山西省2026届高三第一次八省联考数学（T8联考）（含答案）

高三年级12月检测训练

数学试题参考答案及多维细目表

(,时)

题号123456+2nn-1)∴当n≥2,n(Sn－Sn-1＝Sn+

2n(n-1)．

答案BCDBAA

题号7891011

答案DBABACDACD

是首项为-5,公差为2的等

【答案】B

1.差数列．

【解析】∵A＝{x|x≤-1,或x≥3},B＝{x|x≥

∴

e},∴A∪B＝{x|x≤-1,或x≥e}．

2,的最小值为,

2.【答案】C7)=2n-7n∴SnS2=-6∴λ≤

-6.

【解析】方法一z=3i-1,∴z

方法二:当n≥2时,nan＝Sn+2n(n-1)①,(n

-1)an-1=Sn-1+2(n-1)(n-2)②.

(３．(2-i)

i＋i,∴|z|=2,∴z.z=

5①-②得(n-1)an－(n-1)an-1=4(n-1),n

,,

|z|≥2∴an－an-1=4

方法二:∵(2+i)z=-1+3i,∴5|z|=10,∴数列{an}是首项为-5,公差为4的等差数列．

∴an=-5+4(n-1)=4n-9,令an＞0得n≥

∴|z|=2,∴z.z＝|z|2=2.

3,∴Sn的最小值为S2=-6,∴λ≤-6.

3.【答案】D

6.【答案】A

【解析ab≥2,【解析】由题得筒车半径为2m,转动一圈需要40

s,且轴心O距水面高度为3m,

∴+log2ab≥log22=1,∴最小值为

1,此时a＝b=2.

4.【答案】B

→

【解析】如图,延长AG交BC于点D,则BG=又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时,∴d(0)

→→→→

BDAG,∵BG=λBC+μ

→→→

.AG,且BC,AG不共线,∴λ,μ=,∴λ7.【答案】D

【解析】如图,设点M在第一象限,过点F2作

-μ=1.

AF2G⊥MF1于点G,设N为圆O的切点,连接

ON,∴F1N＝NG＝m,F2G=2ON=2.

YA

GGM

BDCN

5.【答案】A

FF2

【解析】方法一:由an+2(n-1)得nan＝Sn

数学试题参考答案第1页共7页

∴当y＝g(x)在区间(0,+∞)上恰有2个零点

在Rt△MGF2中,MG,MF2,由双

时,需满足g(x0)<0,0<x0<k．

x0

∴g(x0)＝e(2x0-1)＋k(－x0+1)=

曲线定义得|MF1|－|MF2|=2,∴2m+

x0x0

e(2x0-1)＋e(2x0+1)(－x0+1)=

2∴1+

,m=.x0

x0e(-2x0+3)<0,∴x0>.

8.【答案】B易知h(x)＝ex(2x+1)在区间(0,+∞)上单调

【解析】∵g(x)＝f(x)＋f(－x),∴g(－x)=递增,

∴kx0+1>4

f(－x)＋f(x)＝g(x)．又g(x)定义域为{x|x＝e(2x0e．

≠0}关于原点对称,∴g(x)为偶函数．要使y=综上所述,k∈(4e2,+∞)．

g(x)恰有4个零点,则需使y＝g(x)在区间(0,9.【答案】AB

)上恰有个零点

+∞2．【解析】极差为最大值与最小值的差,∴极差相

x

当x＞0时,g(x)＝e(2x-1)＋k(－x+1)=同,∴选项A正确;

ex(2x-1)－k(x-1)．

原数据的平均数x,新数据

方法一:令ex(2x-1)＝k(x-1),显然x=1不

的平均数y

是方程的根记h=

+2∴平均数不同∴选

ex1)x=x,,

,问题转化为h(x)＝k在区间(0,

项B正确;

+∞)上有2个解．

２22

又h′原数据的方差s１[(x1-x)+(x2-x)+…+

2２2

∴x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;(xn－x)],新数据的方差s２[(x1+x-2x)+

)

ç÷22２

x∈1,时,h′(x)<0,h(x)单调递减;(x2+x-2x)+…+(xn＋x-2x)]＝s１,∴方

,

差相同,∴选项C错误;

ç(3)

x∈,+∞÷时,h′(x)＞0,h(x)单调递增,

中位数显然不同,∴选项D错误．

è2,

且h(0)=1.当x从1的左侧无限趋近于1时,10.【答案】ACD

)趋近于;)

h(x-∞当x从1的右侧无限趋近于1【解析】∵g(x)＋gç÷=xlnx+

,

时,h(x)趋近于+∞;当x趋近于+∞时,h(x)

,;

)x－ln0∴选项A正确

趋近于+∞又hç÷4e,∴k∈(4e,+∞)

.,=．

方法二:g′(x)＝ex(2x+1)－k,易知g′(x)在

区间(0,+∞)上单调递增,∴要使y＝g(x)在在区间(0,+∞)上单调递增．又g(1)=0,

区间(0,+∞)上恰有2个零点,则需满足g′(x)∴g(x)＞0解集为(1,+∞),∴选项B错误;

,)上有零点,记为,π3πç(16)ç(11)

在区间(0+∞x0且g′(0)=∵sin>sin>0,且g÷>g÷>0,

x0311è3,è3,

1-k<0,∴k＞1,且g′(x0)＝e(2x0+1)-

))

k=0.∴sin.gç÷>sin.gç÷,∴-sin.

,,

当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当

)πç())

,(gç÷<-sin.g÷,由hç÷=sinπ.

x∈(x0+∞)时,g′x)＞0,g(x)单调递增．,１è,,

∵g(0)＝k-1>0,g(k)＝ek(2k-1)＋k(－k+

)ç())

gç÷=-sin.g÷,hç÷=sin.

1)＞k(2k-1)＋k(－k+1)＝k2>k-1,,è,,

数学试题参考答案第2页共7页

))))6.!

gç÷=-sin.gç÷,∴hç÷<hç÷,,∴(n-5)!＝(n-6)!,∴n=6.

,,,,6!(n6)!

∴选项C正确;2

13.【答案】

2

h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)=πcosπx.

2【解析】设M(),N(),由抛物线定

x１-xx1,y1x2,y2

ç)÷

xx+x.２,∴x∈

ln,sinπpp

义得|FM|＝x1+,|FN|＝x2+.

(1)(3)２２

ç,1÷时,h(x)＞0;x∈ç1,÷时,h(x)<0

′′p

．())

è2,è2,x1+÷ç÷

||FM|－|FN||çè-x2+

又h′(1)=0,∴1为h(x)极大值点,∴选项D∴2,,

|MN|=2

正确．1+k|x1-x2|

11.【答案】ACD|x1-x2|

=2.

2=2

1+k|x1-x2|

【解析】记正方形ABCD和正方形A1B1C1D1

14.【答案】-3

的中心分别为O和O1,则点P在线段OO1(不

含端点O)上,易知0<h≤1,∴选项A正确;【解析】令x＝sinα,y＝cosβ,则(x-1-y2).

22

在Rt△POC中,h＝PO＝PC-OC(y-1-x2)=0,∴x=1-y2,或y=

３２１22222

=-=,∴选项B错误;、1-x,∴x+y=1(x≥0),或x+y=1

４４２

(y≥0)．

如图,记四棱锥P-ABCD的外接球球心为G,∴点(sinα,cosβ)在圆x2+y2=1位于第一、

则点G则在OP上,连接CG．在Rt△OGC中,二、四象限(包括坐标轴)的部分上．

∵点(sinα,cosβ)到直线x＋y-2=0距离为

OG=1-R,OC,GC＝R,则R2=(1-R)2+

|sinα+cosβ-2|

)2=d,

2、2

ç÷,∴R,∴S球=4πR=4π×π,

,

又sinα+cosβ-2≤0,∴sinα+cosβ-2=

∴选项C正确;

P-2d．

下求d的最大值．如图,d的最大值为点(-1,

0)到直线的距离,

Gx＋y-2=0∴dmax=

DC|-1+0-2|

,

O2

B

∴(sinα+cosβ-2)min=-2×-3.

该正方体恰好放入与四棱锥P-ABCD体积相

yA

同的6个四棱锥,∴公共部分的体积为正方体

内切球体积的,∴公共部分的体积为×π

)3

×ç÷,∴选项D正确．O12x

,x+y-2=0

12.【答案】6

5

2

５n-5)15.解:(1)在△ABC中,cos,∴(1+

【解析】∵T6=Cnxç÷,∴第6项系数为

,

6)

５5６n-6)cosA)ç+1÷,∴cosA．………2分

Cn.2,又T7=Cnxç÷,∴第7项系数为

,,

６6

Cn.2.方法一:在△ABC中,由正弦定理得cosA=

56

由题可知Cn５.2=3Cn６.2,∴=,∴sinB＝cosAsinC．

数学试题参考答案第3页共7页

∵A＋B＋C=π,∴sinB＝sin(A＋C)．=256,每个样本点出现的可能性相等,且为有

∴sinAcosC＋cosAsinC＝cosAsinC,限个,………9分

∴sinAcosC=0.∵sinA≠0,∴cosC=0,记质点经过4次移动后回到点A为事件B,要

4次回到起点A,则向左向右移动次数相等,向

∴C．…………………6分

上向下移动次数相等,∴事件B包含的样本点

b2+c２－a2

方法二:∵cosA,∴,

2bc个数为m＝A或m

４２

=A４+2C４=36)…………13分

∴a2+b2=c2,∴C．…6分

由古典概型计算公式得P(B)．∴质

(2)方法一:如图,过点D作DH垂直于AC于

点H．由题可得点移动四次后回到点A的概率为．…15分

17.(1)证明:如图,连接A1B,A1C．

设AH＝x,HC=2x,tanA,tan∠ACD

C1

,∴2.………………13分

A1

B1

A

HD

D

C

BO

C

AB

方法二:在△ACD中,由正弦定理得

∵AB＝AC,∠A1AB=∠A1AC,A1A＝A1A,

,

①,……………8分∴△A1AB≌△A1AC∴A1B＝A1C．

∵O为BC中点,∴BC⊥A1O．又AC＝AB,

∴BC⊥AO．………………4分

在△BCD中,由正弦定理得=

又AO∩A1O＝O,AO⊂平面A1AO,A1O⊂平

面A1AO,∴BC⊥平面A1AO．…………5分

,∴②,

…∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AO⊥平面

BCC1B1.…………………6分

……10分(2)解:∵A1O⊥平面ABC,∴∠A1AO为A1A

ABC所成的角,∠A1AO=60°.由题

②÷①,得2.………………13分与平面即

可知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原

16.解:(1)由题可知X的可能取值为-2,0,2,→→→

点,OA,OB,OA1分别为x轴、y轴、z轴正方

∴P(X=-2)＝(1-p)2,P(X=0)=2p(1-p),

向,建立如图所示的空间直角坐标系．

P(X=2)＝p2.……………3分

C1

z

X的分布列如下．A

A1

X-202B1

2

P(1-p)22p(1-p)p

22D

∴E(X)=-2.(1-p)+2p=4p-2>0,C

O

∴<p<1.(不列分布列不扣分)………7分

xAB

(2)移动四次,样本空间的样本点总数为n=44y

数学试题参考答案第4页共7页

设,,,),,,８

AC＝AB=4∴A1(0026A(2204-

=y2+4+y1=９=710.

220

→(y1+y2)-4y1y2６４６４

0),B(0,22,0),C(0,-22,0)．∵AC=+

８１９

A1,∴C1(-22,-22,26),B1(-22,

…………9分

22,26),………………10分

②假设存在直线l,设直线l方程为x＝my+

(,,),→(,,

∴D-2226∴AD＝-32222,A(x1,y1),B(x2,y2)．

6),A＝(-42,-22,26)．

ìï1,

设平面的一个法向量为(,),22

AC1Dn＝xy,z联立í消去x,得(m+2)y+4my-

ïl2

.n=0,,

∴

4=0,Δ>0恒成立,

{AC1.n=0,

∴y1+y2=,y1y2=

３２x２２y6z,2m

令y=3,

∴{４２x２２y2６0,3m1)

22

2)(y12)12

-y=+y-4yy=２2．

)

∴n＝(33,3,7)．………13分

如图,延长QA交x轴于点S,若Q,R,F2,A

∵A1O⊥平面ABC,∴取平面ABC的法向量

四点共圆,则∠AF2S=∠AQR．………11分

m＝(0,0,1),记平面AC1D与平面ABC的夹

Ay

Q

角为α,则cosα=|cos‹m,n›|

A

21

F1ORF2Sx

∴平面AC1D与平面ABC夹角的余弦值为

779EB

.……15分

79

P

18.解:(1)∵椭圆C的左、右焦点分别为F1(-2,

0),F2(2,0),且过(2,3),∵tan∠AF2S,∴tan∠AQR．

22

∵(2-2)+3+(2+2)+3=42,又∠AQR=∠1-∠2,∴tan∠AQR＝tan(∠1-

,222,ntanQAkQB

∴2a=42∴a=22.∴b=a-c=4∠2)=．=．．(此

1tata21kkQB

x2y2

∴椭圆C的方程为+=1.…………4分步骤不推理不扣分)

８４

１

(2)①直线l方程为x=y+2,设A(x1,y1),

２由kQAkQB得tan∠AQR

B(x2,y2)．

x2y2

ìï+

,

ï84=1

联立í消去x,得9y2+8y-16=0,

xy+2,

∴y1+y2=,y1y2=.…………6分

由题得=∴∴222+2=2+

|,,mm

数学试题参考答案第5页共7页

2∴cosx1∈(0,1),cosx∈(-1,0),n≥2,n∈

m.……15分n

由点P在点E下方得m<1,

∈N∗.

记fm

=1-n,n∈N

<1,

0,n=1,)

=÷…………10分

{1-n,n≥2,且n∈N∗,

②设φ(x)＝x＋g(x),x＞0,φ′(x)=1+

>0.又f

恒成立,∴当x＞0

∴存在直线l,条数为1条．……………17分

时,φ(x)单调递增．……11分

∗

19.解:(1)当x=4时,∵φ(4)=8,由①知x2t<4,x2t+1>4,t∈N,

),

………………2分且x1>4,φ(x1＝x1+x2>8

∴φ(x2t+1)＞φ(4)=8,φ(x2t)<φ(4)=8,t∈

当x=5时,…4分

N∗.………12分

(2)①由条件g可知,当当n=1时,[x1]=5;

当n=2t(t∈N∗)时,由φ(x)＝x＋g(x)得

x＞0时,g(x)连续且单调递减…………5分

φ(xn)＝xn＋g(xn)＝xn＋xn+1,

∵x1=5,∴x2=g(x1)＝g(5)．∵g(4)=4,

∴x1+x2+x3+…+xn＝(x1+x2)＋(x3+

∴g(5)＜g(4)=4.又g(5)＞3.9,∴3.9<g(5)

x4)+…+(x2t-1+x2t)=φ(x1)+φ(x3)+…

<4,即3.9<x2<4.

+φ(x2t-1)＞8t=4n,

x1+x2+x3+…+xn＝x1+(x2+x3)＋(x4

∵x3=g(x2),3.9<x2<4,∴g(3.9)＞g(x2)

)+…+()＋)

>g(4)．又g(4)=4,g(3.9)<4.1,∴4<x3<+x5x2t-2+x2t-1x2t＝x1+φ(x2

4.1.

+φ(x4)+…+φ(x2t-2)＋x2t<5+8(t-1)+

4=8t+1=4n+1,

∵x4=g(x3),4<x3<4.1,∴g(4)＞g(x3)＞

g(4.1)．又g(4)=4,g(4.1)＞3.9,∴3.9<x4

;…………

<4.=4n14分

,∗),

同理,可得4<x5<4.1,∴依此规律,归纳可得同理当n=2t+1(t∈N时

∗x1+x2+x3+…+xn＝(x1+x2)＋(x3+x4)

x2t∈(3.9,4),x2t+1∈(4,4.1),t∈N.

下面用数学归纳法证明此归纳结论:+…+(x2t-1+x2t)＋x2t+1=φ(x1)+φ(x3)+

…+φ(x2t-1)＋x2t+1>8t+4=4n,

当t=1时,x2∈(3.9,4),x3∈(4,4.1)．

∗x1+x2+x3+…+xn＝x1+(x2+x3)＋(x4

假设当t＝k(k∈N)时,x2k∈(3.9,4),x2k+1∈

(4,4.1)．+x5)+…+(x2t-2+x2t-1)＋(x2t＋