2025年初中数学北师大版八年级下册第一次月考模拟卷（范围：三角形的证明、一元一次不等式）（解析版）

班级姓名学号分数第一次月考模拟卷（三角形的证明、一元一次不等式与一元一次不等式组）（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）（2021春•灞桥区校级月考）是等边三角形，，，为各边中点，则图中共有正三角形A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据等边三角形的判定方法，可知三边，三内角相等的三角形为等边三角形，由，且，，为各边中点，可知：．所以图中三角形均为等边三角形．【解答】因为为等边三角形，所以，又因为，，为各边中点，所以；又因为，，分别为中位线，所以，，，即．所以．所以此图中所有的三角形均为等边三角形．因此应选择5个，故选：．（2022春•吴江区期中）在数轴上表示不等式的解集正确的是A． B． C． D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．【解答】解：不等式中包含等于号，必须用实心圆点，可排除、，不等式中是大于等于，折线应向右折，可排除．故选：．（2022春•枣庄期末）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则满足的关系为A． B． C． D．【分析】根据不等式的定义解答即可．【解答】解：根据题意得：．故选：．（2022春•济阳区月考）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】依据不等式的定义进行判断．用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．【解答】解：①，属于不等式；②，属于不等式；③，属于不等式；④属于代数式，不合题意；⑤属于方程，不合题意；⑥，属于不等式．故选：．（2023•南岸区校级开学）下列判断不正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．【解答】解：．若，则，判断正确，故本选项不合题意；．若，则，判断正确，故本选项不合题意；．若，则，判断正确，故本选项不合题意；．当时，，原判断错误，故本选项符合题意．故选：．（2022春•芗城区校级期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：．【解答】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知．故选：．（2022•南京模拟）下列式子①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．【解答】解：是一元一次不等式的有：，，共有2个．故选：．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在中，，以的三边为边向外做正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于A． B． C． D．【分析】过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点．根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式得到的值．【解答】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，由题可得，，，，又，，即平分，又，，，正方形和正方形的面积分别为，，且，，正方形的面积，正方形和正方形的面积之比为，，，即等于．故选：．（2022秋•易县期末）如图，是等边三角形，是边上一点，于点．若，则的长为A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据是等边三角形得出，由得出，从而可以求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，，．故选：．（2022秋•沈阳月考）如图，在中，，，为线段边上的动点，以为边向上作等边，连接、，则的最小值为A． B． C． D．【分析】如图1，连接，根据等边三角形的性质可得，，证明是的垂直平分线，则，根据垂直线最短可得：当，，共线时，的值最小，最小值是，从而可以得和的长即可解答．【解答】解：如图1，连接，是等边三角形，，，当在线段边上运动时，点在射线上运动，且，，，，，是的垂直平分线，，，当，，共线时，的值最小，最小值是，如图2，，，，中，，，，中，，，的最小值．故选：．二、填空题（每小题3分，共18分）（2022秋•邹城市期中）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是（填写序号）．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断即可．【解答】解：，，，、是以点为圆心，长为半径圆弧的半径，，，，故①正确；，，，平分，故②③正确；，，故④错误，故正确的序号是①②③．故答案为：①②③．（2022•常州一模）如图，在中，，点、分别是边、上一点，且．若，则．【分析】利用三角形外角与内角的关系、三角形内角和为解决就行．【解答】解：，是等腰三角形，，是的一个外角，，，，在中，，．故答案为：．（2022春•衡阳县期中）已知不等式，的最小值是；，的最大值是，则．【分析】解答此题要理解“”“”的意义，判断出和的最值即可解答．【解答】解：因为的最小值是，；的最大值是，则；则，所以．故答案为：．（2022春•渠县期末）若不等式组无解，则的取值范围是．【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：不等式组无解，，解得．故答案为：．（2022秋•浑南区校级月考）在一次考试中有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣2分，不做得0分，小雨没有漏做，假设她做对了道题，且得分不低于70分，那么的取值范围是．【分析】根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，，，，，的取值范围是且为整数，故答案为：且为整数．如图，中，，点，分别在，上，，，，则．【分析】如图，作于点，于点，于点，设，，由，可得出：，即，可得：，，根据，可推出，即为的角平分线，得出，再根据四边形为矩形，得出，进而得出：，，，，再由，得出，建立方程求解即可得出，再结合，可求得：，，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，作于点，于点，于点，设，，，，，，，，，，即，，，，，且四边形为矩形，，，又，，即为的角平分线，，，，，，，，，，即，，，，，在中，，，将代入，得：，解得：，，，即，，，，，在中，．故答案为：6．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）（2021春•丹江口市期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为或的形式．（1）．（2）．【分析】（1）根据不等式的性质1，不等式的性质2，可得答案；（2）根据不等式的性质1，不等式的性质3，可得答案．【解答】解：（1），不等式的两边都加上1，得，不等式的两边都乘2，得；（2），不等式的两边都减去，得，不等式的两边除以2，得．填空：（1）不等式组的解集是；（2）不等式组的解集是；（3）不等式组的解集是；（4）不等式组的解集是．【分析】根据不等式的解集确定方法：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了，即可解答．【解答】解：（1）不等式组的解集是；（2）不等式组的解集是；（3）不等式组的解集是；（4）不等式组的解集是．（2022秋•海淀区校级期末）解下列方程或不等式（组（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根据解一元一次方程、解不等式（组的方法步骤解答即可．【解答】解：（1），，，当时，；（2），，当时，；（3），当时，，，当时，，，原不等式的解为或；（4）解不等式①得，，解不等式②得，原不等式组的解为．四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）（2022秋•青秀区校级期末）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，，试猜想，，之间存在的等量关系，直接写出结论．（3）如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．（4）如图4，在中，，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．【分析】（1）通过整体和部分求和两种方法对该正方形面积求解可得此题结果；（2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得；（3）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得；（4）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）成立，设直角三角形两条直角边分别为，，斜边为．，，，，；（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积．阴影部分的面积直角三角形面积阴影部分的面积．（2022秋•南昌期中）用一条长为细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？（3）若等腰三角形的腰长为，求的取值范围？【分析】（1）设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．（3）根据三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：（1）设底边长为，腰长是底边的2倍，腰长为，，解得，，，各边长为：，，．（2）①当为底时，腰长；②当为腰时，底边，，不能构成三角形，故舍去；能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．（3）由题意得：，解得：．五、解答题：（本题12分）（2021秋•合阳县期末）数学理解（1）如图1，在等边内，作，且，是内一点，且，，求的度数；联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）（2）如图2，在中，，，是内一点，且，，连接，求的度数．【分析】（1）连接，依据直线是线段的垂直平分线，即可得到平分，进而得出的度数；再判定，即可得到；（2）作等边三角形，连接，判定，即可得到，进而得出，再根据进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，连接，，，直线是线段的垂直平分线，平分，是等边三角形，，，，，，又，，，；（2）如图2，作等边三角形，连接，由（1）解答知，，，，，，，．六、解答题：（本题12分）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动不与重合），过作于，连接交于．（1）当时，求的长；（2）当运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由．【分析】（1）由是边长为6的等边三角形，可知，再由可知，设，则，，在中，，，即，求出的值即可；（2）解法一：过作，通过判定，利用全等三角形的性质分析求证；解法二：作，交直线于点，连接，，由点、做匀速运动且速度相同，可知，再根据全等三角形的判定定理得出，再由，且，可知四边形是平行四边形，进而可得出，，由等边的边长为6可得出，故当点、运动时，线段的长度不会改变．【解答】解：（1）是边长为6的等边三角形，，，，设，则，，，在中，，，即，解得，；（2）解法一：当点、同时运动且速度相同时，线段的长度不会改变．理由如下：过作，是等边三角形，、同时出发、速度相同，即，，，，而是等边三角形，，，又，，即为定值，即的长不变．解法二：当点、同时运动且速度相同时，线段的长度不会改变．理由如下：作，交直线于点，连接，，又于，，点、速度相同，，是等边三角形，，在和中，，，，，，且，四边形是平行四边形，，，，又等边的边长为6，，点、同时运动且速度相同时，线段的长度不会改变．七、解答题：(本题12分)如图1，已知线段的长为，点是上的动点不与，重合），分别以、为边向线段的同一侧作正和正．（1）当与的面积之和取最小值时，；（直接写结果）（2）连接、，相交于点，设，那么的大小是否会随点的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角