湖北省楚天协作体2026届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省楚天协作体2026届高三上学期11月期中考试数学试题一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故选：D.2.在中，已知，，则的面积为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由，，则，，，，因，故，则，所以的面积为.故选：A.3.已知实数a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立，若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立，故选：.4.任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数则，已知复数则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，故，所以，故选：C.5.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，，，所以，解得，则在方向上的投影向量为.故选：D.6.与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）A.2条 B.3条 C.4条 D.6条【答案】B【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以，①当直线不经过原点时，设截距为，.则直线过点，，那么直线斜率为.所以直线方程为.因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.即，化简得，求解得或（舍去）.此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.②当直线经过原点时，设直线方程为，即.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.即，化简得，求解得.此情况下有两条直线符合题意，直线方程为，.综上，共有3条直线符合题目要求.故选：B.7.有四个半径为的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切.则球的半径为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】连接四个球的球心可以得到一个棱长为的正四面体，根据正四面体的外接球的半径公式得到半径，因为小球与这四个小球均外切，则所求的小球的半径为，故选：C.8.已知函数，，则在下列哪个区间上一定存在极值点（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，则，，要使存在极值点，则一定有两个变号零点，可设，因为，函数开口向上，且，对于A，要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；对于B，要使在上存在极值点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在极值点；对于C，要使在上存在极值点，则或，即或，则，所以在上一定存在极值点；对于D，要使在上存在极值点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在极值点.综上所述，函数在一定存在极值点.故选：C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据，，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好C.已知随机变量，若，，则D.依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联【答案】ABC【解析】A：8个数从小到大排列，因为，且，可得下四分位数是1，故A正确；B：由决定系数越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B对；C：因为，，，则，解得：，，故C正确；D：由，依据的独立性检验，可以认为两个变量有关联的可信度越高，错.故选：ABC.10.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（）A.B.若且有唯一解，则C.若，则D.若，则面积最大值为【答案】ACD【解析】由，则，则，由于，所以，，，故A正确；由正弦定理得，即，又有唯一解，所以或，故B错误；由，则，，则，即，,所以，则，所以，故C正确；若，则由余弦定理得，所以有，即，当且仅当时取等号，的面积为，故D正确.故选：ACD.11.数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，当时，，又，，又，，，的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，当，时，，又，，故D正确.故选：ACD.三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法.【答案】6【解析】将除甲外的4名同学全排列，甲左边2名同学与右边2名同学顺序一定，所以排法共有种.故答案为：6.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________.【答案】【解析】设，，由双曲线定义可得，即，所以，，又，，在中，由余弦定理得，即，解得，故离心率，故答案为：.14.已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________.【答案】①.5②.【解析】①当时，满足要求的“规范数列”有；；；；；所以当，时，“规范数列”的个数为.②，，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为，当，，时，由已知数列共有项，其中项为，项为，所以满足条件的数列的个数为，若数列为“规范数列”，则第一项为，若第一项为，第二项为时，“规范数列”个数为，当第一项为，第二项为，第三项必然为，此时“规范数列”个数为，所以.故，因为函数在上单调递增，所以当时，取最小值，，故答案为：；.四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列满足，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和.（1）证明：因为，，所以，所以，又因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知，即，所以.16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，如图所示，则，，所以四边形为平行四边形，，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，与相交，，平面，所以平面；（2）解：由（1）可知平面，，所以，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，，令，则，，；，，设平面的一个法向量，则，，令，则，，，设平面与平面夹角为，则.故平面与平面夹角的余弦值为.17.欲从甲、乙两个无线通信设备中选出一个稳定设备作为应急通信设备，现对这两个设备轮流发送信号进行测试，每次发送一组信号.已知甲设备每次发送信号成功的概率为，乙设备每次发送信号成功的概率为，且每次信号发送结果互不影响.约定1：任选一个设备发送一组信号，若信号发送成功，便成为稳定设备；约定2：从甲设备开始发送信号，轮流发送进行测试，先发送信号成功的设备为稳定设备，当决定出稳定设备或两设备都发送信号3次均失败，结束测试.（1）按照约定1，求在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率；（2）按照约定2，（i）两个设备共发送信号不超过4次时，求甲设备成为稳定设备的概率；（ii）测试结束时，求乙设备发送信号次数的分布列与数学期望.解：（1）设“任选一个设备发送信号，该设备是甲设备”为事件，“任选一设备发送信号，该设备是乙设备”为事件，“任选一个设备发送信号，该设备发送信号成功”为事件，所以，，，在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率为.（2）（i）发送信号1次，甲设备成为稳定设备的概率为，发送信号3次，甲设备成为稳定设备的概率为，两个设备共发送不超过4次时，甲设备成为稳定设备的概率为（ii）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123所以数学期望为.18.已知椭圆：过点，长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，.证明：为定值.（1）解：由题意可得，，，故，，所以椭圆的方程为.（2）证明：由已知直线过点，且交椭圆于，两点，所以直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，：，此时，两点坐标为，，则当直线的斜率不为0时，由已知设直线：，点，，联立直线与椭圆的方程，整理得，则，即，解得或，且，，所以．综上，为定值，且．19.已知函数.（1）若对任意的，，求实数的取值范围；（2）设，（i）对任意正整数，证明：函数有唯一的零点；（ii）证明：.（1）解：由可得，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取到最大值，且最大值为，故，实数的取值集合为；（2）证明：（i