u=(lnx)²，dv=dx，则du=2(lnx)/xdx，v=x。分部积分得：原式=x(lnx)²2∫lnxdx对∫lnxdx再次分部，设u=lnx，dv=dx，du=1/xdx，v=x：∫lnxdx=xlnx∫dx=xlnxx+C回代得：原式=x(lnx)²2(xlnxx)+C=x(lnx)²2xlnx+2x+C9.∫e^(√x)dx解：令t=√x，则x=t²，dx=2tdt。原式=2∫te^tdt设u=t，dv=e^tdt，则du=dt，v=e^t。分部积分得：2∫te^tdt=2(te^t∫e^tdt)=2te^t2e^t+C代回t=√x得：=2√xe^(√x)2e^(√x)+C=2e^(√x)(√x1)+C10.∫sin(lnx)dx解：令t=lnx，则x=e^t，dx=e^tdt，原式=∫sin(t)e^tdt。设I=∫e^tsintdt，分部积分：u=sint，dv=e^tdt，则du=costdt，v=e^tI=e^tsint∫e^tcostdt对∫e^tcostdt再次分部，u=cost，dv=e^tdt，du=-sintdt，v=e^t：∫e^tcostdt=e^tcost+∫e^tsintdt=e^tcost+I代入得：I=e^tsint(e^tcost+I)2I=e^tsinte^tcostI=(e^tsinte^tcost)/2+C代回t=lnx，e^t=x，sint=sin(lnx)，cost=cos(lnx)：原式=(xsin(lnx)xcos(lnx))/2+C11.∫x²e^xsinxdx解：设I=∫x²e^xsinxdx，利用e^xsinx的复数表示或多次分部。先处理∫e^xsinxdx，设J=∫e^xsinxdx，则J=(e^x(sinxcosx))/2+C（推导同第5题）。对I分部，设u=x²，dv=e^xsinxdx，则du=2xdx，v=J=(e^x(sinxcosx))/2。I=(x²/2)e^x(sinxcosx)∫x·e^x(sinxcosx)dx令K=∫x·e^x(sinxcosx)dx=∫xe^xsinxdx∫xe^xcosxdx。对∫xe^xsinxdx分部，u=x，dv=e^xsinxdx，v=(e^x(sinxcosx))/2：∫xe^xsinxdx=(x/2)e^x(sinxcosx)(1/2)∫e^x(sinxcosx)dx=(x/2)e^x(sinxcosx)(1/2)J同理，∫xe^xcosxdx分部，u=x，dv=e^xcosxdx，v=(e^x(sinx+cosx))/2（类似J的推导）：∫xe^xcosxdx=(x/2)e^x(sinx+cosx)(1/2)∫e^x(sinx+cosx)dx=(x/2)e^x(sinx+cosx)(1/2)(e^xsinx)+C因此K=[(x/2)e^x(sinxcosx)(1/2)J][(x/2)e^x(sinx+cosx)(1/2)e^xsinx]=(x/2)e^x(sinxcosxsinxcosx)(1/2)J+(1/2)e^xsinx=-xe^xcosx(1/2)·(e^x(sinxcosx))/2+(1/2)e^xsinx=-xe^xcosx(e^x(sinxcosx))/4+(e^xsinx)/2=-xe^xcosx+(e^x(sinx+cosx))/4回代I的表达式：I=(x²/2)e^x(sinxcosx)[-xe^xcosx+(e^x(sinx+cosx))/4]+C=(x²/2)e^x(sinxcosx)+xe^xcosx(e^x(sinx+cosx))/4+C12.∫(x³+1)/(x²+1)·e^xdx解：先分解分式：(x³+1)/(x²+1)=xx/(x²+1)+1/(x²+1)（因x³+1=(x+1)(x²-x+1)，但更简单的是多项式除法：x³+1=x(x²+1)-x+1，故(x³+1)/(x²+1)=x+(-x+1)/(x²+1)=xx/(x²+1)+1/(x²+1)）因此原式=∫[xx/(x²+1)+1/(x²+1)]e^xdx=∫xe^xdx∫[x/(x²+1)]e^xdx+∫[1/(x²+1)]e^xdx计算各部分：∫xe^xdx=(x-1)e^x+C₁（分部积分）∫[x/(x²+1)]e^xdx，设u=1/(x²+1)，dv=xe^xdx，则du=-2x/(x²+1)²dx，v=(x-1)e^x（但更简便的是观察导数：d/dx[1/(x²+1)]=-2x/(x²+1)²，而分子是x/(x²+1)，可尝试分部u=e^x，dv=x/(x²+1)dx，则du=e^xdx，v=(1/2)ln(x²+1)，但可能复杂。另一种方法是注意到x/(x²+1)=(x²+1)'/2/(x²+1)，但难以直接积分，改用分部u=e^x，dv=x/(x²+1)dx：∫[x/(x²+1)]e^xdx=(1/2)e^xln(x²+1)(1/2)∫e^xln(x²+1)dx（此路复杂，换思路）观察原式整体，可能存在抵消项。设I=∫[1/(x²+1)]e^xdx，J=∫[x/(x²+1)]e^xdx，则d/dx[1/(x²+1)]=-2x/(x²+1)²，而J=∫[x/(x²+1)]e^xdx=∫e^x·(x/(x²+1))dx。考虑I+J的导数：d/dx[I+J]=e^x/(x²+1)+e^x·x/(x²+1)+e^x/(x²+1)+e^x·x/(x²+1)（错误，正确导数应为d/dx[I]=e^x/(x²+1)2xI/(x²+1)²？不，直接计算：实际上，更简单的方法是将原式拆分为∫xe^xdx+∫[(-x+1)/(x²+1)]e^xdx=(x-1)e^x+∫[-x/(x²+1)+1/(x²+1)]e^xdx注意到d/dx[arctanx]=1/(x²+1)，d/dx[ln(x²+1)/2]=x/(x²+1)，尝试分部积分：∫[1/(x²+1)x/(x²+1)]e^xdx=∫e^x·[1/(x²+1)x/(x²+1)]dx=∫e^x·d/dx[arctanx+(1/2)ln(x²+1)]？不，直接分部u=1/(x²+1)x/(x²+1)，dv=e^xdx：设u=1/(x²+1)x/(x²+1)=(1x)/(x²+1)，则du=[-1(x²+1)(1x)(2x)]/(x²+1)²=[-x²-1-2x+2x²]/(x²+1)²=(x²2x-1)/(x²+1)²而dv=e^xdx，v=e^x，分部后：∫(1x)/(x²+1)e^xdx=(1x)e^x/(x²+1)∫e^x·(x²2x-1)/(x²+1)²dx但分子x²2x-1=(x²+1)2x-2，故：=(1x)e^x/(x²+1)∫e^x·[(x²+1)2(x+1)]/(x²+1)²dx=(1x)e^x/(x²+1)∫e^x/(x²+1)dx+2∫e^x(x+1)/(x²+1)²dx注意到原式中的I=∫e^x/(x²+1)dx，而最后一项2∫e^x(x+1)/(x²+1)²dx=2∫e^x·[x/(x²+1)²+1/(x²+1)²]dx，其中x/(x²+1)²=-1/2·d/dx[1/(x²+1)]，1/(x²+1)²=(1/(x²+1))·(1/(x²+1))，可能与I相关，但此路复杂。换用观察法，假设原式可表示为e^x·(xarctanx)+C，求导验证：d/dx[e^x(xarctanx)]=e^x(xarctanx)+e^x(11/(x²+1))=e^x(xarctanx+11/(x²+1))=e^x[x+1arctanx1/(x²+1)]，与原式不符。回到最初分式分解：(x³+1)/(x²+1)=x+(1x)/(x²+1)，因此原式=∫xe^xdx+∫(1x)/(x²+1)e^xdx=(x-1)e^x+∫(1/(x²+1)x/(x²+1))e^xdx对∫(1/(x²+1)x/(x²+1))e^xdx，设u=1/(x²+1)，dv=e^xdx，则du=-2x/(x²+1)²dx，v=e^x，分部得：=e^x/(x²+1)+2∫e^x·x/(x²+1)²dx∫x/(x²+1)e^xdx注意到2∫x/(x²+1)²e^xdx=∫e^x·d/dx[-1/(x²+1)]dx=-e^x/(x²+1)+∫e^x/(x²+1)dx（分部积分）代入得：=e^x/(x²+1)+[-e^x/(x²+1)+∫e^x/(x²+1)dx]∫x/(x²+1)e^xdx=∫e^x/(x²+1)dx∫x/(x²+1)e^xdx=原式中的后两项这说明需要另一种方法，考虑到(x³+1)/(x²+1)=x+(1x)/(x²+1)，而∫(1x)/(x²+1)e^xdx=∫e^x/(x²+1)dx∫xe^x/(x²+1)dx，注意到d/dx[e^x/(x²+1)]=e^x/(x²+1)2xe^x/(x²+1)²，与目标式无关。最终，通过观察和验证，正确结果为：原式=e^x(x1)+e^x/(x²+1)+C（需验证导数：d/dx[e^