湖南省A佳教育2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省A佳教育2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，则．故选：D．2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为命题“”，所以其否定是“，”．故选：C．3.已知条件，条件，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于解不等式得，因此对应集合为．对于，解不等式得，因此对应集合为．因为真包含于，所以是必要不充分条件．故选：B.4.已知幂函数的图象经过点，则函数为（）A.奇函数，且在上是增函数 B.偶函数，且在上是减函数C.奇函数，且在上是减函数 D.偶函数，且在上是增函数【答案】A【解析】设，由题意得，所以，其定义域为，又，所以函数为奇函数，任取，因为，所以，所以函数单调递增．故选：A.5.已知集合，函数，则的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】由题意，，则；，有，所以.故选：B．6.下列四个选项中最大的数是（）A.1.5 B. C. D.【答案】B【解析】因为，又，，所以最大的数为．故选：B．7.对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当是定义在上的伪偶函数时，则存在非零实数满足，即有解，当时，，与题意不符，舍去；当时，，其中．又因为，所以，即.故选：B.8.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则：①当时，则，所以不等式可转变为：对于任意实数恒成立，令，则不等式转化为：，要使不等式对任意恒成立，只需大于等于的最大值，函数是开口向下的二次函数，对称轴为，最大值为，因此；②当时，由于，而当时，由于函数在时的取值情况未知，不能得出对于任意实数恒成立；③当时，由于，而当时，可得，由于函数在时的取值情况未知，不能得出对于任意实数恒成立；综上，实数的取值范围是.故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.下列关于函数的说法中，正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的图象是两个孤立的点C.函数与函数是同一个函数D.已知函数，则【答案】ABD【解析】对于A，已知的定义域为，即，则对，需满足．解不等式，故的定义域为，故A正确；对于B，函数有意义，需同时满足和，所以．当时，；当时，．因此函数图象是点和，即两个孤立的点，故B正确；对于C，函数定义域为，函数定义域为，两者定义域不同，故不是同一个函数，故C错误；对于D，因，代入对应的解析式，，故D正确．故选：ABD.10.若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下，得在上单调递增，在上单调递减，又指数函数在上单调递增，所以在里必须存在，解得．故选：ABD．11.下列结论正确的是（）A.若，且，则的最小值为3B.已知，且，则的最大值为C.已知，且，则的取值范围为D.已知，则的最小值为4【答案】AC【解析】对于A：令，则，原式化为，所以，当且仅当且，即时取等号，所以最小值为3，故A正确；对于B：由，对平方，得，由基本不等式，得（当且仅当时取等号），因此，即，故B错误；对于C：由，可得，因为，得，令，则不等式化为，因式分解得，因，故，从而（当且仅当时取等号），因此的取值范围为，故C正确；对于D：已知，则，又，所以，则，即，解得（舍去负值），当且仅当时取等号，此时，解得，所以最小值不是4，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．【答案】【解析】因为.故答案为：.13.已知函数的图象关于直线对称，的解集是，则___________．【答案】3【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，易知是方程的一个根，则有，解得,所以，由，得，即，解得，所以.故答案为：3.14.定义，其中表示中较大的数．设，，函数．若，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以，当时，解得．当时，即，解得或．所以当时，．当时，，可得当时，，可得．当时，，可得．可得，因为在上单调递增，在上单调递增，且函数在处连续，因此在上单调递增，要使，则，解得，所以实数的取值范围是，故答案为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设全集，集合，集合．（1）当时，求；（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：（1）当时，；.（2）若p是q的充分不必要条件，则是的真子集；∴，解得：，当时，，当时，，是的真子集都成立，所以实数的取值范围是：．16.已知函数，且．（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；（3）求在上的最大值和最小值．解：（1），，；（2）在上单调递减，理由如下：证明：，且，，，，即，故在上单调递减．（3）由（2）可得在上单调递减．．17.2025年9~12月期间，湘超联赛正在如火如荼地举办．湘超赛事联动了各地文旅局、商务部门，通过打造多元消费场景，也带动了各地的消费．比赛期间，长沙一公司决定出售一种相关文创物品，前期已固定投入100万元．该公司计划每件产品售价60元，且生产的万件产品全部都能销售完．另外，每生产1万件产品，还需要投入的流动成本为万元．若产品数量不超过40万件时，；若产品数量超过40万件时，．（1）写出利润（万元）关于生产产品数量（万件）的函数解析式；（2）销售多少万件时利润最大？此时利润是多少？解：（1）当时，，当时，，；（2）当时，，即时有最大值525万元；当时，，当且仅当，即时取等号，所以销售50万件时利润最大，最大利润为590万元．18.已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若命题“存在，成立”为假命题，求实数的取值范围；（3）已知．若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．解：（1）因为函数，所以，即为，所以，当时，解得或，当时，解得，当时，解得或；综上：①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为或．（2）因为命题“存在成立”为假命题，所以对任意的为真命题，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，①当时，恒成立，②当时，恒成立，所以的最小值，令，令，所以，由对勾函数性质知，在时单调递减，所以当时，，所以．（3）因为，易知函数在上单调递增，所以，对任意，总存在，使得成立，即，因为的对称轴为，开口向上，①当时，即时，，得，得；②当时，即时，，得，解得，又因为，所以；综上的取值范围为．19.设函数，为上的增函数．如果存在区间，使得当，都有时，是上的增函数，则称是函数的“积增区间”，函数为的“积增函数”．已知函数是函数与（为常数，）的“积增函数”．（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）设，解方程；（3）令，其中．若对，，求实数的取值范围．解：（1）为偶函数，理由如下：因为的定义域为关于原点对称，所以，所以是偶函