MS05随机事件的概率(文)

随机事件的概率

一、概率

1.在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A

发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件A的概左.记作P(A).

2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常人们用挖

茎来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用鳍来作为随机事件概率的估计值.

二、事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件4发生，则事件B一定发生，这

包含关系B3A（或AcB）

时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

相等关系若83人且人那么称事件人与事件8相等.A=B

并事件(和若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事

AUB或A+B

事件)件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

交事件(积若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此

ACB或AB

事件)事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

互斥事件若4Gl为不可能事件,那么事件A与事件4互斥API8=0

若AG8为不可能事件,AU8为必然事件,那么称事

市立事件

件A与事件B互为对立事件

三、概率的几个基本性质

1.概率的取值范围：OWP(A)WI2.必然事件的概率P(E)=1.

3.不可能事件的概率P(F)=O

4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).

5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AUB为必然事件.P(AUB)=1,P(A)=1-P(B).

例1：一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()

A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶.

解：“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.选D。

例2：掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下

列结果正确的是()

A.P(/W)=T,P(A9=1B.P(M)=T,P(AO=1C.P(A/)=[,P(^T)=JD.P(M)=T,P(/V)=^

1113

解：P(M)=5，P(A9=I_7X2=4-

例3：某射手在一次射击中,射中10环,9环，8环的概率分别是().20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不

够8环的概率为()

A.0.40B,0.30C.0.60D.0.90

解：依题意，射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故不够8环的概率为1-0.60=0.40.选A

例4：盒子里共有大小相同的3只红球，1只黄球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是

解：从中摸出两只球共有6种，其中颜色不同的有3种，故?=高3=91

例5：甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是看乙获胜的概率是/则乙不输的概率是.

解：P=2+3=6-

1.互斥事件与对立事件包含类型

两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况

(1)若事件A发生，则事件B就不发生；(2)若事件B发生，则事件A就不发生；

(3)事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一

定互斥.

2.从集合角度理解互斥事件和对立事件

从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事

件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

例6：在2016年深圳里约奥运会火炬传递活动中，有编号为123,4,5的5名火炬手.若从中任选3人，则

选出的火炬手的编号相连的概率为()

AJ_R5CJ_n2

AioJOU5

解:从1,2,345中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(123),(2,3,4),(345),

选出的火炬手的编号相连的概率为。=奇

例7：从123,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为()

解:可能的情况有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10

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种，其中和为奇数的有(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)共4种，故所求概率「=m=不

例8：某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完

全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯次料中选出3

杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人

对A和B两种饮料没有鉴别能力.

(1)求此人被评为优秀的概率；

(2)求此人被评为良好及以上的概率.

解：将5杯饮料编号为：1,2,345,编号123表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3

杯的所有可能情况为：(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(3史)，可见共有

10种.令。表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，尸表示此人被评为良好及以上的

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事件，则(1)P(D)=正；(2)P(E)=$,P(D=P(0+P(E)=^.

例9：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为得到黑球

或黄球的概率是总得到黄球或绿球的概率是今试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件4、B、C、D由于A、B、C、。为互斥事件，根据已知得

4+砌+r0+股）=1,R叫，

到V修为+打。4,解睁HOJ,・•・得到黑球、黄球、绿球的概率分别为?

、尺。十只。)弓，卢功弓.

1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此力斥，然后求出各事件分别发生的

概率，再求和.

2.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件

转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.如果采用方法一，一定

要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易

出现错误.

3.对立事件一定是互斥事件.互斥事件不一定是对立事件，可者助于集合思想去找准对立事件.

4.若A、B互斥且对立.则P(A)+P(B)=L

例10：某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的

概率为0.01,则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为()

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

解：P=1-0.03-0.01=0.96.

例11：一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地

取球，每次随机取一个.

⑴求连续取两次都是白球的概率；

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率.

解：(1)连续取两次所包含的基本事件有：

(红，红)，(红，白1),(红，白2),(红，黑)；(白1,红)，(白1,白1),(白1,白2),(白I,黑)：

(白2,红)，(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑)；(黑，红)，(黑，白1),(黑，白2),(黑，黑)

所以基本事件的总数M=16.

设事件A：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有：(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),

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(白2,白2)共4个，所以P(4)=讳=1

(2)法一：由(1)连续取两次的事件总数为M=16,设事件无连续取两次分数之和为0分，则户(8)=七；

设事件C连续取两次分数之和为1分，则P(C)=^=：：设事件。：连续取两次分数之和大于1分，

则P(D)=1—P(8)—P(C)=¥。

法二：设事件B：连续取两次分数之和为2分，则P(8)=金；设事件C连续取两次分数之和为3分，则

4I

汽0=而：设事件D：连续取两次分数之和为4分，则P(0="；：设事件氏连续取两次分数之和大于1

分，则P(E)=P(8)+P(O+P(Q)=]|。Li___

例⑵如图，A地到火车站共有两条路径Li和Lz，现随机抽取100位从二>火车站

A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：\

所用时间(分钟)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择L的人数612181212

选择心的人数0416164

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L,和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车

站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，，用频率估计

相应的概率为0.44.

(2)选择L的有60人,选择L2的有4()人，故由调查结果得频率为:________________________________

所用时间(分钟)10〜2020〜3()30〜4040〜5050〜60

L\的频率O.i0.20.30.20.2

乙2的频率00.10.40.4().1

(3)A,,A2分别表示甲选择L和L2时，在40分钟内赶到火车站；

Bi，B2分别表示乙选择Li和L?时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(Ai)=0.1+0.2+0.3=06

P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(AI)>P(A2),P甲应选择LI；P(Bi)=O」+02+0.3+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=09,P(B2)>P(B)),・••乙应选择L2.

例13：甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,

则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.

解：-1-0.2X0.25=0.95.答案：0.95。

例1%已知向量a=(x,〉，)，b=(\,-2),从6张大小相同，分别标有号码1,2,3、4、5,6的卡片中，

有放回地抽取两张，X、)，分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.

(1)求满足。・。=-1的概率；(2)求满足。＞0的概率.

解：(1)设(x,历表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、

(2,1)、(2,2)、…、(6,5)、(6,6),共36个.用A表示事件"〃乃=一1"，即工一2〉=一1,则A包含的基本事件

31

有(1,1)、(3,2)、(5,3),共3个，尸⑷=%=五.

(2)4•力＞0,即x—2y＞0,在(I)中的36个基本事件中，满足％—2户0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、

(6,2),共6个,所以所求概率尸=.=,

例15：某次会议有6名代表参加，