【初中 数学】综合运用各种方法分解因式（第3课时）2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级上册17.2第3课时综合运用各种方法分解因式第十七章·因式分解2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.

3.会利用因式分解进行简便计算.综合运用各种方法分解因式2.分解因式：(1)2x4y3–x3y4=_____________；(2)25a2–1=________________；(3)m2n2

+8mn+16=

_________.x3y3(2x–y)(5a+1)(5a–1)(mn+4)21.我们目前学习了哪些因式分解的方法？提公因式法，公式法：平方差公式、完全平方公式情景导入合作探究抽象概念示范讲解课堂练习课堂小结情景激趣

例5分解因式：(1)x4–y4；解：(1)x4–y4=(x2)2–(y2)2分析：可以用___________分解因式=(x2+y2)(x2–y2)平方差公式其中a=____，b=____x2y2结束了吗？还能用平方差公式再分解=(x2+y2)(x+y)(x–y)分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.合作探究情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结(2)a3b–ab.解：(2)a3b–ab=ab(a2–1)=ab(a+1)(a–1)还能用____________再分解分析：可以用___________分解因式提公因式法平方差公式

对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.合作探究情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结将下列各式因式分解：（1）p4–1；（2）x4–81y4；(2)x4–81y4解：(1)p4

–1=(p2+1)(p2

–1)=(p2+1)(p

–1)(p+1)=(x2)2–(9y2)2=(x2+9y2)(x2–9y2)=(x2+9y2)[x2–(3y)2]=(x2+9y2)(x+3y)(x–3y)针对练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结（3）a3–9a；（4）4x4–36x2y2.(4)4x4–36x2y2(3)a3–9a=a(a2

–9)=a(a+3)(a

–3)=4x2(x2–9y2)=4x2(x+3y)(x–3y)针对练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结

例6分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)–ax2+2a2x

–a3

.解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)先提出公因式，再用公式法进一步分解因式(2)–ax2+2a2x–a3=–a(x2–2ax+a2)=–a(x–a)2=3a(x+y)2合作探究情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结把下列各式分解因式：（1）12a2b

–12ab+3b；（2）x4

–8x2+16；解：(1)原式=3b(4a2

–4a+1)=3b(2a

–1)2(2)原式=(x2

–4)2=[(x+2)(x–2)]2=(x+2)2(x–2)2（3）(x2–2x)2+2(x2–2x)+1.(3)原式=(x2–2x+1)2=[(x–1)2]2=(x–1)4针对练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结探究你会把x2+3x+2分解因式吗？完全平方公式1+1提公因式方法一：x2+3x+2=

(x2+2x+1)+x+1=

(x+1)2+(x+1)=

(x+1)(x+1+1)=

(x+1)(x+2)2x+x方法二：x2+3x+2=

x2+2x+x+2=

x(x+2)+(x+2)=

(x+1)(x+2)提公因式提公因式还有其他方法吗？合作探究情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结阅读与思考x2+(p+q)x+pq

型式子的因式分解多项式乘法法则：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

由等式性质可得：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)方法三：x2+3x+2=

x2+(1+2)x+1×2=

(x+1)(x+2)PQ公式情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结竖分二次项系数和常数项交叉相乘十字相乘法x2+(p+q)x+pq

11pq×1·qx2+(p+q)x+pq=

(x+p)(x+q)1·p

+

=p+q积相加十字相乘法情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结把下列各式分解因式：（1）x2

+7x+10；（2）x2–2x

–8；11251×5+1×2=7解：(1)原式=(x

+2)(x+5)112–41×(–4)+1×2=–2(2)原式=(x

+2)(x–4)针对练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结（3）y2

–7y+12；（4）x2+7x

–18.11–3–41×(–4)+1×(–3)=–7原式=(y–3)(y–4)119–21×(–2)+1×9=–18原式=(x

+9)(x–2)针对练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结思考分解因式的一般步骤有哪些？（1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；（2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.分解因式情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结1.分解因式：（1）x2y

–4y；（2）a3

–

2a2

+a；【教材P132练习第1题】（3）ax2

+

2a2x+a3；解：(1)原式=y(x2

–4)=y(x

+2)(x

–2)(2)原式=a(a2

–2a

+1)=a(a

–

1)2(3)原式=a(x2

+

2ax+a2)=a(x+a)2（4）–a4

+

16；(4)原式=–(a4

–16)=–(a2

+4)(a2

–4)=–(a2

+4)(a

+2)(a

–2)随堂练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结（5）3a

–6ax+3ax2；（6）–4bx2+8bxy–4by2.(5)原式=3a(1

–2x+x2)=3a(x

–1)2(6)原式=–4b(x2–2xy+y2)=–4b(x

–y)2随堂练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结2.分解因式：（1）(a–b)2+4ab；

（2）(p

–4)(p+1)+3p

.【教材P132练习第2题】解：(1)原式=a2–2ab+b2+4ab=a2+2ab

+b2=(a

+b)2(2)原式=p2+p–4p–4+3p=p2–4=(p+2)(p–2)随堂练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结3.分解因式：（1）4a2–b2+4a–2b；（2）x2–2xy+y2–1；(2)原式=

(x

–y)2–12=

(x

–y

+1)(x

–y

–1)解：(1)原式=

(4a2

–b2)

+(4a

–2b)

=

(2a+b)(2a

–b)

+2(2a

–b)

=

(2a

–b)(2a+b

+2)

随堂练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结（3）x2

–6x+8；（4）x2+3x

–10

.

(3)原式=

x2

+[(–2)+(–4)]x+(–2)×(–4)=

(x–2)(x–

4)

(4)原式=

x2+[5+(–2)]x+5×(–2)=

(x+5)(x–2)随堂练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结4.(1)已知n

为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？解：原式=

(2n+1+5)(2n+1–5)

=

(2n+6)(2n–4)

=

4(n+3)(n–2)

所以(2n+1)2–25能被4整除.随堂练习情境导入合作探究抽象概括课堂练习示范讲解课堂小结4.(2)已知224–1能被60到70之间的两个整数整除，求这两个整数.解：224–1

=

(212+1)(212–1)

=

(21