【初中 数学】分式方程 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

18.5分式方程数学人教版八年级上册回顾章引言中的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km

所用的时间，与以最大航速逆流航行60

km所用的时间相等．江水的流速为多少？

解：设江水的流速为vkm/h，根据题意，得＝

．问题1仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？未知数位于分母的位置上．＝

．新知

方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程．

我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．＝

．判断下列式子是不是分式方程？若不是，请说明理由．（1）＝5；

（2）＝1；（3）x2－x＋

＝5；

（4）－；（5）＋

＝7.

××√×√分式方程的三个特征：特别注意，判断一个式子是不是分式方程时，不能对式子进行约分、通分变形，更不能利用等式的性质对其进行变形．①有等号，是方程；②方程中含有分式；③分式的分母中含有未知数．归纳

如何解分式方程＝呢？

分析：面对数学问题时，我们经常把新知识转化成熟悉的旧知识来解决．大家想一想，能否将分式方程转化为我们熟悉的整式方程呢？问题2最简公分母(30＋v)(30－v)去

分

母

解：方程两边同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．解得v＝6．

v＝6

是分式方程＝的解吗？如何进行检验？

如何解分式方程＝呢？问题2

解：方程两边同乘(30＋v)(30－v)，得90(30－v)＝60(30＋v)．解得v＝6．

如何解分式方程＝呢？由上可知，江水的流速为6km/h．

检验：将v＝6

代入分式方程中，左边＝，右边＝，左、右两边的值相等，因此v＝6

是分式方程的解．问题2解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘各分母的最简公分母．这也是解分式方程的一般方法．归纳问题3

请你运用上述“去分母化为整式方程”的方法解下列分式方程．

＝

解：方程两边同乘(x＋5)(x－5)，得

x＋5＝10．解得x＝5．最简公分母(x＋5)(x－5)

为什么有同学认为方程无解？x＝5不是分式方程

＝

的解吗？问题3

请你运用上述“去分母化为整式方程”的方法解下列分式方程．

＝

解：方程两边同乘(x＋5)(x－5)，得

x＋5＝10．解得x＝5．最简公分母(x＋5)(x－5)

检验：将x＝5分别代入原分式方程的左右两边，分母x－5和x²－25的值都为0，相应的分式无意义，这个分式方程无解．整式方程的解，不是分式方程的解问题4为什么

＝

①去分母后所得整式方程的解就是①

②＝

去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？

在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，即在方程两边同时乘了一个整式．

（1）若这个整式不为0，那么所得的整式方程与原分式方程同解；

（2）若这个整式为0，那么所得的整式方程的解不满足原分式方程，它是增根．问题4方程最简公分母解回代结论＝＝(30＋v)(30－v)(x＋5)(x－5)v＝6

x＝5

(30＋v)(30－v)≠0(x＋5)(x－5)＝0所得整式方程的解不是②的解所得整式方程的解与①的解相同②①新知

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0

，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

解：方程两边乘x(x－3)，得

2x＝3x－9．解得x＝9．

检验：当x＝9时，x(x－3)≠0．所以，原分式方程的解为x＝9．

例1

解方程：．

解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得

x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．解得x＝1．

检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．

例2

解方程：．归纳分式方程整式方程x＝mx＝m

是分式方程的解x＝m不是分式方程的解去分母解整式方程检验最简公分母不为0最简公分母为0目标

解下列方程：（1）；

解：方程两边同乘x(x－2)，得

5(x－2)＝7x．解得x＝－5．

检验：当x＝－5时，x(x－2)≠0．所以，原分式方程的解为x＝－5．

解下列方程：（2）；

解：方程两边同乘(x＋3)(x－1)，得

2(x－1)＝x＋3．解得x＝5．

检验：当x＝5时，(x＋3)(x－1)≠0．所以，原分式方程的解为x＝5．

解下列方程：（3）；

解：方程两边同乘2x(x＋3)，得

x＋3＝4x．解得x＝1．

检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0．所以，原分式方程的解为x＝1．

解下列方程：（4）；

解：方程两边同乘3(x＋1)，得

3x＝2x＋3x＋3．解得

x＝．

检验：当x＝

时，3(x＋1)≠0．所以，原分式方程的解为x＝

．

解下列方程：（5）；

解：方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得

2(x＋1)＝4．解得x＝1．

检验：当x＝1时，(x－1)(x＋1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．

解下列方程：（6）．

解：方程两边同乘x(x－1)(x＋1)，得

5(x－1)－(x＋1)＝0．解得

x＝．

检验：当x＝

时，x(x－1)(x＋1)≠0．所以，原分式方程的解为x＝

．分式方程概念解法去分母解方程检验分母中含未知数的方程

方程两边同乘最简公分母

解整式方程，得到相应的解代入解后看最简公分母是否为0分式方程（第2课时）学习了分式方程的解法之后，我们要用分式方程解决一些实际问题．请你先回顾，用一元一次方程解决实际问题的基本过程是什么？

（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，找出相等关系；

（2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量；

（3）列：根据相等关系列出方程；

（4）解：通过解方程，求出未知数的值；

（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意；

（6）答：根据题意写出答案．

例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．请你判断哪个队的施工速度快？分析：本题是一道工程问题，通常设总工程量为1．

数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间．甲队完成的工程量＋乙队完成的工程量＝总工程量．比较甲、乙两队的工作效率求乙队1个月完成的工程量

例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．请你判断哪个队的施工速度快？工程队工作时间工作效率工作总量甲队乙队等量关系：甲队工作总量＋乙队工作总量＝“1”．

分析：可以假设乙队单独施工1

个月能完成总工程的

．

例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．请你判断哪个队的施工速度快？

解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的．记总工程量为1，根据工程的实际进度，得．

方程两边同乘6x，得2x＋x＋3＝6x，解得x＝1．检验：当x＝1时，6x≠0．

所以，原分式方程的解为x＝1．由上可知，若乙队单独施工1

个月可以完成全部任务，乙队的施工速度快．归纳解决工程问题“两手都要抓”解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”．

通常根据这两个关系列方程解决问题．

例2

某次列车平均提速vkm/h．在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？思考：题目中的已知量是什么？未知量是什么？可以怎么假设？

已知量：列车平均提速vkm/h，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．

未知量：提速前列车的平均速度．表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（或未知量），也可以表示已知数（或已知量）．假设：提速前列车的平均速度为xkm/h．速度

时间

路程

分析：设提速前列车的平均速度为xkm/h．

例2

某次列车平均提速vkm/h．在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？行驶状态路程/km速度/(km/h)时间/h提速前提速后s＋50x＋v等量关系：提速前的行驶时间＝提速后的行驶时间．sx

方程两边乘

x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50)，解得x＝．

例2

某次列车平均提速vkm/h．在相同的时间内，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？

解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为

h；提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为

h．

根据行驶时间的相等关系，得．

检验：因为v，s

都是正数，所以当x＝时，x(x＋v)≠0．

所以原分式方程的解为x＝

．

答：提速前列车的平均速度为km/h．归纳行程问题中常用的等量关系行程问题属于典型实际应用问题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程＝速度×时间．

解决这类问题，首先要分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出等量关系，从而列出方程．

1．八年级学生去距学校30km的中国