2024年中考数学真题分类汇编-二次函数的图像与性质（含答案）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）专题12二次函数的图像与性质等一、选择题1.（2024陕西省）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A.图象的开口向上 B.当时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线2.（2024四川凉山）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.3.（2024湖北省）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（）A. B. C. D.4.（2024福建省）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（）A.可以找到一个实数，使得 B.无论实数取什么值，都有C.可以找到一个实数，使得 D.无论实数取什么值，都有5.（2024四川眉山）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.46.（2024贵州省）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（）A.二次函数图象的对称轴是直线B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C.当时，y随x的增大而减小D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是37.（2024内蒙古赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A. B. C. D.8.（2024四川遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①；②；③；④若方程两根为，则．A.1 B.2 C.3 D.49.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.10.（2024黑龙江绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11.抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、填空题1.（2024四川成都市）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．2.（2024四川内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）；3.（2024江苏苏州）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．4.（2024武汉市）抛物线（a，b，c常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是__________（填写序号）．5.（2024山东烟台）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．三、解答题1.（2024北京市）在平面直角坐标系中，已知抛物线.（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.2.（2024福建省）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．（1）求二次函数的表达式；（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．3.（2024江苏扬州）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．（1）求的值；（2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．4.（2024云南省）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．（1）求值；（2）比较与的大小．5.（2024陕西省）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索上，，且，，求的长．6.（2024上海市）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．（1）求平移后新抛物线表达式；（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）专题12二次函数的图像与性质等一、选择题1.（2024陕西省）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A.图象的开口向上 B.当时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线【答案】D【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，y值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．2.（2024四川凉山）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．3.（2024湖北省）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．【详解】根据题意画出函数的图像，如图所示：∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，∴，，∵抛物线与轴有两个交点，∴，∵抛物线的顶点为，∴，观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．4.（2024福建省）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（）A.可以找到一个实数，使得 B.无论实数取什么值，都有C.可以找到一个实数，使得 D.无论实数取什么值，都有【答案】C【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，，的大小情况，即可解题．【详解】二次函数解析式为，二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，当时，，当时，，，当时，，，故A、B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知，，当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，故C正确符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．5.（2024四川眉山）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4【答案】C【解析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.【详解】解：①函数图象开口方向向上，；对称轴在轴右侧，、异号，，∵抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①错误；②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，，，时，，，，，故②正确；③对称轴为直线，，最小值，，∴，故③正确；④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，，，，，，，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C6.（2024贵州省）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（）A.二次函数图象的对称轴是直线B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C.当时，y随x的增大而减小D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为，把代入，得，解得，∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．7.（2024内蒙古赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．【详解】如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，四边形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．点、的横坐标分别为、，，．，，，设，则，，，，，．又，，，．．．．点、在轴的同侧，且点在点的右侧，．．故选：B．8.（2024四川遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①；②；③；④若方程两根为，则．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．【详解】由图可知，∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，，则，∵抛物线与轴的交点在，之间，∴，则，故①错误；设抛物线与轴另一个交点，∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，∴，解得，则，故②错误；∵，，，∴，解得，故③正确；根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，方程两根为满足，故④正确；故选：B．9.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．【详解】由图可得：，对称轴，，，①错误；由图得，图象经过点，将代入可得，，②正确；该函数图象与轴的另一个交点为，且，对称轴，该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，③正确；，，关于一元二次方程的根为，，，，④正确；，即，解得，即，，，⑤正确．综上，②③④⑤正确，共个．故选：．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．10.（2024黑龙江绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．【详解】∵二次函数图象开口向下∴∵对称轴为直线，∴∴∵抛物线与轴交于正半轴，则∴，故①错误，∵抛物线开口向下，对称轴为直线,∴当时，取得最大值，最大值为∴（m为任意实数）即，故②正确；∵时，即∵∴即∴，故③正确；∵、是抛物线上不同的两个点，∴关于对称，∴即故④不正确正确的有②③故选：B11.抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为依题意，∵，抛物线开口向下，∴当时，，即∴，故A选项正确，符合题意；若对称轴为，即，而，不能得出对称轴为直线，故B选项不正确，不符合题意；∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程有两个不等实数解，即，又∴，故C选项错误，不符合题意；无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意；故选：A．二、填空题1.（2024四川成都市）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，∵，，∴，∴；∵，，，，∴，∵存在，∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，∴，即，且，∵，，∴且，解得，故答案为：；．2.（2024四川内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）；【答案】【解析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】，∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，∴抛物线的解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故答案为：．3.（2024江苏苏州）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．【答案】##【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．【详解】把，，代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，∴，故答案为：．4.（2024武汉市）抛物线（a，b，c常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】②③④【解析】本题考查了二次函数性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴m−−1>1，即，两点之间距离大于又∵∴时，∴若，则ax−12③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上，，，总有，又，∴点离较远，∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．5.（2024山东烟台）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．【答案】【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正确；∵，，，∴，当时，，∴，∵，∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，又∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，∵与时函数值相等，等于，∴当时，的取值范围为，故错误；∵，∴点，关于对称轴对称，∴，故正确；由得，即，画函数和图象如下：由，解得，，∴，，由图形可得，当或时，，即，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：．三、解答题1.（2024北京市）在平面直角坐标系中，已知抛物线.（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．【小问1详解】解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；【小问2详解】解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；当时，如图，此时，∴，又∵，∴；当时，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．2.（2024福建省）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．（1）求二次函数的表达式；（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.（1）根据待定系数法求解即可；（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．【小问1详解】解：将代入，得，解得，所以，二次函数的表达式为．【小问2详解】设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以点坐标为．3.（2024江苏扬州）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．（1）求的值；（2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．【小问1详解】解：二次函数的图像与轴交于，两点，∴，解得，，∴；【小问2详解】解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，∴，设，∴，∴，∴，∴当时，，无解，不符合题意，舍去；当时，，；∴．4.（2024云南省）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．（1）求值；（2）比较与的大小．【答案】（1）（2）当时，；当时，．【解析】【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；（2）当时，；当时，．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴；【小问2详解】解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，当时，∴；当时，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．5.（2024陕西省）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线