《集合的概念》教案

《集合的概念》教案教学目标教学目标：1.初步了解集合与元素的特性，能准确使用符号表示集合与元素间的关系，用适当的方法表示集合；2.在集合概念学习的过程中，从直观到抽象，逐步了解集合语言的抽象，严谨的特点，学会用集合的语言表述数学的研究对象；3.基于集合知识的学习，积累抽象思维的经验，提升数学抽象素养。教学重点：认识元素与集合间的关系，准确使用符号语言刻画集合.教学难点：选择恰当的方法准确表示集合.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟15分钟4分钟3分钟新课引入新课讲解三例题与练习四课堂小结五课后作业方程是否有解？所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？通过大家讨论我们达成共识：方程在有理数范围内无解，但在实数范围内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.问题1：如何简洁、准确地表述数学对象及研究范围呢？我们看下面几个例子：（1）1～11之间的所有偶数；（2）地球上的四大洋；（3）不等式的解集；（4）较小的数．例（1）中，我们把1～11之间的每一个偶数作为研究对象，即是研究范围．在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等．在我们进一步学习中，我们利用集合语言简洁、准确地表述数学问题．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识.【教师讲解1】一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了．例如，“1～11之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素．一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．问题2：上面的例（2）到例（4）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？显然例（2），（3）能组成集合，而“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的．【教师讲解2】我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．如果是集合A的元素，就说属于（belongto）集合A集合，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）集合A，记作．问题3：若用A表示前面例（1）中“1～11之间的每一个偶数”组成的集合，分别与集合A有何种关系呢？易知，．追问1：与的数学含义相同吗？一般的，表示一个数字，一个元素，而表示一个集合，这个集合里只有一个元素.追问2：如何用数学语言表述与之间关系呢？基于上述分析，与是元素与集合的关系，元素属于集合，记作.【教师讲解4】数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R．【教师讲解3】集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”集合论的创立过程体现了数学发生发展的背景和客观需求，数学的发现和创造过程充满着数学家的想象力、创造力和不屈不饶、精益求精的精神，展现了人类理性思维的巨大作用．问题4：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？“方程在实数范围内的解”只有，两个，可以表示为，“1～11之间的所有偶数”组成的集合可以表示为，“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝．【教师讲解5】像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．【练习1】用列举法表示集合：大于1且小于6的整数；方程所有实数根组成的集合.追问1：“在平面内所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形”，“不等式的解集”能用列举法表示吗？不等式的解是，因为的实数有无数个，所以的解集无法用列举法表示．追问2：当集合中元素个数有无数个，我们如何表示呢？我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且，把解集表示为．【教师讲解6】一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为．这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成或．追问3：整数集Z可以分为奇数集和偶数集．我们如何用描述法表示奇数集？我们思考一下奇数集合中元素所有具有共同特征是什么呢？对于每一个，如果它能表示为的形式，那么x除以2的余数为1，它是一个奇数；反之，如果x是一个奇数，那么x除以2的余数为1，它能表示为的形式．所以，是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为．追问4：你能用这样的方法表示偶数集吗？．追问5：我们如何用描述法表示有理数集？例1选择恰当方式表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合．解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么．由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法．例如，例1（1）的集合还可以写成．我们还可以用描述法表示集合．（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，由于集合B中只有两个元素，那么可以用列举法表示为．也可以用描述法表示为．我们约定，如果从上下文的关系看，，是明确的，那么可以省略，只写其元素x．练习试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．解：（1）设，则x是一个实数，且．因此，用描述法表示为．方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为．（2）设，则x是一个整数，即，且．因此，用描述法表示为．大于10且小于20的整数有，因此，用列举法表示为.本节课在小学和初中数学学习的基础上引入集合的含义及其表示，通过本节学习，我们在了解集合含义的基础上，会用符号语言刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系．本节的新概念，新符号较多，我们要明确符号代表的意义，熟悉不同的符号的表示形式，多用、多回归到概念，建立起符号和数学对象之间的关系．高中数学内容的抽象程度提高了，我们要以更加积极主动的态度，刻苦钻研的精神，采取多样化学习方式，注重基础，拾级而上，按学习规律办事，逐步总结高中数学学习方法，尽早适应高中学习．1.认真阅读本节教材，完成课后练习；2.查阅“集合论”创立相关资料，与同学分享.课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021广东广州广雅中学高一月考)下列关系中正确的是()A.2∉R B.0∈N*C.13∈Q D.π2答案C解析2属于实数,因此A选项错误;N*是正整数集,因此0∉N*,故B选项错误;13是有理数,因此C选项正确;由于π2=π是无理数,Z是整数集,因此D选项错误.故选2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14 B.-5 C.37 D.答案D解析7是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈A B.a∉AC.a∈A D.a=A答案C解析由题意知A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.(多选题)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是()A.1 B.-2 C.-1 D.2答案ABD解析由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,结合选项知a不可能是ABD.5.(2021山东荣成高一期中)由实数x,-x,|x|,-x2,3A.2 B.3 C.4 D.5答案A解析由题意可知-x2=-|x|,3x3=x且|x|=±x,所以以实数x,-x,|x|,-x2,3x3为元素所组成的集合,最多含有6.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.

答案1解析由题意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.7.(2020上海高一期中)已知集合M中有3个元素1,m+1,m2+4,如果5∈M,且-2∉M,那么m=.

答案4或1或-1解析由题意知,5∈M,且-2∉M,所以若m+1=5,解得m=4;若m2+4=5,解得m=±1,经验证,均符合题意,所以m的值为4或1或-1.等级考提升练8.(2020陕西榆林高一期中)设a,b∈R,集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,ba,b.若集合A和集合B是相等的,则b-a=(A.2 B.-1 C.1 D.-2答案A解析由已知,a≠0,故a+b=0,则ba=-所以a=-1,b=1,所以b-a=2.9.若集合A具有以下性质:(1)0∈A,1∈A;(2)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,1x∈A则称集合A是“好集”.下列结论正确的个数是()①若集合B中有3个元素-1,0,1,则集合B是“好集”;②有理数集Q是“好集”;③设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析①集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,-1-1=-2∉B,这与-2∈B矛盾.②有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,1x∈Q,所以有理数集Q是“好集”.③因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A10.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a为()A.2 B.4C.0 D.6答案AB解析因为集合A中含有3个元素2,4,6,所以0∉A.由题意当a∈A时,6-a∈A,所以当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2满足条件;当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4满足条件;当a=6∈A时,6-a=0∉A,则a=6不满足条件.综上所述,a=2或4.11.(多选题)下列结论正确的是()A.若a∈N,则-a∉NB.若a∈Z,则a2∈ZC.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则3a∈答案BCD解析A错误.比如,0∈N,-0∈N.其余均正确.12.已知集合A中含有3个元素a,0,-1,集合B中含有3个元素c+b,1a+b,1,且集合A和集合B是相等的,则a=,b=,c=答案1-22解析∵集合A和集合B是相等的,又∵1a+∴a=1,c+b=0,1a+b=-1,∴b=-2,13.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则求出a的值;若不能,则说明理由.解∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9.若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;B中的元素为9,-8,4,符合题意.综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.新情境创新练14.设A是由一些实数构成