上海二中2026届高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

上海二中2026届高二数学第一学期期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．第届全运会于年月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元，设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时值为（）A. B.C. D.2．有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（）A. B.C. D.3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A B.5C. D.74．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.5．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.7．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.8．向量，向量，若，则实数（）A. B.1C. D.9．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（）A.8 B.9C.10 D.1110．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A.1 B.2C.4 D.811．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.12．已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正项等比数列{an}中，若，与的等差中项为12，则等于_______.14．关于曲线，给出下列三个结论：①曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线上任意一点到原点的距离都不大于.其中，正确结论的序号是________.15．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.16．已知正方体的棱长为6，E为棱的中点，F为棱上的点，且，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点为椭圆C上一点（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值21．（12分）在锐角中，角的对边分别为，满足.（1）求;（2）若的面积为，求的值.22．（10分）已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意得到泳池维修费用的的解析式，再利用导数求出最值即可【详解】解：设泳池维修的总费用为元，则由题意得，则，令，解得，当时，；当时，，故当时，有最小值因此，当较短池壁为时，泳池的总维修费用最低故选A2、B【解析】先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.【详解】记表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A表示最后抽到有奖票.所以，，于是.故选：B.3、D【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【详解】因为关于的不等式的解集是，所以方程的根为，所以，得，所以，故选：D4、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B5、C【解析】求出圆心到直线距离，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，即的取值范围是：.故选：C6、D【解析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出，可得，原不等式转化为恒成立求解即可.【详解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，对于任意不等式恒成立，则，解得.故选：D7、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B8、C【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量，向量，若，则，解得：，故选：C.9、B【解析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.【详解】由，可得，，，，所以，，所以前项和，所以，故选：B.10、C【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.11、D【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D12、C【解析】根据充要条件的定义进行判断【详解】解：因为函数为增函数，由，所以，故“”是“”的充分条件，由，所以，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、128【解析】先根据条件利用等比数列的通项公式列方程组求出首项和公差，进而可得.【详解】设正项等比数列{an}的公比为，由已知，得，①，又，②，由①②得，故答案为：128.14、①③【解析】设为曲线上任意一点，判断、、是否满足曲线方程即可判断①；求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用即可得，即可判断③；即可得解.【详解】设为曲线上任意一点，则，设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、，因为；；；所以点在曲线上，点、点不在曲线上，所以曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称，故①正确；当时，；当，.此外，当时，；当时，.故曲线过整点，，，，，，故②错误；又，所以恒成立，由可得，当且仅当时等号成立，所以，所以曲线上任一点到原点的距离，故③正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.15、3【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由题可得，则，当且仅当时等号成立.故答案为：16、18【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，故答案为：18三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）由已知计算可得即可得出方程.（2）由已知可得联立方程，结合韦达定理计算即可得出结果.【小问1详解】依题得解得：椭圆的方程为.【小问2详解】由已知动直线与椭圆相交于、，设联立得：解得：，即：或（*）坐标原点总在以为直径的圆外则：,即将（*）代入此式，解得：，即或或18、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)由可得,再结合和线面垂直的判定定理可得平面,则,再由可得平面.(2)以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量求解即可【详解】（1）证明：∵为矩形，且，∴.又∵，.∴，.又∵，，∴平面.∵平面，∴又∵，，∴平面.（2）解：以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，∴，，设平面法向量则，即∴，∴∴直线与所成角的正弦值为.19、（1）（2）平均数为；中位数为.【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.【小问1详解】该居民收入在区间内的概率为：【小问2详解】居民月收入的平均数为：.第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，设居民月收入的中位数为，则，解得.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据角平分线的性质，结合一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行求解即可.【小问1详解】椭圆的离心率，又，∴∵椭圆C：经过点，解得，∴椭圆C的方程为；【小问2详解】∵∠MPN的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为设点，由消去y，得∵点在椭圆C上，则有，即同理可得∴，又∴直线MN的斜率为【点睛】关键点睛：由∠MPN的角平分线总垂直于y轴，得到MP与NP所在直线关于直线对称是解题的关键.21、（1）；（2）.【解析】（1）由条件可得，即，从而可得答案.(2)由条件结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【详解】（1）因为，所以，所以所以，因为所以，因为，所以（2）由面积公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.22、（1）；（2）【解析】（1）根据