高三二轮复习试题数学专题过关检测4统计与概率

专题过关检测四统计与概率(分值:150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1.(2025上海普陀二模)某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛,他们在预赛中所得的积分互不相同,只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,则他只需要知道这19位同学的预赛积分的()A.平均数 B.众数C.中位数 D.方差2.(2025湖北黄冈模拟)已知随机变量X~N(5,σ2),且P(3<X<7)=m,P(4<X<6)=n,则P(3<X<6)的值为()A.m+n2 C.1-m2 3.(2025安徽黄山二模)为了解某市居民用水情况,通过简单随机抽样,获得了100户居民用户的月均用水量(单位:t),将该数据按照[1.2,4.2),[4.2,7.2),…,[25.2,28.2],分成9组,绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要对节约用水的用户予以表彰,制定了一个用水量标准x,使表彰的居民不超过15.4%,则以下比较适合作为标准x的为()A.3.2t B.5tC.5.04t D.15.7t4.(2025江苏南通二模)有3个男生和2个女生站成一排合影,则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为()A.18 B.36C.72 D.1445.(2025辽宁模拟)某校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查,其中被调查的男、女生人数相同,男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的56,女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的23,若根据小概率值α=0.1的独立性检验,可以认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关,则被调查的学生中男生的人数不可能为(附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.54 B.48 C.42 D.366.(2025湖北黄冈模拟)根据变量Y1和x的成对样本数据,由一元线性回归模型①Y1=b1x+a1+e1,E(e1)=0,D(e1)=σ12,得到经验回归模型y^(1)(2)A.模型①的误差满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设,不满足D(e1)=σ1B.模型①的误差不满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设,满足D(e1)=σ1C.模型②的误差满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设,不满足D(e2)=σ2D.模型②的误差不满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设,满足D(e2)=σ27.(2025江西鹰潭一模)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,随机变量ξ~N1,14,若a1a2=E(ξ)D(ξ),则a1+a2+a3+…+an的值为(A.81 B.242C.243 D.808.(2025江苏南京模拟)为备战乒乓球赛,某体校甲、乙两名主力进行训练,规则如下:两人每轮分别与老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为此轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=43,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为(A.28 B.24C.32 D.27二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2025江苏南通二模)每年4月23日为“世界读书日”,某学校为鼓励学生进行课外阅读,拓宽学生眼界,对热爱课外阅读的班级进行表彰,规定从班级中随机抽取5位同学,统计他们一学年内阅读课外书籍的本数,若抽取的5位同学在一学年内阅读课外书籍的本数都不低于10,则该班级被评选为“优阅班级”.以下是4个班级抽取的5位同学的统计数据:六(1)班:中位数为11,众数为10六(2)班:众数为12,极差为3六(3)班:平均数为12,极差为3六(4)班:平均数为12,方差为2根据以上信息,一定被评为“优阅班级”的是()A.六(1)班B.六(2)班C.六(3)班D.六(4)班10.(2025湖南常德一模)设样本空间Ω={5,6,7,8},且每个样本点是等可能的,已知事件A={5,6},B={5,7},C={5,8},则下列结论正确的是()A.事件A与B为互斥事件B.事件A,B,C两两独立C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D.P(A|C)=P(C|A)11.(2025浙江杭州二模)如图,多面体PABCQ由正四面体PABC和正四面体QABC拼接而成,一只蚂蚁从顶点P出发,沿着多面体的各条棱爬行,每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个,记n次爬行后,该蚂蚁落在点P的概率为pn,落在点Q的概率为qn,则()A.p2=1B.p3>q4C.pn=qnD.p2n+1<1三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.(2025湖南长沙模拟)从编号1~15的15张卡片中依次不放回地抽出两张,记事件A=“第一次抽到数字为5的倍数”,事件B=“第二次抽到的数字小于第一次”,则P(B|A)=.

13.(2025江西南昌二模)某次庆典后,墙壁上的装饰品需要取下来,如图,由于材料特性,每次能取一个,且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品,则不同的取法数有种.14.(2025江苏南通二模)某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛,每班一名选手代表班级参加,每一轮比赛前抽签决定对阵双方,负者淘汰,胜者进入下一轮,直至最后产生冠军,其中各场比赛结果相互独立.根据以往经验,高三(1)班选手甲和高三(2)班选手乙水平相当,且在所有选手中水平稍高,他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为23,除甲、乙外的其他6名选手水平相当,则高三(1)班的选手甲通过第一轮的概率为,第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为.四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2025湖南常德一模)某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数(单位:千人)如下:日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345参观人数y/千人2.22.63.15.26.9(1)建立y关于x的经验回归方程,预测第10天进入该景区参观的人数;(2)该景区只开放东门、西门供游客出入,游客从东门、西门进入该景区的概率分别为34,14,且出景区与进入景区选择相同的门的概率为15,出景区与进入景区选择不同的门的概率为4附参考数据:∑i=15xiyi=72,∑i=15x参考公式:经验回归方程y^=b^x+a16.(15分)(2025八省联考,15)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表:药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400(1)求s,t;(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值;(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效?附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82817.(15分)(2025浙江台州二模)某市为了推广垃圾分类,在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果,市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万,且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果为了解情况非常了解一般了解不了解人数/人580320100(1)从该市成年人口中随机抽取1人,求其对垃圾分类知识“不了解”的概率;(2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变.经过重点宣传后,从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,求X的分布列及数学期望.18.(17分)(2025陕西宝鸡二模)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质量指标值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果,发现芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ,σ2),现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据检测结果,样本中芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数x作为μ的近似值,用样本标准差s作为σ的估计值,可得到X服从正态分布N(μ,σ2),求a和μ的值;(2)从样本中质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η,求η的分布列和数学期望;(3)将指标值大于K的芯片称为A等品,通过对芯片长期检测发现,在生产线上任意抽取一件芯片,它为A等品的概率为0.16,用第(1)问结果试估计K的值.(附:①同一组中的数据用该组区间的中点代表;②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μσ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973.)19.(17分)(2025山东潍坊一模)n维空间中点的坐标可以表示为(x1,x2,x3,…,xn),其中xi(i=1,2,3,…,n)为该点的第i个坐标.定义n维空间中任意两点A(x1,x2,x3,…,xn),B(y1,y2,y3,…,yn)之间的平均离差二乘距离d(A,B)=1n∑i=1n(xiyi)2.设n维空间点集M={(x1,x2,x3,…,xn)|xi=0或1,其中i=1,2,3,…,n(1)若n=3,A,B∈M,且点A(0,1,0),d(A,B)=23,写出所有的点B的坐标(2)任取n维空间中的不同两点P,Q∈M.(ⅰ)若n=4,求d(P,Q)=12的概率(ⅱ)记随机变量X=d(P,Q),求E(X2)的取值范围.

答案：1.C解析因为19位同学的积分,中位数是第10名,所以知道中位数即可判断是否在前10.故选C.2.A解析因为随机变量X~N(5,σ2),P(3<X<7)=m,P(4<X<6)=n,所以P(3<X<6)=P(3<X≤5)+P(5<X<6)=12P(3<X<7)+12P(4<X<6)=m+n3.A解析由题意及0.077×3=0.231>0.154,则0.077×(x1.2)=0.154,可得x=3.2t.故选A.4.B解析设5个位置依次为1,2,3,4,5,特殊元素优先考虑,女生甲不在两端,则只能在中间3个位置,两女生不相邻,则①甲在位置2,另一个女生只能在4或5,有2种选择;②甲在位置3,另一个女生只能在1或5,有2种选择;③甲在位置4,另一个女生只能在1或2,有2种选择,根据分类加法计数原理,两个女生的排法共有2+2+2=6种,剩余3个男生为全排列有A33=6种排法,根据分步乘法计数原理,不同排法总数为6×6=36.故选5.D解析零假设为H0:是否喜欢冰雪运动与学生性别无关.设男生人数为6n(n∈N*),因为被调查的男、女生人数相同,所以女生人数也为6n(n∈N*),根据题意列出列联表:是否喜欢冰雪运动男生女生合计喜欢冰雪运动5n4n9n不喜欢冰雪运动n2n3n合计6n6n12n则χ2=12n(5n·2n-n·4n)26n·6n·9n·3n=432n5972n4=4n9,因为根据小概率值α=0.1,可以判断H0不成立,即认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关6.A解析对于残差图(1)对应的散点,随机误差满足E(e1)=0的假设,但是方差σ12随着x的变化而变化,不满足D(e1)=σ对图(2)对应的散点,均匀分布在水平带状区域内,随机误差满足E(e2)=0的假设,方差σ22不随x的变化而变化,满足D(e2)=σ22的假设7.B解析因为随机变量ξ~N1,14,则E(ξ)=1,D(ξ)=14,因为(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,则a1=Cn1·2=2n,a2=Cn2·22=2所以a1a2=令f(x)=(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以f(0)=a0=1,f(1)=(1+2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a1+a2+a3+a4+a5=351=242.故选B.8.D解析由题可得,甲、乙两人通过训练的概率为p=C21p1(1p1)p22+C21p2(1p2)p12+p12p22=3p12p22+83p1p2,当且仅当p1=p2=23时,取等号,则3p12p22+83p1p2=3p12p22-89p1p2+16又注意到甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数X满足二项分布,则E(X)=np=16,结合p≤1627,可得n≥16×2716=27,故D正确.故选9.ACD解析对于A,设六(1)班的这5位同学的阅读课外书籍的本数为x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照从小到大顺序),因为中位数为11,则x3=11,又众数为10,则x1=x2=10,所以该班级一定被评为“优阅班级”,故A正确;对于B,举反例,如六(2)班这5位同学的阅读课外书籍的本数为9,10,11,12,12,满足众数为12,极差为3,故B错误;对于C,设六(3)班的这5位同学的阅读课外书籍的本数为x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照从小到大顺序),由平均数x=12,极差为3,即x5x1=3,若x1≤9,则x53≤9,解得x5≤12,这与x=12矛盾,故x1≥10,故C正确;对于D,设六(4)班的这5位同学的阅读课外书籍的本数为x1,x2,x3,x4,x5(自左向右按照从小到大顺序),设平均数x=12,方差s2=2,则2=15[(x112)2+(x212)2+(x312)2+(x412)2+(x512)2所以(x112)2+(x212)2+(x312)2+(x412)2+(x512)2=10,若x1≤8,则(x112)2≥16>10,与上式不符,不符合题意,若x1=9,由x=12,则x5>12,上式不成立,不符合题意,所以x1≥10,故D正确.故选ACD.10.BD解析对于选项A,因为A∩B={5},所以事件A与B不互斥,故A错误;对于选项B,P(AC)=P(BC)=P(AB)=14,P(A)=P(B)=P(C)=12,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),故B对于选项C,A,B,C交集为{5},则P(ABC)=14,P(A)P(B)·P(C)=18,故C对于选项D,P(A|C)=P(AC)P(C)=12,P(C|A)11.ACD解析设记n次爬行后,该蚂蚁落在点A或B或C的概率为rn,则pn+1=14rn,rn+1=p计算易得p2=14,r2=12,q2=14,p3=18,r3=34,q3=18,q4=316由原方程组可得rn+2=12rn+1+12rn,则rn+2+12rn+1=rn+1+12rn,所以rn+1+12rn为常数列,且rn+1+12rn同理rn+2rn+1=12(rn+1rn),且r2r1=12,所以rn+1rn=12n,由①②可知,rn=23-2312n,所以p2n+1=14r2n=16-1612.914解析由题意,在1~15这15个数字中,5的倍数有5,10,15,共3个,所以事件A发生的概率P(A)=315=15,记事件AB表示“若第一次抽到5,那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片,有4种抽法;若第一次抽到10,那么第二次从剩下14张卡片中抽小于10的卡片,有9种抽法;若第一次抽到15,那么第二次从剩下14张卡片中抽小于15的卡片,有14种抽法.所以P(AB)=4+9+14A根据条件概率公式,P(B|A)=P(故答案为91413.216解析将这7个小球编号如下图所示:分以下两种情况讨论:第一种,第一步,先取1,5,7号球,第二步,再取2,4,6号球,依次取2个球,最后一步,从剩余两球依次摸取,此时不同的抽法种数为A33A3第二种,将(1,2),(4,5),(6,7)视为三个整体,前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取,有6种,以1,2,5为例,可依次为(1,2,5),(1,5,2),(5,1,2),共3种,剩余3,4,6,7号球,先从4,7号球中摸一个,有2种情况,比如先取7号球,剩余三个相邻的小球,接下来从4,6号球中取一个,有2种情况,最后剩余两球摸取的先后顺序任意,此时不同的取法种数为6×3×2×2×2=144.综上所述,不同的取法种数为72+144=216种.故答案为216.14.91464567解析甲在首轮遇到乙的概率为17,此时甲获胜的概率为12,甲遇到其他6名选手的概率为67,第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜,其概率为P1=67×232=821,进入第二轮的4人中,甲和乙不相遇的概率为23,且两人均击败对手的概率为232,故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜,其概率为P2=23×232=827,所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为P=P1P2=故答案为91415.解(1)依题意,x=1+2+3+4+55=3,而∑i=15xiyi=72,∑i=15xi2=55,y=4,则b^=∑i=15xiyi-nxy∑i=15xi2-nx2=72-5×3×455-5×32=1.2,a^=41.2×3=0(2)记“甲从西门进入景区”为事件A,“甲从西门出景区”为事件B,“乙从西门出景区”为事件C,P(A)=14,P(A)=34,P(B|A)=15,P(B|A)由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=15×14+34×45=1320,同理P(C)=1320,所以甲、乙两名游客都从西门出景区的概率P16.解(1)由列联表知s=100+80=180,t=80+70=150.(2)由列联表知,未服用药物A的动物有180只,未服用药物A且患疾病B的动物有80只,所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为80180所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为p=49(3)零假设为H0:药物A对预防疾病B无效,由列联表得到χ2=400×(100×70-150×根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为药物A对预防疾病B有效,该推断犯错误的概率不超过0.01.17.解(1)已知随机抽取了1000名市民进行调查,其中“不了解”的人数为100名,根据古典概型概率公式可得P=1001000=所以从该市成年人口中随机抽取1人,对垃圾分类知识“不了解”的概率P=0.1.(2)原来“不了解”的市民占比为0.1,“非常了解”的市民占比为5801000=0.58,“一般了解”的市民占比为3201经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变,所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58+0.1×20%=0.58+0.02=0.6.从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,因为每次抽取是相互独立的,且抽取到“非常了解”的概率都为0.6,所以X~B(3,0.6),根据二项分布的概率公式P(X=k)=C3k0.6k(10.6)3k,k=P(X=0)=C300.60(10.6)30=1×1×0.43=0P(X=1)=C310.61(10.6)31=3×0.6×0.42=0P(X=2)=C320.62(10.6)32=3×0.36×0.4=0P(X=3)=C330.63=0.63=0.所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),根据二项分布的数学期望公式可得E(X)=3×0.6=1.8.18.解(1)由于在频率分布直方图可知,所有矩形的面积之和为1,由题可知(0.010+a+0.040+0.015+0.010)×10=1,解得a=0.025,所以估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为x=10×