《不同函数增长的差异》教案

《不同函数增长的差异》教案教学目标教学目标：1.在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；2.通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识；3.在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养.教学重点：在信息技术的辅助下，直观了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义.教学难点：几种增长函数模型的应用.教学过程时间教学环节主要师生活动3min情境引入复习回顾【问】在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．20min问题探究，学以致用虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.下面就来研究一次函数，指数函数，对数函数在定义域内增长方式的差异.问题探究一：以函数与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.分析：(1)在区间(-∞,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········(3)观察两个函数图象及其增长方式：结论1：函数与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4);结论2：在区间(0,1)上，函数的图象位于y=2x之上;结论3：在区间(1,2)上，函数的图象位于y=2x之下;结论4：在区间(2,3)上，函数的图象位于y=2x之上.综上：虽然函数与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度改变，先慢后快.【问】请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系?【生】随着自变量取值越来越大，函数的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和的增长相比几乎微不足道.【设计意图】通过画出特殊的指数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；总结一：函数y=2x与在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：虽然函数y=2x与在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定范围内，，但由于的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有.总结二：一般地指数函数与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个，当时，的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.如下图，将k不断变大：例1.三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：其中关于x呈指数增长的变量是.【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。问题探究二：以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.分析：(1)在区间(-∞,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：(3)观察两个函数图象及其增长方式：总结一：虽然函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.在(0,+∞)上增长速度不变，在(0,+∞)上的增长速度在变化.随着的增大，的图象离x轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；这表明，当，即，比相比增长得就很慢了.思考：将放大1000倍，将函数与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.例2．函数的图象如图所示．（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对的大小进行比较).解：（1）C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.（2）当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．问题探究三：类比上述过程，（１）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；总结一：虽然函数，函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.在(0,+∞)上增长速度不变，函数与在(0,+∞)上的增长速度在变化.函数的图象越来越陡，就像与轴垂直一样；函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.（２）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；总结二：一般地，虽然一次函数，对数函数和指数函数在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而指数函数的增长速度越来越快；对数函数的增长速度越来越慢.不论值比值小多少，在一定范围内，可能会小于，但由于的增长会快于的增长，因此总存在一个，当时，恒有；同样，不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.（３）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样；指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样.【问】你可以再举出几个生活中的例子吗？例3.下列函数中随的增大而增大且速度最快的是（）.A.B.C.D.解：A.结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确.例4.函数的图象如图所示，则可能是（）.A.B.C.D.解：正确答案为C.从几何的角度，各选项的函数图像依次为：从代数的角度，A,B,D的值域与原函数不同.2min归纳总结课堂小结：1.研究了一次函数，指数函数，对数函数在定义域内增长方式的差异;2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数;3.理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义，在实际应用中会选择适当的函数模型.课后篇巩固提升合格考达标练1.(多选题)有一组实验数据如表所示:x12345y1.55.913.424.137则下列所给函数模型较不适合的有()A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)答案ABD解析由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.2.(多选题)下面对函数f(x)=log12x与g(x)=12x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法中错误的有(A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快答案ABD解析在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如下图所示,由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.3.下列函数中,增长速度越来越慢的是()A.y=6x B.y=log6xC.y=x6 D.y=6x答案B4.(2021福建福州高一期中)某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了akm,休息了一段时间,又沿原路返回bkm(a>b),再前进ckm,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是()答案C5.某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()答案C解析观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.6.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1Δy2(填“>”“=”或“<”).

答案<解析由这两个函数的图象可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.7.某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式;(2)因受到影响,2024年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,求出2024年的年产量.解(1)符合条件的是f(x)=ax+b,理由:若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=log12则f(x)是减函数,与已知不符合.由已知得a+b所以f(x)=32x+52,x∈N(2)2024年预计年产量为f(7)=32×7+52=13,2024年实际年产量为13×(1-30%)=9.所以2024年的年产量为9.1万件.等级考提升练8.(2021北京海淀高一期末)下图为某种植物1~5年内的植株高度,根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律,下列函数模型中符合要求的是()A.y=kax+b(k>0,a>0,且a≠1) B.y=klogax+b(k>0,a>0,且a≠1)C.y=kx+b(k>0)D.y=ax2+bx+c(a>0)答案B解析由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B符合.故选B.9.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)答案D解析在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的图象,由图象知,D10.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有()(1)这几年人民生活水平逐年得到提高;(2)人民生活费收入增长最快的一年是2016年;(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年;(4)虽然2018年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.A.1项 B.2项 C.3项 D.4项答案C解析由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在2016~2017年最陡,故(2)正确;“生活费价格指数”在2017~2018年最平缓,故(3)不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故(4)正确.11.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(单位:月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有()答案BCD解析由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10℃,故B不正确.12.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是()A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1答案BD解析在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确;故选BD.13.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>1时,甲在最前面;②当x>1时,乙在最前面;③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面;④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.其中正确结论的序号为.

答案③④⑤解析路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面,则③正确;结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确.14.(2021福建福州三中高一期末)某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18m2,经过3个月其覆盖面积约为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过x(x∈N*)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1)可供选择.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍?解(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=loga