云南省沾益县一中2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

云南省沾益县一中2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.42．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B.C. D.3．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.4．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.5．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）A.2 B.4C.8 D.96．已知函数，若对任意的，，且，总有，则的取值范围是（）A B.C. D.7．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（）A.5 B.10C.12 D.159．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）A.2 B.C.4 D.10．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.311．函数在上的极大值点为（）A. B.C. D.12．已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为()A.2 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在处切线的斜率为_____14．在的展开式中项的系数为______．（结果用数值表示）15．若圆的一条直径的端点是、，则此圆的方程是_______16．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.（1）求证：平面PAD；（2）求直线AB与平面PCE所成角的正弦值；18．（12分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题（1）甲至少抽到1道填空题（2）甲答对的题数比乙多的概率.19．（12分）为了符合国家制定的工业废气排放标准，某工厂在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，对其排放的废气中的二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该工厂每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为200元（1）该工厂每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该工厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家每月至少应补贴多少元才能使工厂不亏损？20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面21．（12分）已知抛物线C：，直线l经过点，且与抛物线C交于M，N两点，其中.（1）若，且，求点M的坐标；（2）是否存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，若存在，请求出正数m，若不存在，请说明理由.22．（10分）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为（1）求向量在基底下的坐标；（2）求向量在基底下的模

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B2、D【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为：，，抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：D.3、D【解析】利用分布计数原理求出所有的基本事件个数，在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率个数求出.解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D考点：古典概型点评:本题考查先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题4、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为，又因为，，所以.故选：C5、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.6、B【解析】根据函数单调性定义、二次函数性质及对称轴方程，即可求解参数取值范围.【详解】依题意可得，在上为减函数，则，即的取值范围是故选：B【点睛】本题考查函数单调性定义，二次函数性质，属于基础题.7、A【解析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案【详解】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，，，则，即，令，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：8、B【解析】根据分层抽样的方法，列出方程，即可求解.【详解】根据分层抽样的方法，可得选《西游记》的学生抽取的人数为故选：B.9、D【解析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，其原图形是，，，，则，故选：D.10、C【解析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，化简得，所以.故选：C.11、C【解析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点【详解】，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴函数在的极大值点为故选：C12、B【解析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率.【详解】∵直线的斜率为2，为直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为1，故答案为：114、【解析】先求解出该二项式展开式的通项，然后求解出满足题意的项数值，带入通项即可求解出展开式的系数.【详解】展开式通项为，由题意，令，解得，，所以项的系数为.故答案为：.15、【解析】先设圆上任意一点的坐标，然后利用直径对应的圆周角为直角，再利用向量垂直建立方程即可【详解】设圆上任意一点的坐标为可得：，则有：，即解得：故答案为：16、【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，可得，，又，，可得，得，即，可得，则，当且仅当，上式取得等号，可得的最小值为故答案为：【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见详解（2）【解析】（1）将线面平行转化为面面平行，由已知易证；（2）延长相交与点F，利用等体积法求点A到平面PCE，然后由可得.【小问1详解】四边形ABCD为正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小问2详解】延长相交与点F，因为，所以分别为的中点.记点到平面PCF为d，直线AB与平面PCE所成角为，则.易知，，，，因为平面ABCD，所以，所以因为，所以由得：即，得所以22.18、（1）；（2）.【解析】（1）把3道选择题（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，分别求出它们的概率，甲答对的题数比乙多这个事件是，然后由相互独立的事件和互斥事件的概率公式计算【详解】解：（1）记3道选择题则试验的样本空间，.共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.记事件A=“甲至少抽到1道填空题，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空题（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，根据独立性假定，得，.，.记事件B=“甲答对的题数比乙多”，则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，所以..因此，甲答对的题数比乙多的概率为.19、（1）600吨（2）该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损【解析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为z，，利用基本不等式求最值可得答案；（2）设该工厂每月的利润为，利用配方求最值可得答案.【小问1详解】设该工厂每吨平均处理成本为z，，∴，当且仅当，即时取等号，当时，每吨平均处理成本最低.【小问2详解】设该工厂每月的利润为，则，∴，当时，，所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损.20、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）证明和得到平面.（Ⅱ）根据相似得到证明平面.【详解】（Ⅰ）如图，连接.∵底面为菱形，且，∴三角形正三角形.∵为的中点，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）连接交于点，连接.∵为的中点，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.21、（1）或（2）存在，【解析】（1）确定点为抛物线的焦点，则根据抛物线的焦半径公式，结合抛物线方程，求得答案;（2）假设存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，可推得，由此可设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，代入到中，可得结论.