湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期11月期中考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为复数，所以.故选：C.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，即，，又，所以.故选：B.3.已知向量与的方向相同，则（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】因向量与的方向相同，则，则或.若，，，满足题意；若，，，不满足题意.故选：D.4.已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（）A. B.688 C. D.888【答案】B【解析】如图，正四棱台，取上下底面正方形的中心，再取分别为的中点，过作，则由题意可得，，则，则在中，，则该四棱台积为.故选：B.5.已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，则

，但

，故

；若，则，解得：，但，与假设矛盾，故不成立；若，则利用奇函数性质：，由于，有，故，因此：，解得：.综上：.故选：A.6.设是两个相互独立的随机事件，已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由是两个相互独立，得，而，则，所以.故选：D.7.已知函数的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】由题意有：令，所以，当时，所以，所以，所以，因为，所以成等差数列，满足题意，当时，所以，即，所以，所以，所以，当时，作出与的图像，由图可知，，若成等差数列，则公差为，分别为,符合题意，此时,综上所述，的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的有3个，故选：C.8.设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示：设,则,在中，，由余弦定理得，化简得，即.又，即，即，化简得，又所以故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由已知，则，，，则，即，A选项：由，可知，A选项错误；B选项：由函数在上单调递增，所以，B选项正确；C选项：由，，所以，C选项正确；D选项：，则，，则，D选项错误；故选：BC.10.在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若是等腰三角形，则边上的高为【答案】ABC【解析】选项A，由余弦定理：，结合题干条件，可得：，因此，故A正确.选项B，由正弦定理：.已知，代入得：，故B正确.选项C，由正弦定理：，已知，即，结合，则，故C正确.选项D，若是等腰三角形：由，知A为钝角，故等腰三角形中A必为顶角，即，则，此时三角形存在，上的高h满足：，故D错误.故选：ABC.11.记数列的前项和为，前项积为，已知，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.存在大于1的正整数，使得C.对任意D.当时，【答案】ACD【解析】对于A：当时，，得，解得；当时，，得，得，故A正确；对于B：由可得.若存在，则有，显然不成立，故，因此可化成.，同理可证得均大于1，故且单调递增，单调递减，故单调递减，故B错误；对于C：猜想对，.当时，，成立.假设当时，命题成立，即.当时，，所以当时，命题成立.综上，对任意，故C正确；对于D：因为，且由选项B可知，故，当且仅当时等号成立.又由选项B可知，恒成立，因此易知当时，.由，得，因此，当时，，则，得，故，即，则当时，.由选项C可知，，故证即证.因为当时，，故可得，累乘后得：当时，，得证，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________.【答案】1【解析】由求导得，则，依题意，，解得.故答案为：1.13.已知是抛物线上三点，直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为，则点的横坐标为__________.【答案】【解析】设，则，，因为直线与的斜率互为相反数，所以，即，得，因为直线的斜率为，所以，即，所以，即点的横坐标为.故答案为：14.已知，则的最大值为__________.【答案】【解析】设，则，由，可得，设，则有，其中所以，

所以，即，整理得，解得，又因为，所以，所以的最大值为，即的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知为数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的表达式及最大值.解：（1）在数列中，，则，两式相减得，而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以的通项公式是.（2）由（1）得，所以，，当时，；当时，，即，所以当时，取得最大值.16.将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为.（1）设事件“”为，求；（2）设为的中位数，求的分布列和数学期望.解：（1）根据插板法，将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，那么基本事件总数，满足，且，的有共3种，根据古典概型概率公式.（2）设为的中位数，的可能取值为，当时，有共3种，所以，当时，有共9种，所以，当时，有共13种，所以，当时，有共3种，,的分布列:1234的数学期望为.17.A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值.（1）证明：由且为中点，得，又三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：取中点，故平面，又由（1）知，所以两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为，由题意得，所以三棱柱的体积，所以，又为钝角，所以，所以，即，则，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，则，即，设平面的法向量为，则，取，则，即，设二面角的平面角为，，所以，所以二面角的正弦值.18.已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且.（1）求的方程.（2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为.（i）求点的坐标（用表示）；（ii）证明：为定值.（1）解：由题意得，，，，得，则的方程为；（2）（i）解：，直线，联立，得，得或，则，代入中得，，故；（ii）证明：因，则由（i）可得，，则直线的方程为，则，因，则直线，联立，得，即，则，则.19.已知函数.（1）讨论的单调性.（2）若无零点，但有两个不同的极值点，（i）求的取值范围；（ii）设为的两个极值点，求的取值范围.解：（1）由题意得，令，则，判别式，①当时，解得，则恒成立，即恒成立，在上单调递增；②当时，解得，则方程有个实根，由求根公式可知方程的解为，由二次函数的性质可知在区间和上单调递增，在区间上单调递