抽样调查期末复习题

1、简答题

1.为什么分层抽样常在全国范围抽样调查中被采用？

答：（1）分层抽样不仅能对全国指标进行推算，还可以对各省、自治区、直辖市的指标进行

推算。（3分）

（2）各个层中分别独立地进行抽样，便于抽样工作的组织实施。（3分）

（3）由于各个地区发展不均衡，导致全国范围内差异较大，分层抽样的层间方差不进入估

计误差，而层内的差异相对小一些，因此分层抽样可以提高估计精度，抽样效率较高。（2

分）

（4）样本的分布更均匀，代表性更强，不会出现偏颇的情况。

2.整群抽样的优缺点是什么？

答：整群抽样可以简化抽样框的编制。

样本单元比较集中，实施调查便利，且能节约费用。缺点是：当群内具有一定的相似性，而

不同群之间的差别比较大时，相同样本量下整群抽样的抽样效率比简单随机抽样差。

3.简述分层的原则及如何选择分层标志？

答：分层的原则是：一种是为了满足估计各层指标的需要或为了组织实施的便利。此时，应

以需估计的子总体为层或单位自然构成的系统或类为层；另一种是尽可能提高抽样精度，分

层应做到“层内差异大，层间差异小二

最好直接以调查指标的数值作为选择分层标志，若做不到通常选择一个与调查指标有较

大线性相关的指标作为分层标志。这个标志可以是调查指标的前期指标，也可以完全是另一

个变量。

4.为什么多阶抽样常在大型抽样调查中被采用？

答：（1）多阶抽样一方面保持了整群抽样的样本比较集中、便于调查、节省费用等优点，同

时乂避免了对小单元过多调青造成的浪贽，充分发挥抽样调杳的优点。（2）由于多阶抽样是

分阶段实施的，因此，抽样框也可以分级进行准备，只需编制初级单元的抽样框，对抽中的

初级单元再准备二阶抽样单元的抽样框，以此类推，对抽中的单元再准备下一级抽样单元的

抽样框，从而大大降低「编制抽样框的工作量。所以多阶抽样常用于大范围的目抽样单元为

各级行政单位的情况。对于大型调查中，抽样框变动非常频繁的情况，特别适合用多阶抽样。

2、简单随机抽样

【例1.1]我们从某个N=100的总体中抽出一个大小为n=10的简单随机样本，要估计

总体平均水平并给出置信度为95%的区间估计。如表

简单随机样本的指标值

序号i12345678910

%45204661508

解：依题意。N=100,n=10,f=——=0.1

100

计算样本均值及样本方差为:

_1s50U

>=一>:行=5

io

21</_、2172..

s=—；'（）。一）'）=—%I1O911

〃-1M9

因此对总体平均水平的估计为：

Y=y=5

对的方差及标准差的估计为：

V（rd）=-1--^fS2_=-1--^0-1x19.11^1.72

n10

^（y）=7v（r）«1.3115

由置信度95%对应的t=1.96,因此，可以以95%的把握说总体平均水平大约在

5±1.96X1.3115之间,即2.4295〜7.570之间。

【例1.2］（续例1.1〉如果采取放回抽样，则相应结果为多少？

解：由上例知了==噂=5,s?=」■；•之（必一》）2=铮4］9.11

10〃-1普9

、1,1

v（y）=-52=—xl9.11=1.911

•n10

s（y）=ylv（y）=1.3824

由置信度95%对应的％_〃/,=1.96,因此，可以以95%的把握说总体平均水平大约

在5±1.96x1.3824即［2.2905,7.7095］之间。

【例1.3】某销售公司希望了解全部3000家客户对该公司的综合满意程度，决定用电

话来调查一个简单随机样本。这时，销售公司希望以95%的把握保证客户满意的总体比例P

在样本比例p±10%的范闱内，但对总体比例P无法给出一个大致的范围。这时，应该调查

多少个客户，才能保证对总体比例估计的要求？（P30）

解：由该问题给出的条件：N=3000,d=10%=0.1,置信度95%,对应的〃“2=196,

由于无法得到P的初始估计值，因此取使方差达极大值的P=0.5,得到最保守的〃：

乂乙2s2_1.96x0.5x0.5

【例1.4】某居民区共10000户,欲估计该居民区的用水量。采用简单随机抽样抽选了100

户，得样本均值为12.5吨，样本方差为1252吨。

（1）估计该居民区的总用水量的置信度95%的置信区间。

（2）若次年再进行调查，要求置信度95%的估计相对误差不超过20乐试问应抽多少户作样

本？(P31)

解：⑴

y=A^=125000

4s=35206.25

s(h=Ns(y)=N

V的置信度为95%的置信区间为:

Y-uaS(y),Y+u(K)=[55995.75,194004.25]

1-1―

22

或

y=7^=125000

s(户)=Ns(力=NJ上』s=N心=35383.612

Vnyjn

（2）

渊置信度为95%的置信区间为:

Y-uas(K),y+«(y)=[55648.12,194351.88]

I----1----

〃=1-a/2；=7695工77()

°(万¥

n=—^=714.9^715

1+国

N

3、不等概率抽样

【例2.1］某县农业局要调查全县养猪专业户全年生猪的出栏头数，并有全县365个

养猪专业户上年末的生猪存栏数，各养猪专业户的饲养规模相差较大，决定以放回方式按与

各养猪专业户上年末生猪存栏头数成正比的概率从中抽取30户进行调查，调查结果见表

6.3。己知全县养猪专业户上年末生猪存栏数为9542头，试估计该县养猪专业户生猪出栏总

头数

某县养猪专业户年生猪出栏头数调查样本资料（单位：头）

iyiXiK

1157511402582119124

22313412321862226160

39371317692337215

42915214261562421104

584515114925749

63118516362212643336

7241331725145271896

829173185332830177

913741938288

1019872042304

注：，表示养猪专业户样本编号，/%表示各专业户生猪上年末存栏数,£表示各专业户调查年生猪出栏头数,

其中第2、19号专业户被抽中两次.

解：根据题中所给资料，〃=3(),M0=9542

9542〃5

—>—=----(—+区x2+…+见)才56163卜头)(P56,3.1.2)

n占网30152330

可力)=7彳£(乂-心了

n(n-\),=|z,.

_/y卢_】〃/)2

95422r/7556163，13456163,。17756163

=------(-----------)-+(------------x2+..-+(------------xr21

30x29159542239542309542

x2806070

阳%)="％)=1575(头)(P583.1.5)

4、分层随机抽样

【例3.1】某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居民两部分抽样，在全部城镇居

民23560户中随机抽取300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户，调查结果是

城镇年平均户收入为15180元，标准差为2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为

2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信区间。(P75)

解：根据已知条件有:

23560148420八。/”

W=------=0.1370,1%=------=0.8630

1171980-171980

四二X%%=卬值+也无

ft=l

=().1370X15180+0.8630x9856=10585.39

2

v(JiZ)=yVV,上/■s；=20260.6756

/=1〃i

历J=142.34(元)

故全市年平均户收入M置信度粉0%的置信区间为:

兀一〃/(%)，%+〃s(y)=L10585.39±1.645x142.34],EP[10351.24,10819.54]

1——1asl

【例3.2］在某行业技术人员中，按年龄分层，调查会使用计算机者所占的比例。调查

结果如表所示。试以95%的置信度估计总体中会计算机者占的比例。（P75）

计算机使用情况调查

样本中会使用计算机

层人数入样人数

的人数

30岁以下77817124

30-35岁7497

6812

89

36〜40岁977922

II

41-45岁462742

45岁以上4

536650

总计35050320

解：由表中数据得到：

]八=0.3380,p2=0.1765,凸=0.2472,/%=0.2620,p,=0.0800,

叱=0.2220,吗=0.2139,%=0.2790,%=0.1320,%=0.1531

则—=之以==0.2286

由于抽样比很小，故可以忽略不计。估计量的方差为

)=£卬/(1一/”.丁-0.000534

h=i/一1

P置信度为95%的置信区间为:

=[18.33%,27.39%]

5、样本量在各层的分配

【例3.3］调查某地区的2850户居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据

经济及收入水平将居民户分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查数据如下，样本

量为40,若按比例分配和Neyman分配时，各层样本量应为多少？

样本户奶制品年消费支出

样本户奶制品年消费支出

层居民户总数

12345678910

12001040011015104080900

24005013060801005516085160170

375018()26011()014060200180300220

415005035150203025103()25

解：由表得

N、=200,M=400,M=750,N、=1500,N=2850

4=n2=%=&=1。

N

Wl=侍=0.070=0.14035,W3=0.26316,%=0.52632,

/=令=0.05,f2=0.025,f3=0.0133,/4=0.0067

各层样本均值及方差为

%=39.5,$；=_!_^£(九一片尸«1624.722

同理可得

%=105,%=165,y4=24

s；=2166.667,学=8205.556,s：=193.333

从而

73.56194(元)

h=\

按比例分配时，各层样本量为(P82)

〃1="〃=2.81,n.=VV2/?=5.61,/?3=Wyn=10.53,n4==21.05

即各层样本量分别为36,10,21o

对十Neyman分配，

200

gl=V1624.722=2.8286,J2166.667=6.5330

28502850

75078205.556=23.8380,W岛=史&&93.333=7.3181

2850।2850

即2吗%=40.51775，从而

/»=|

_小-28286

«2.79

40.51775

同理有n2=6.45,叼=23.53,n4=7.23

即各层样本量分别为3,6,24,7o

【例3.4]某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）

的开支，在全校8000名学生中抽出了一个200人的简单随机样本。根据学生科的统计，本

科生人数为全校学生的70%,调查最近一个学期课外进修支出（单位：元）的结果如表

在校学生课外进修开支调查结果

样本均值（以）/元样本标准差（.）/元

层（力）层权（）样本量（nh）/人

本科生0.7120253.4231.00

研究生0.380329.4367.00

合计1200276.2294.57

试估汁全校学生用于课外进修的平均开支。

解：全校学生用于课外进修的平均开支为：

2

%”=Z叱用=67x253.4+0.3x329.4=276.2（元）

h=l

估计量方差的样本估计为：（P75,4.l.8）

v="381.83

nh=\n力=1

估计的标准差为：

/（%）=19.54（元）

如果是采用简单随机抽样，则

/—、1—J)1—0.025.[

v(y)=———s~=--------x294.57~«423.1

n200

Jy(])=2057(元)

6、比率、回归与差估计

【例4.1】某小区有1920户，从中随机抽取了70户，调杳各户的住房面积（单位：平

方米）和家庭人口，得数据：

7(z)70

%=1821.4,2%=260

l=l;=1

7OZ7070

X-2=52940.7,2茗2=11IO，ZMW=7264.5

I=Ii=ii=i

试对人均住房面积作点估计和置信度为95%的区间估计，

解：由已知条件有：

70

1821.4

/=1=7.01

70260

*=|

70707070

-机)2=E胃-2Az)居+=5637.92

/=1/=1(=11=1

V（心的渐近无偏估计为：

y（x-^x；）2(P36,2.5.2)

i或*=三。卫------------工0.085

tvc2n-\

R的置信度为95%的置信区间为:

R-u%(A),R+u.Ji，(J)=[6.44,7.58]

1----I----

【例4.2】交通运输统计中有三个重要的指标，即运量、周转量与平均运距，三者关系如F：

平均运距二周转量/运量。为估计公路载货汽车的平均运距，在总体中用简单随机抽样抽取

32辆货车，记录每辆货车在一个月内的运量Xi（单位吨）与周转量yi（单位吨公里），经计

算得:

n=32,心=5974,2=1244764

;=1J=l

"=295500名「二303968760。春/=61357665

Z=1r=lr=l

试用比估计给出平均运距R估计和其标准差的估计。

32

解：R—=49.4643

1=1

V（用的渐近无偏估计为：

}_f欣）2

v（^）=~1-------------x0.440943

fix2n-\

s（A）=0.664（公里）

【例4.3］某地有规模以下工业企业127个工友固定资产价值6794.5万元，从中随机抽

取20个企业调查工业产值和固定资产价值，资料如表所示。试估计该地区规模以下工业总

产值。

企业固定资产价值及工业产值（单位：万元）

固定资产价值工业产值固定资产价值工业产值

3532.05045.5

4340.27065.0

50